蘇州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研（期末）數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省蘇州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研（期末）數(shù)學(xué)試題含解析2019-2020學(xué)年江蘇省蘇州市高二第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（共8小題)。1．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）A．C'＝1（C為常數(shù)） B． C．（ex)′＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)） D．（sinx)’＝﹣cosx2．已知＝2+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．函數(shù)f（x)＝|x+a|圖象的對稱軸為直線x＝1,則實數(shù)a＝(）A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣14．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1,σ2),若P（ξ＜4）＝0。8，則P（﹣2＜ξ＜1）＝(）A．0。2 B．0。3 C．0.5 D．0.65．（x3﹣）5展開式中的常數(shù)項是(）A．﹣270 B．﹣90 C．90 D．2706．現(xiàn)有5個人獨立地破譯某個密碼，已知每人單獨譯出密碼的概率均為p，且＜p＜1，則恰有三個人譯出密碼的概率是(）A．Cp3 B．Cp2(1﹣p）3 C．Cp3(1﹣p)2 D．1﹣C（1﹣p）27．若橢圓5x2+ky2＝5的一個焦點是（0,2），則實數(shù)k＝(）A． B．1 C．15 D．258．某景觀湖內(nèi)有四個人工小島,為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計劃設(shè)計三座景觀橋連通四個小島,且每個小島最多有兩座橋連接,則設(shè)計方案的種數(shù)最多是（）A．8 B．12 C．16 D．24二、多項選擇題(共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，選錯或不答的得0分．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．）9．疫情就是號令，防控就是責(zé)任．在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭．如圖展示了2月14日至29日全國疫情的變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．16天中每日新增確診病例數(shù)量均下降且19日的降幅最大 B．16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差均大于1500 C．19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診數(shù)量 D．19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和10．已知定義域為R的函數(shù)f（x)，且函數(shù)y＝的圖象如圖,則下列結(jié)論中正確的是（）A．f′（1）＝f′（﹣1）＝0 B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1)上單調(diào)遞增 C．當(dāng)x＝1時,函數(shù)f（x）取得極小值 D．方程f′（x)＝0與f（x）＝0均有三個實數(shù)根11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段BC1上的一個動點，下列結(jié)論中正確的是（）A．A1D⊥D1P B．平面PAD1⊥平面BCC1B1 C．存在唯一的點P，使得∠CPD1為90° D．當(dāng)點P為BC1中點時，CP+PD1取得最小值12．已知P是雙曲線C：＝1上任意一點，A，B是雙曲線的兩個頂點，設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0)，若｜k1｜+｜k2｜≥t恒成立，且實數(shù)t的最大值為1，則下列說法正確的是（)A．雙曲線的方程為﹣y2＝1 B．雙曲線的離心率為 C．函數(shù)y＝loga（x+1+）（a＞0，a≠1）的圖象恒過雙曲線C的一個焦點 D．直線x﹣y＝0與雙曲線C有兩個交點三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．不等式｜log2x﹣a|＜5對任意x∈[4，16]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為．14．如圖，直線l是曲線y＝f（x）在x＝4處的切線，則f（4）+f′（4)＝．15．如圖,將桌面上裝有液體的圓柱形杯子傾斜α角（母線與豎直方向所成角）后，液面呈橢圓形，當(dāng)α＝30°時，該橢圓的離心率為16．已知F為拋物線x2＝2py（p＞1)的焦點,點A(1，p），M為拋物線上任意一點，｜MA|+｜MF|的最小值為3，則p＝；若線段AF的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點，則四邊形APFQ的面積為．四、解答題：本大題共6小題,共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解下列關(guān)于x的不等式：（1）x（x+2）﹣1≥x（3﹣x）；（2）≥2．18．已知函數(shù)f（x）＝lg（a≠1)為奇函數(shù)．(1）求實數(shù)a；（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x）+．①求g（)+g(﹣）；②試證明函數(shù)g（x)的圖象關(guān)于點（0，1）對稱．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）若E，F(xiàn)分別為棱PC，AB的中點，求證：CD⊥EF；（2）若直線PC與AB所成角的正弦值為，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．20．推進垃圾分類處理，是落實綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié)．為了解居民對垃圾分類的了解程度某社區(qū)居委會隨機抽取1000名社區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如表：得分[30，40）[40,50）［50，60）［60，70）[70，80）［80，90）[90，100]男性人數(shù)40901201301106030女性人數(shù)2050801101004020（1）從該社區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試試估計其得分不低于60分的概率:（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”(得分不低于60分）和“不太了解"(得分低于60）兩類，完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān)？不太了解比較了解男性女性（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取10人，連同n(n∈N＊)名男性調(diào)查員一起組成3個環(huán)保宣傳隊．若從這n+10人中隨機取3人作為隊長，且男性隊長人數(shù)的期望ξ不小于2．求n的最小值．附：K2＝,（n＝a+b+c+d）臨界值表：P（K2≥k0）0。150。100.050。0250.0100.0050.001k02。0722。7063.8415。0246.6357.87910。82821．如圖，已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的右焦點為F（1,0），離心率e＝，過F作一直線l1交橢圓E于A,B兩點（其中A在x軸的上方）,過點A作直線l2：x＝4的垂線，垂足為C．（1）求橢圓E的方程；(2）問：在x軸上是否存在一個定點T，使得B，T，C三點共線？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．對于函數(shù)f（x），g(x）,如果存在實數(shù)s，使得f（s）＝g(s)，f′（s）＝g′（s）同時成立，則稱函數(shù)f（x）和g（x）互為“親密函數(shù)”．若函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d,g（x）＝ex(其中a,b，c，d為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)a＝0，b＝﹣1，c＝d＝1時，判斷函數(shù)f（x）和g（x)是否互為“親密函數(shù)"，并說明理由;（2)當(dāng)b＝c＝d＝0時,若函數(shù)f（x）和g（x）互為“親密函數(shù)”,求證：對任意的實數(shù)x都滿足f（x)≤g（x）．

參考答案一、單項選擇題共8小題．1．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（)A．C’＝1（C為常數(shù)） B． C．(ex)′＝ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)） D．(sinx）’＝﹣cosx【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式判斷即可．解：C’＝0,（C為常數(shù)），(）′＝﹣，（ex）'＝ex，（sinx)'＝cosx，故選：C．2．已知＝2+i（i為虛數(shù)單位）,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．解:由,得z＝（2+i）(1+i）＝1+3i，∴．故選：A．3．函數(shù)f（x）＝|x+a|圖象的對稱軸為直線x＝1，則實數(shù)a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣1解:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝｜x+a｜的圖象關(guān)于x＝﹣a對稱，故﹣a＝1，所以a＝﹣1．故選：A．4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2）,若P(ξ＜4)＝0。8，則P（﹣2＜ξ＜1)＝（）A．0.2 B．0。3 C．0。5 D．0。6【分析】由已知求得正態(tài)分布曲線的對稱軸，再由已知結(jié)合對稱性可得P（ξ＞﹣2)＝0.8,則P（﹣2＜ξ＜1）＝0.8﹣0.5＝0。3．解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），∴正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝1，又P（ξ＜4）＝0。8,∴P（ξ＞﹣2）＝0.8，則P(﹣2＜ξ＜1）＝0.8﹣0.5＝0。3．故選:B．5．（x3﹣)5展開式中的常數(shù)項是（)A．﹣270 B．﹣90 C．90 D．270【分析】寫出二項展開式的通項公式，令x的冪指數(shù)等于0，即15﹣5r＝0，求出r的值,進而求得．解：（x3﹣）5的通項公式C5r(﹣3）rx15﹣5r,令15﹣5r＝0,解得r＝3，則C53（﹣3)3＝﹣270，故（x3﹣）5展開式中的常數(shù)項是﹣270,故選:A．6．現(xiàn)有5個人獨立地破譯某個密碼,已知每人單獨譯出密碼的概率均為p，且＜p＜1，則恰有三個人譯出密碼的概率是（）A．Cp3 B．Cp2（1﹣p）3 C．Cp3（1﹣p）2 D．1﹣C（1﹣p）2【分析】由條件利用n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式即可求解．解：由題意可知,恰有三個人譯出密碼的概率P＝．故選：C．7．若橢圓5x2+ky2＝5的一個焦點是（0，2)，則實數(shù)k＝(）A． B．1 C．15 D．25【分析】把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出a與b的值，然后根據(jù)a2＝b2+c2,表示出c,并根據(jù)焦點坐標(biāo)求出c的值,兩者相等即可列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值．解：把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x2+＝1,因為焦點坐標(biāo)為(0，2),所以長半軸在y軸上，則c＝＝2,解得k＝1．故選：B．8．某景觀湖內(nèi)有四個人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計劃設(shè)計三座景觀橋連通四個小島，且每個小島最多有兩座橋連接，則設(shè)計方案的種數(shù)最多是（)A．8 B．12 C．16 D．24【分析】一個島最多建兩座橋，利用排列的計算公式即可得出．解：設(shè)4個小島分別為A，B,C，D，一個島最多建兩座橋，但是下面這樣的兩個排列對應(yīng)一種建橋方法,A﹣B﹣C﹣D,D﹣C﹣B﹣A，要去掉重復(fù)的這樣，因此共有×A44＝12種方法．故選:B．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分,共計20分．每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，選錯或不答的得0分．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．9．疫情就是號令,防控就是責(zé)任．在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭．如圖展示了2月14日至29日全國疫情的變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．16天中每日新增確診病例數(shù)量均下降且19日的降幅最大 B．16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差均大于1500 C．19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診數(shù)量 D．19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和【分析】根據(jù)圖象，逐一分析即可解：由圖可得每日新增確診病例有增有減，故A錯誤，新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差分別約2200，2300,2000為均大于1500,故B正確；由圖，19﹣29日每日新增治愈病例數(shù)量折線統(tǒng)計圖均在新增確診數(shù)量折線圖的上方，故C正確；由圖,發(fā)現(xiàn)20日的新增治愈病例數(shù)量約為2300，而新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和約為2500，故D錯誤，故選:BC．10．已知定義域為R的函數(shù)f(x），且函數(shù)y＝的圖象如圖,則下列結(jié)論中正確的是（）A．f′(1)＝f′（﹣1）＝0 B．函數(shù)f（x)在區(qū)間（﹣∞，﹣1)上單調(diào)遞增 C．當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）取得極小值 D．方程f′（x)＝0與f(x）＝0均有三個實數(shù)根【分析】由已知函數(shù)的圖象,根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性之間的關(guān)系,列表寫出y,f’（x)和f（x）隨x的變化情況，即可逐一對選項進行判斷．解：對于A，當(dāng)x＝1時，y＝f'（1）＝0；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣f'（﹣1）＝0，即f′（1）＝f′（﹣1)＝0，∴A正確；由函數(shù)圖象可知，y，f'（x）和f(x）隨x的變化情況如下表：x（﹣∞,﹣1)（﹣1，0)(0，1）（1，+∞）y﹣+﹣+f'(x）+﹣﹣+f(x)↑↓↓↑對于B，函數(shù)f（x）在(﹣∞，﹣1)上單調(diào)遞增，即B正確；對于C，函數(shù)f（x)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴在x＝1處取得極小值，即C正確；對于D，f'（x）＝0僅有兩個實數(shù)根，無法判斷f(x）＝0的根的情況，即D錯誤．故選：ABC．11．如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為線段BC1上的一個動點,下列結(jié)論中正確的是（)A．A1D⊥D1P B．平面PAD1⊥平面BCC1B1 C．存在唯一的點P，使得∠CPD1為90° D．當(dāng)點P為BC1中點時，CP+PD1取得最小值【分析】根據(jù)A1D⊥平面ABC1D1即可判斷A正確；根據(jù)AB⊥平面BCC1B1即可判斷B正確；建立空間坐標(biāo)系,利用向量法判斷C；根據(jù)側(cè)面展開圖判斷D．解：（1)連接AD1，則A1D⊥AD1，∵C1D1⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1,∴C1D1⊥A1D,又AD1∩C1D1＝D1，∴A1D⊥平面ABC1D1，又D1P?平面ABC1D1，∴A1D⊥D1P，故A正確；（2）∵AB⊥平面BCC1B1，AB?平面ABC1D1，∴平面ABC1D1⊥平面BCC1B1,即平面PAD1⊥平面BCC1B1,故B正確;（3）以D為原點，以DA，DC，DD1為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)正方體棱長為1,則B（1，1，0），C（0，1，0）,D1（0，0，1),C1（0,1，1），則＝（1，0，﹣1）,＝（0，0,1），＝（0，1，0），設(shè)＝λ＝（λ,0，﹣λ)（0＜λ＜1）,則＝+＝（λ,1，﹣λ）,＝+＝（λ，0，1﹣λ）,若D1P⊥CP，則?＝0，即λ2+λ（λ﹣1）＝0,解得λ＝0或λ＝，∴當(dāng)P與C1重合或P為BC1的中點時，∠CPD1＝90°，故C錯誤；(4）將△BCC1沿BC1翻折到平面ABC1D1上，則當(dāng)P為線段CD1與BC1的交點時，CP+PD1取得最小值，由于△BCC1是等腰直接三角形,四邊形ABC1D1是矩形,顯然P不可能是BC1的中點，故D錯誤．故選：AB．12．已知P是雙曲線C:＝1上任意一點，A，B是雙曲線的兩個頂點,設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1,k2（k1k2≠0)，若|k1｜+|k2｜≥t恒成立,且實數(shù)t的最大值為1，則下列說法正確的是（）A．雙曲線的方程為﹣y2＝1 B．雙曲線的離心率為 C．函數(shù)y＝loga（x+1+）（a＞0,a≠1）的圖象恒過雙曲線C的一個焦點 D．直線x﹣y＝0與雙曲線C有兩個交點【分析】可設(shè)P（s，t)，s＞0，t＞0，代入雙曲線的方程，結(jié)合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得m,進而得到雙曲線的方程和離心率，以及焦點，可判斷A，B,C，再由直線y＝x和雙曲線的方程聯(lián)立，即可判斷D．解：可設(shè)P（s，t），s＞0，t＞0，可得﹣＝1,即有＝＞0，由A(﹣2,0），B（2，0），可得k1k2＝?＝，即k1k2＝,若|k1|+｜k2｜≥t恒成立，且實數(shù)t的最大值為1,可得|k1｜+｜k2｜的最小值為1,則2＝1，解得m＝1，可得雙曲線的方程為﹣y2＝1,則e＝＝，故A正確，B錯誤；由雙曲線的焦點為（±，0），函數(shù)y＝loga（x+1+）（a＞0,a≠1）的圖象恒過雙曲線C的焦點（﹣，0)，故C正確；由y＝x與﹣y2＝1聯(lián)立，可得方程無實數(shù)解，故D錯誤．故選:AC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．不等式｜log2x﹣a｜＜5對任意x∈［4，16］恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(﹣1,7）．【分析】由|log2x﹣a|＜5，得﹣5＜log2x﹣a＜5，即log2x﹣5＜a＜log2x+5．把問題轉(zhuǎn)化為(log2x﹣5）max＜a＜（log2x+5）min，分別求出log2x﹣5的最大值與log2x+5的最小值得答案．解：由|log2x﹣a|＜5,得﹣5＜log2x﹣a＜5，即log2x﹣5＜a＜log2x+5．∵x∈［4,16]，∴l(xiāng)og2x∈［2，4］，要使不等式|log2x﹣a|＜5對任意x∈［4,16］恒成立，則（log2x﹣5）max＜a＜(log2x+5）min，即﹣1＜a＜7．∴實數(shù)a的取值范圍為（﹣1,7）．故答案為：（﹣1，7）．14．如圖，直線l是曲線y＝f（x）在x＝4處的切線，則f(4）+f′（4）＝．【分析】由題意可得f（4）＝5，結(jié)合兩點的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,計算可得所求和．解:由圖象可得f（4）＝5，直線l經(jīng)過（0，3),(4，5），可得直線l的斜率為＝，即有f′(4）＝,可得f(4）+f′（4）＝5+＝．故答案為：．15．如圖，將桌面上裝有液體的圓柱形杯子傾斜α角（母線與豎直方向所成角）后，液面呈橢圓形，當(dāng)α＝30°時，該橢圓的離心率為【分析】設(shè)出圓柱的底面半徑,然后求解橢圓的長半軸與短半軸的長，求出c，然后求解離心率即可．解：由題意，橢圓的短軸長為圓柱的直徑，橢圓的長軸、圓柱底面的直徑和母線的一部分，三者組成一個直角三角形，如圖ABC，且長軸與直徑的夾角為30°．∴cos30°＝，即，所以∴離心率e＝＝．故答案為：．16．已知F為拋物線x2＝2py（p＞1）的焦點，點A(1，p），M為拋物線上任意一點，|MA|+|MF|的最小值為3，則p＝2；若線段AF的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點，則四邊形APFQ的面積為4．【分析】過A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交于M，由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得，|MA｜+|MF|的最小值為A到準(zhǔn)線的距離，由題意可得p的值，進而求出A，F(xiàn)的坐標(biāo)，求出線段AF的中點D的坐標(biāo)，及AF的斜率,進而求出線段AF的中垂線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出弦長|PQ｜，及｜AF|的長度，進而求出四邊形APFQ的面積．解：過A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M,交準(zhǔn)線與于點，由拋物線的性質(zhì)可得｜MF|＝|MN|，所以|MA|+|MF｜＝|MA｜+|MN|≥|AN|＝p﹣（﹣）＝，由題意可得:＝3,解得p＝2,所以拋物線的方程為：x2＝4y；由拋物線的方程可得A（1，2），F(xiàn)(0,1），所以AF的中點D（，），kAF＝＝1，所以AF的中垂線的方程為:y﹣＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+2，設(shè)P(x1，y1），Q（x2,y2），與拋物線聯(lián)立，整理可得x2+4x﹣8＝0,x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣8，所以弦｜PQ｜＝＝?＝4，|AF|＝＝，所以SAPFQ＝｜PQ|?|AF|＝＝4；故答案為：2，4．四、解答題:本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解下列關(guān)于x的不等式：（1)x(x+2）﹣1≥x(3﹣x）；（2）≥2．【分析】由已知結(jié)合二次不等式及分式不等式的解法即可求解．解:（1）由x(x+2）﹣1≥x（3﹣x)可得2x2﹣x﹣1≥0，解可得，x或x≥1，故不等式的解集為：｛x｜x或x≥1｝；（2)由≥2可得,﹣2≥0，整理可得,,所以x2+2x﹣3＜0，解可得，﹣3＜x＜1，故不等式的解集為｛x|﹣3＜x＜1}．18．已知函數(shù)f(x）＝lg（a≠1）為奇函數(shù)．(1）求實數(shù)a;（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x)+．①求g（）+g(﹣)；②試證明函數(shù)g（x)的圖象關(guān)于點（0，1）對稱．【分析】(1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，f（x）＝﹣f（﹣x），建立關(guān)于a的等式，解之即可;（2）①由（1）知，f（x)＝lg,于是g（x）＝lg+，再代入x＝和x＝﹣，進行運算化簡即可得解；②結(jié)合指數(shù)和對數(shù)的運算法則，對g（x)+g（﹣x）進行化簡，得到g（x）+g（﹣x）＝2即可得證．解：（1)因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f(x）＝﹣f（﹣x)，即lg＝﹣lg＝lg，所以＝,化簡整理得,1﹣x2＝1﹣a2x2，即a2＝1，a＝±1,由于a≠1，所以a＝﹣1．（2）證明：①由（1)知，f（x）＝lg，所以g(x）＝lg+．所以g（）+g（﹣）＝（lg+）+（lg+）＝lg3++lg+＝lg（3×）+2(）+2（﹣1）＝2；②因為g（x)+g（﹣x）＝（lg+）+(lg+）＝lg(?）++＝lg1+＝0+2＝2．所以函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（0，1)對稱．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．(1）若E,F分別為棱PC，AB的中點，求證:CD⊥EF；（2）若直線PC與AB所成角的正弦值為，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（1)取PD中點G，連接EG，AG,證明四邊形AFEG為平行四邊形，得AG∥EF，再由已知證明CD⊥平面PAD,得CD⊥AG，可得CD⊥EF；（2）由(1)知，CD⊥PD，在Rt△PDC中,設(shè)PD＝2a，由直線PC與AB所成角的正弦值為，得tan,可得AD＝CD＝，求解PO，取BC中點M，連接OM，證明∠PMO為二面角P﹣BC﹣A的平面角，求解三角形可得二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【解答】(1)證明：如圖，取PD中點G，連接EG，AG,∵E是PC的中點，∴EG∥CD∥AB，EG＝,又AF＝，∴EG∥AF且EG＝AF，則四邊形AFEG為平行四邊形,得AG∥EF．取AD中點O，連接PO,∵PA＝PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD,則PO⊥CD，又CD⊥AD,PO∩AD＝O,∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AG，∵AG∥EF，∴CD⊥EF；（2）解:由（1）知，CD⊥PD，在Rt△PDC中,設(shè)PD＝2a，∵直線PC與AB所成角的正弦值為,即sin∠PCD＝,∴cos，即tan,∴CD＝．則AD＝CD＝．在Rt△PDO中,PO＝．取BC中點M，連接OM，則OM⊥BC，由（1）知PO⊥BC，PO∩OM＝O，則BC⊥平面POM，∴BC⊥PM．則∠PMO為二面角P﹣BC﹣A的平面角．在Rt△POM中，PO＝,OM＝CD＝，PM＝．∴cos∠PMO＝＝．∴二面角P﹣BC﹣A的余弦值為．20．推進垃圾分類處理，是落實綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié)．為了解居民對垃圾分類的了解程度某社區(qū)居委會隨機抽取1000名社區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如表：得分[30，40)［40，50)［50，60)[60，70）[70，80）［80,90）［90,100］男性人數(shù)40901201301106030女性人數(shù)2050801101004020(1）從該社區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試試估計其得分不低于60分的概率：（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”(得分低于60)兩類，完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān)?不太了解比較了解男性250330女性150270（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中,按照性別進行分層抽樣,共抽取10人，連同n(n∈N*）名男性調(diào)查員一起組成3個環(huán)保宣傳隊．若從這n+10人中隨機取3人作為隊長,且男性隊長人數(shù)的期望ξ不小于2．求n的最小值．附：K2＝，(n＝a+b+c+d）臨界值表：P（K2≥k0）0。150.100。050.0250。0100。0050.001k02.0722。7063.8415。0246。6357。87910。828【分析】（1）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，算出問卷得分不低于60分的人數(shù),即可得到得分不低于60分的概率：（2）計算K的觀測值K2，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論;（3）隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出對應(yīng)的概率,得到隨機變量ξ的分布列，再由Eξ≥2，解出n≥2即可．解：(1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可得,問卷得分不低于60分的比率為:＝0.6，故從該社區(qū)隨機抽取一名居民其得分不低于60分的概率為0。6；（2)由題意得列聯(lián)表如下:所以K2＝≈5。542，因為5。542＞3。841，所以有95%的把握認(rèn)為“居民對垃圾分類的了解程度"與“性別”有關(guān)；（3)由題意可知，分層抽樣抽取的10人中，男性6人，女性4人,隨機變量ξ的所有可能取值為0，1,2，3，其中P（ξ＝0）＝,P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3)＝，所以隨機變量ξ的分布列為：ξ0123PEξ＝×0+×1+×2+×3≥2，∴×1+×2+×3≥2，可得：6（n+6)+4(n+6）(n+5）+（n+6）（n+5）(n+4）≥(n+10）（n+9)（n+8），∴3（n+6）(n2+17n+72）≥2（n+10)(n+9）（n+8）,∴3（n+6)≥2（n+10）,解得：n≥2．21．如圖，已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的右焦點為F(1，0），離心率e＝,過F作一直線l1交橢圓E于A，B兩點（其中A在x軸的上方），過點A作直線l2：x＝4的垂線，垂足為C．(1）求橢圓E的方程；（2）問：在x軸上是否存在一個定點T，使得B,T，C三點共線？若存在，求出T的坐標(biāo);若不存在，請說明理由．【分析】（1）由橢圓的右焦點的坐標(biāo)及離心率可得a，c的值,再由a,b，c之間的關(guān)系求出b的值，進而求出橢圓的方程；(2）假設(shè)存在T滿足條件設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，再由B，T，C三點共線，所以＝λ進而可得成比例，可得：m(+t）＝,不論m為何值,當(dāng)+t＝0即t＝﹣時等式不成立，所以假設(shè)不成立，及不存在T滿足條件．解：（1）由題意可得c＝1,且e＝＝，所以a＝2，又b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3,所以橢圓的方程為：+＝1；(2）由（1）可得F1(﹣1，0),假設(shè)存在定點T（t，0）使得B，T，C三點共線，由題意顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣1，設(shè)A