概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末證明題專項訓(xùn)練

證明題專項訓(xùn)練1.2),。X1,...,Xn是一個樣本，求22設(shè)整體X~N(0，的矩估計量，并證明它為的無偏估計。2.設(shè)整體X~N(,2)，參數(shù)已知，2（2>0）未知，x1,x2,,xn為一相應(yīng)的樣本值。求2的最大似然估計量。，并證明它為2的無偏估計。3.設(shè)整體X遵從N(u,2),2已知,u未知。X1,,Xn是X的一個樣本，求u的矩估計量，并證明它為u的無偏估計。4.設(shè)P(A)0，試證：P(B|A)1P(B)。P(A)5.若隨機(jī)變量X~N,2，則ZX~N0,1.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，且都遵從正態(tài)分布N(0,9)，而X1,X2,,X9和Y1,Y2,,Y9分別來自整體X和Y的樣本，試證統(tǒng)計量UX1X2X9~t(9)Y12Y22Y92參照答案1.解:X的二階矩為:E(X2)21’A21n2nkXiX的二階樣本矩為11’令：E(X2)A2,1’21n2:nkXi解得1,21n22Xink1的矩估計量2’E(?2)E(1nXi2)2nk1,它為的無偏估計量.3’2.解:似然函數(shù)為nnL(2)i1

(xi)2(xi)211i1e22ne2222，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為22n)2lnL(2)(xinln2i122。22令對數(shù)似然函數(shù)對2的一階導(dǎo)數(shù)為零，獲取2的最大似然估計值為21n(xi)22’?ni121n22它2E(?)E(Xi),為的無偏估計量.ni13.解:樣本X1,...,Xn的似然函數(shù)為:L(x1,...,xn,u)(2)n/2exp[1nu)2]2’(xi2k1而lnL(x1,...,xn,u)n/2ln(2)1[n(xiu)2]2k11’d(lnL(x1,...,xn,u))n令:(xiu)0,duk1解得:1n1n?xiu的最大似然估計?Xiuunk1nk1E(u)E(Xk)u,它為u的無偏估計量.?1nnk14.證明：由于P(AB)1，即P(A)P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(A)P(B|A)1P(A)P(B|A)P(A)[1P(B)]P(A)P(B|A)P(A)P(B)

1’2’2’P(B|A)1P(B)（P(A)0）P(A)5.解法一：ZX的分布函數(shù)為X1t2x2PZxPxPXx2e2dt（5分）令xu，得1u2PZxxx2e2du所以ZX~N0,1.（5分）解法二：令gxx，則gx在,上嚴(yán)格單調(diào)遞加其反函數(shù)為hzz，hz，z,（4分）X11z2e2ZfZzfXhzhz的密度函數(shù)為2所以ZX~N0,1.（6分）6.由于X1,X2,,X9是來自正態(tài)整體的樣本，且都遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則【】由于Y1,Y2,,Y9相互獨立，且都遵從標(biāo)準(zhǔn)正