2023年高考數(shù)學(xué)大招3矩形大法

大招3矩形大法

大招總結(jié)

矩形大法:已知P為矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（即使在矩形外也

成立，甚至在空間中），則有PA2+PC2=PB2+PD2，我們可以用三種方

法來證明：

方法一：勾股定理

如圖，

P是矩形ABCD里的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,PD，過p做兩條直線

EF,GH分別平行于AB,AO.由勾股定理可知,尸"2+尸尸=「牙,尸”2+2爐

=PB2,PF2+PG2=PD2,PG2+PE2=PC2,

易知PA2+PC2=PB2+PD2

方法二:建立直角坐標(biāo)系

以所在的直線分別為X,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),A(O,O),B(Xo,O),C

(凝，％)，0(0，%)廁:

2222

尸牙+PC=x+y+(X-XO)+(y

222222

PB+PD=(x-xn)+y+x+(y-ya)

所以PA?+PC2=PB2+PD2

所以PA2+PC2=PB2+PD2

方法三:向量法

如圖:PA?PC

=：[(PA+PC)2-{PA-PC)?]=；(2PO)2-C42

PBPD

=[(尸8+PD，-(PB-PD)2]=；(2PO)2-DB2

在矩形ABC。中,C4?=

所以PAPC=P8PO

又因為PAPC=\PA\-\PC\cosZAPC

典型例題

例1.（2020春-啟東市校級月考）已知圓G：/+y2=9,圓C2：J?+y2=4,定點(diǎn)

A/（1,O），動點(diǎn)A,8分別在圓C2和圓G上，滿足ZAMB^90°，則線段AB的取值范圍

解:方法1:設(shè)A（%,y）、8（孫》2）,則1的『=（%一3）2=13-2（中2+M%）

—2別2,MA±MB,

（王一1,）1）.（七一1,%）=。，即（玉一1）（工2—1）+,必=°，即石馬+%>2=為+工2-1，

.'JAB「=13—2（玉+—1）=15—2（芯+%2）-

設(shè)AB中點(diǎn)為N（』,%），則IABF=15-4%,

---2%=%+々,2%=X+必，

4（x：+巾）=13+&不％2+y%）=13+2（再+x2—1）=1l+4x0,?

點(diǎn)N（毛,%）的軌跡是以（g，0）為圓心、半徑等于百的圓,

，%的取值范圍是~~^3,~+-73,

故13-40蒯13+45/3.

故IA8|的范圍為[2百一l,2g+l],

故答案為:[2百-1,2百+1].

方法2:構(gòu)造矩形MAQB根據(jù)矩形所滿足的性質(zhì)可得QA?+08?=

OM2+OD-，所以。。2=12，即0D=26，所以點(diǎn)。在以原點(diǎn)為圓心,半徑為2月的圓上

運(yùn)動，故

=12,即OD=2y[3，所以點(diǎn)。在以原點(diǎn)為圓心,半徑為2初的圓上運(yùn)動，故

26-啜2y5+1

又因為=所以

26-啜273+1

例2.（2018-青浦區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩圓G：Y+y2=12和

。2：/+曠2=]4,又點(diǎn)人坐標(biāo)為（3,-1）,例、N是G.上的動點(diǎn)。為。2上的動點(diǎn)，則四邊形

AMQN能構(gòu)成矩形的個數(shù)為（）

A.0個

B.2個

C.4個

D.無數(shù)個

解：解方法1:如圖所示,任取圓C,上一點(diǎn)。以AQ為直徑畫■

圓//)

交圓G與M、N兩點(diǎn)，若MN=AQ,即可得出四邊形//一

AMQN是矩形，_J■

由。的任意性知，四邊形40QN能構(gòu)成無數(shù)個矩形\\"】

方法2:取MN中點(diǎn)B(x,y)聯(lián)結(jié)OB,_￡

.OB2+5N2=r2=i2,在RtAMAN中,3N=AB,

OB2+AB2=12x2+/+(x-3)2+(y+1)2=12,

既f+y2-3x+y=].

點(diǎn)B的軌跡方程為/+V_3x+y=1,設(shè)點(diǎn)。(天,%),

爐+y2=14上的每個點(diǎn)都符合題意

方法三:當(dāng)四邊形AMQN構(gòu)成矩形時，有042+OQ2=。知2+附2,因為M、N是G上的

動點(diǎn),。為。2上的動點(diǎn)，則0M2=0N?=12,OQ2=14,A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1)，故(9A2=10該

等式成立，所以滿足該條件的矩形有無數(shù)個.故選D.

例3.(2012-江西)在直角三角形ABC中，點(diǎn)。是斜邊AB的中點(diǎn)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則

|PA『+|PB|2

---------------------------------------=I)

\PC\

A.2

B.4

C.5

D.10

解：解方法1:以。為原點(diǎn),A8所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系,

丁AB是RtAABC的斜邊，

「?以為直徑的圓必定經(jīng)過。點(diǎn)

設(shè)AB=2r,NCDB=a，則

A(-r,0),B(r,0),C(rcosa.rsina)

???點(diǎn)P為線段CO的中點(diǎn)，

J11.)

/.P\—rcosa,一〃sina

(22J

/.IPA\2=i-rcos6z+rj4-|-rsinor=~r24-r2cosa,

(2)12)4

([Y(iY5〉

IPB|2=-rcosa-r+—rsina=—r2-r2cosa.

(2)12)4

可得|P4『+|28|2=?'2

2

又；點(diǎn)P為線段CO的中點(diǎn),8=r

.'.IPC|2=l-ri=T

5,

所以:與*=E=0故選D

4r

方法2:構(gòu)造矩形4CBE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，有PA2+PB2=PC2+PE2，又因為

\PA^+\PB|2|PC|2+1PE|2IPC|2+(3|PC|)2

|PE|=3|PC|可得=10

\PC\2IPC|2|PC|2

14.若平面向量a,6,e滿足|a|=2,|Z?|=3,|e|=1,且4?〃一03+bj+l=0很IJ|a-6|的最

小值是()

A.1

BA/13-4V3

C.J12-46

D.幣

解：解方法1：由-C(a+6)+l=0得。?Z?+l=e(a+/?),等式兩邊平方得

(d-h+1)2=[\e\-\d+h\^-cos2<+6>?\a+h\1

令a/=/,上式可化為：*+2r+L,a2+2t+b2^t2?12

???一2屈中26,即一26羽b22百

?'■\a—b|=yja2-2a-b+h2..^13—4^3，

方法2:設(shè)OA=a,OB—b,OE=e，由Q—e(a+〃)+1=(h得(a—e)(b—e)=。，可以構(gòu)造

矩形AEBP則有|OA『+103F=|0E5+1op/可得?op|=2百,|a-b|=|OA-OB\=

IBA|=|尸E|廁|a—b|疝°=2g—1,即713-473

故選B.

運(yùn)用'矩形大法”解向量模取值范圍問題

例5.(2021-漳州模擬)已知|a|=|b|=2,c|=1,(。一c)?(/?->c)=()，則a-h\的取值范圍是

()

A.[V6-1,V6+1]

rV7-15+i-

B.,

22

C.[V7-1,V7+1]

V6-1A/6+1

D.-----,------

22

解:如圖1作OA=a,OB=b,OC=c^\

a-c=OA-OC=CA,b-c=OB-OC=CB,

由—C)=0,得C4CB=0故CAJ.CA

以CA,CB為兩鄰邊構(gòu)造矩形CBDA,由矩形性質(zhì)得

0。2+。。2=042+082,因為04=08=2,。。=1,代入上式得0。=5,

\a-b\^\OA-OB\=AB=CD，而OD-OC^CDOD+OC

即J7-啜JCDV7+1

故|a-b|的取值范圍是[b-1,b+1],于是選C.

自我檢測

1.（2013-重慶）在平面上，A4_LAB2，|OB||=|OB2|=1,AP=A61+AB2^|OP|＜；，則

|。4|的取值范圍是（）

答案：

方法1：根據(jù)條件知A,B「PB構(gòu)成一個矩形AB/B2,以ABt,AB2所在直線為坐

標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|的|=。,|伍|=＞點(diǎn)0的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)y\

B\

標(biāo)為(a,b),

(X-4Z)2=1-/

由網(wǎng)=叫=1,得＜

(y-b)2=\-x2B,x

1]17

|0P|<-,.\(x-a)2+(y-b)2<-,:A-x2+l-y2<-x2+y2>-(l)；

2444

(x-a)2+y2=1,.\/y21,同理x2?1,x2+y2?2(2)

???x2+/?2(2)

7

由(D(2)知-<x2+y2?2,

???|OA|=ylx2+y2,-<\OA\?>/2,故選D.

方法2:A,B,,P,B2構(gòu)成一個矩形ABtPB2,根據(jù)矩形所滿足的性質(zhì)

OP'+OA2=OB；+OB1,即OA2=2

-OP2.因為。尸的取值范圍為|0P|<|,可知OA的取值范圍為[亭，血

2.(2012秋-霍邱縣校級月考)已知向量a,仇c滿足|“|=|b|=2,|c\=l,(d-C)?伯一<?)=0,則

|“一切的取值范圍為.

答案：方法1：向量a,b,c滿足|a|=|b|=2,|c|=l,(a—c)?(》—c)=0,

??4屆一。?(〃+8)+。2=0,「.。?/7+1=。?3+6),

-*?(a-b+1)2=[C?(d+5)]2,展開為(。?萬)2+24?萬+L,c2(a+b)2,

(4萬)2領(lǐng)力,.?.一近a?〃領(lǐng)1/7,.?.8—258—2。?占領(lǐng)8+25,???近一1/8-2〃.6?近+1

,*\ci—b\=-b)~—78-2cl,b,/.>/7—1領(lǐng)ju—b\>/7+1-

故i4—的取值范圍為[J7—故答案為[出

方法2:設(shè)OA=a,OB=b,OC^c,由(a—C>S-c)=(),則CA1CB.

過點(diǎn)A作平行于CB的直線，過點(diǎn)B作平行于CA的直線，兩直線相交于點(diǎn)D,

則四邊形ACBD為矩形，

根據(jù)矩形的性質(zhì)，有OD2+OC2=0^+OB2,所以O(shè)D2=7,

OD=V7,|a-bHBAHCD\,又因為\OA\-\OB\^AB\\OA\+\OB\,

所以：V7-1^J|AB\J7+1

3.(2015秋-溫州校級期中)已知圓O:f+y2=4,圓內(nèi)有定點(diǎn)圓周上有兩個動點(diǎn)

A8,使Q4，依,則矩形APBQ的頂點(diǎn)。的軌跡方程為.

答案：

方法1：設(shè)4(%,X),3(工2，%)，。(％，丁)，又P(1，D，

則%+/=x+l,yt+^2=y+l,PA=(X1-1,=(x2-1,^2-1).

由PA±PB,得PAPB=0,即(xT)(/T)+(yT)(y2T)=。

整理得：%%一(％+w)-(y+必)+2=0,

即不X2+X%=工+1+>+1-2=%+丁(D)

又???點(diǎn)A、B在圓上，二工：+犬=后+=4(2)

再由|AB|=|PQ|,得(%—/)2+(x—l)2+(y—l)2，

整理得：x:+x；+y；+-2xtx2—2yly?=(x—l)-+(y—1)-(3)

22

把(D(2)代人(3)得：x+y=6.

22

矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為：x+y=6.

故答案為：x2+y2=6.

方法2:因為PA±PB,那么當(dāng)ABPQ為矩形時，有OP2+OQ2=Q42+O52,因為

OA=OB=2,OP=g,

所以。。=遙,。的軌跡是以原點(diǎn)為中心，以76為半徑的圓，則Q的軌跡方程為：

x2+y2=6

4.（2017-南通一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為圓f+：/=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A（l,l）,

且AB_LAC廁線段BC的長的取值范圍為.

答案：

方法1:在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B,C為圓/+丁=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)

且

V=1

如圖所示當(dāng)時，|BC|取得最小值或最大值.由2,

ABYAC,BC1OA22

x+y=4-

可得

B(-51)或(國)，

x=\

由｛22,，可得3,而或(1,一石)，

x+y=4

22

解得BCmin=7(^-1)+(1-^)=V6-V2.

22

BC>mx=7(-V3-D+(l+^)=V6+V2.

故答案為：［遙-0,"+后］.

方法2:因為AB1AC,則可以構(gòu)造一個矩形ACDB,由矩形的性質(zhì)可知

O^+OD2=OB2+OC2,又因為0B=0C=2,0A=6,則OD=?BC=AD,

又因為A點(diǎn)在圓內(nèi)，所以：V6-V2^IJBCV6+V2

5.（2014-廣東考）已知橢圓C：衛(wèi)+衛(wèi)=1（。＞?！?）的右焦點(diǎn)為（75,0），離心率為包.

a2b-3

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若動點(diǎn)P（x0,%）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡

方程.

答案：

a2-b1=5

(1)依題意知,c7575-求得。=3,。=2,

—=------

Q3

22

橢圓的方程為二+匕=1.

94

⑵方法1:⑴當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時，即A、8兩點(diǎn)分別位于橢圓長軸與短軸

的端點(diǎn)，P的坐標(biāo)為(+3,±2),

⑵當(dāng)兩條切線斜率均存在時，設(shè)過點(diǎn)P（x0,y0）的切線為丁=%（%-%）+%，

X2/_X2［M%—%0）+為了

9494

+9］左2（》_入0）~+＞；+260（%_入0）］=36

2

4%+9］攵與2+女2焉一2入*+y；+2ky（）x-2ky（）x0］=36

整理得（9父+4）爐+18左（%—米（Jx+9（%—履O）2-4=0,

.?.△=［18%（%-5）丁一4（9公+4卜9［（），0-5）2-4=0,

整理得（考-9）--2%x%x氏+（$-4）=0,

—1=匕,人,=---=—1,/.xj+y（）=13.

'%一9

把點(diǎn)(±3,±2)代人亦成立，點(diǎn)P的軌跡方程為：x2+y2=l3.

方法2:過點(diǎn)片、F2分別作兩條切線PA.PB的對稱點(diǎn)E,F,分別

交PA.PB于點(diǎn)CD,再連接OC、OD、OP、EF］、FFt,因為點(diǎn)C是

EFi的中點(diǎn)且點(diǎn)。是耳巴的中點(diǎn)，所以O(shè)C=g叫=3,同理可

得。。=；個=3,因為四邊形PCFQ是矩形，所以|0P『+

|O制2=|OC『+|oo|2=i8,又因為。耳=石，所以|OP|2=13,所以P點(diǎn)是以原

點(diǎn)為圓心，半徑為VT3的圓，故點(diǎn)P的軌跡方程為X2+/=13.

6.（2021-龍巖期中）已知向量。、b、c滿足：|。|=1,（。一d）_LS—>c）,〃J_（q-2Z?）若

6的最大值和最小值分別為利耳則m+〃等于（）

A.2

2

RV5

2

C-A/37

D述

2

答案：

如圖2,作OA=d,OB=b,OC=c,貝U

c=OA-OC=CA,b=c=OB-OC=CB,

由(afc>S—c)=0,得CACB=Q,故CALCB以CA,CB為兩

鄰邊構(gòu)造矩

形CBDA,由矩形性質(zhì)得OC2+OD2=O/^+OB2,因為圖2

0A=1,08=也，代人

2

上式得0。2+。。2=?.由_L(a-2〃)得?(4-26)=0,則2am=Q2=],AB

=|OA—OB|=|a—b|=yj(a—b)~=\ja2+b~-2a-b=

CD由三角形中線長公式得OC2+O02=2(O”+CM2),則

2

41(/v7Y

—=20M2+",解得0M

4