2023年經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)函數(shù)

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)函數(shù)

教學目的：

1.理解集合、區(qū)間、鄰域等基本概念,掌握集合的運算及構(gòu)

造法

2.理解函數(shù)的概念；明確函數(shù)定義有兩個要素;依賴關(guān)系、

定義域;掌握函數(shù)表達式的運用

3.了解函數(shù)的基本性質(zhì)；知道鑒定諸性質(zhì)的思緒

4.掌握將復合函數(shù)由外及里分解為簡樸函數(shù)的方法

教學重點：函數(shù)的概念及其性質(zhì)；理解集合、鄰域的概念

教學難點：復合函數(shù)的復合過程；函數(shù)的性質(zhì)

教學課時：4學時

教學方法：歸納法、講授法

教學過程：

1.1.1相關(guān)知識回顧、復習

（一）集合

1.集合:具有某種性質(zhì)的事物的全體

元素:組成集合的事物。a是集合M的元素表達為awM.

子集:若xeA,則必有xeB,則稱A是8的子集，記為

Au3（讀作A包含于8）或BoA.

真子集:若AuB且A*氏則稱A是B的真子集，記作A宗N.

例如，N&Z^Q^R.

集合相等:假如集合A與集合B互為子集，AuB且BuA,則

稱集合A與集合B相等，記作A=B.

空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作0.

2.集合的運算

并集:設/、8是兩個集合，由所有屬于A或者屬于6的元素組

成的集合稱為A與B的并集(簡稱并)，記作ADB,即

AuB={xIxeA或x&B}.

交集:設A、8是兩個集合，由所有既屬于/又屬于8的元素組

成的集合稱為A與8的交集(簡稱交)，記作Ac6,即

AcB={x|xeA且xeB}.

幾個數(shù)集：

N表達自然數(shù)集；R表達實數(shù)集；

Z表達整數(shù)集.Q表達有理數(shù)集.

選擇性補充內(nèi)容：

差集:設A、3是兩個集合，由所有屬于4而不屬于B的元素

組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差)，記作/正，即

A\B-{x\x&A且xeB}.

余集或補集:假如我們研究某個問題限定在一個大的集合I

中進行，所研究的其他集合A都是/的子集.此時，我們稱集合

/為全集或基本集.稱I\A為A的余集或補集，記作AG

集合運算的法則：

設力、8、C為任意三個集合，則

(1)互換律AuB=8uA,Ace=3cA；

(2)結(jié)合律(Au5)uC=/u(6uC),(XnB)nC=An(B

c。；

(3)分派律(AuB)cC=(AnC)o(BnO,(AnB)uC=(AoC)c

go

(4)對偶律(AD6)'=ACnBc,(XnB)c=XcuBc.

(A<JB)C-A'c6。的證明：

xe(AuB)CoxeADB<=>x史A且x任BoxwA,且尤eB。<=>x

EACC3'，所以(Au3)c=Acr\Bc.

直積(笛卡兒乘積)：

設A、8是任意兩個集合，在集合A中任意取一個元素*,在

集合B中任意取一個元素兒組成一個有序?qū)?x,y),把這樣的有

序?qū)ψ鳛樾略兀鼈內(nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直

積，記為Axa即

y4xJ?={(x,y)|xw月且yeB}.

例如，RxR={(x,y)|尤eR且yeR}即為xOy面上全體點

的集合,RxR常記作R2.

3.區(qū)間和鄰域

有限區(qū)間：

設a〈仇稱數(shù)集{x[a<x。}為開區(qū)間，記為(a,b),即

(a,h)={x\a<x<b}.

類似地有

[a,b]={x|a4x4b}稱為閉區(qū)間，

[a,6)={x[a<x<b}>(a,h]={xlaVxWb}稱為半開

區(qū)間.

其中a和8稱為區(qū)間(a,份、[a,切、[a,5)、(a,b]的端點，。-a

稱為區(qū)間的長度.

無限區(qū)間：

[a,+oo)={x|a<x},(-oo,b]={x|x</?},(-oo,

+oo)={AT11x|<+oo}.

鄰域：以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域，記作U

(a).

設d是一正數(shù)，則稱開區(qū)間(a-萬為點a的渝域，記作U(a,

d),即

U(a,d)={x|a-d<x<a+d)={x||

x-a\<d}.

其中點。稱為鄰域的中心，3稱為鄰域的半徑.

去心鄰域U(a,8)zU{a,<5)={x|0<|x-a|<d}

4.常量和變量

常量：在所考察的過程中保持不變的，把它稱作常量；習慣用

字母a,b,c,d等表達

變量:在所考察的過程中是變化的,可以取不同數(shù)值，把它稱作

變量.變量習慣用羽,衣,",匕卬等表達

(二)函數(shù)的概念及表達法

定義L1設x和y是兩個變量，若當變量x在非空數(shù)集D內(nèi)

任取一數(shù)值時，變量y依照某一規(guī)則了總有一個擬定的數(shù)值與之相應,

則稱變量y為變量X的函數(shù)，記作3.這里，X稱為自變量，y

稱為因變量或函數(shù)./是函數(shù)符號，它表達"與x的相應規(guī)則.有時

函數(shù)符號也可以用其他字母來表達，如丁=g(?或y=。(幻等.

集合D稱為函數(shù)的定義城，相應的y值的集合則稱為函數(shù)的值

域.

函數(shù)的兩要素：定義域和相應法則

說明：

a.函數(shù)符合可以使任意符號

b.自變量的取值集合叫做定義域;相對于因變量的取值集合叫

做值域

c.函數(shù)值：y\_或/(%).當x=x()時，y=/(x)的函數(shù)值

X=X。u

例1.已知/(幻==求：/(0),/(2)，/(-%),/(-),/(x+l),/(x2)

1+x2x

解析:略

引申：比較下列函數(shù)是否相同

/(-X)與:/'(x)；/(x+1)與/(x)+l/(V)與。(切2

例2求下列函數(shù)的定義域.

(2)具有偶次根式，被開方式必須大于等于零；/(幻=內(nèi)二7

⑶具有對數(shù)式，真數(shù)必須大于零；/(x)=lg(4x-3)

(4)具有反正弦或反余弦中的式子的絕對值必須小于等于1；

/(x)=arcsin(2x-1)

(5)兩式和與差求交集；/(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-l).

函數(shù)表達法：解析法(又稱公式法)、表格法和圖形法.

(1)y=43-x'這是一個用解析式子表達的函數(shù).

(2)某商店一年中各月份毛線的銷售量(單位：102kg)的關(guān)系如

表所示.

月份*123456789101112

綃售量

W102kg

這是用表格表達的函數(shù).

(3)下圖是氣象站用自動溫度記篇及記錄下來的某地一晝夜氣

(三)分段函數(shù)

例某市電話局規(guī)定市話收費標準為:當月所打電話次數(shù)不超過

30次時，只收月租費25元，超過30次的，每次加收0.23元.則電話

費y和用戶當月所打電話雌人的關(guān)系用用于湎的形式給出：

v="

25+0.23/x>30.

分段函數(shù):把定義域提成若干部分，函數(shù)關(guān)系由不同的式子分段表

達的函數(shù)稱為分段函數(shù).

x,x>0,

絕對值函數(shù)：y=|x|=<

-x,x<0.

1x>0

符號函數(shù)：y=sgnx=?0x=0

-1x<0

1x為有理數(shù)

狄利克萊函數(shù)：y=/(x)=

0x為無理數(shù)

例3設函數(shù)

x2+l,x>0,___

y=f(x)<2,x=0求：〃3),/(0),/(-5)及…

3x,x<0/

定義域。

sinx,-4<x<1,

例4設函數(shù)/(x)=<l,lKx<3,求/XF),/⑴，/(3.5)及函數(shù)的

5A:-1,x>3.

定義域.

解由于一萬e[-4,l),所以/(-%)=sin(rr)=0；

由于1G[1,3),所以/⑴=1;

由于3.5e[3,+oo)，所以/(3.5)=5x(3.5)—1=16.5；

函數(shù)f(x)的定義域為[-4,+8).

例5用分段函數(shù)表達函數(shù)丁=3-|2-幻，并畫出圖形.

解根據(jù)絕對值定義可知，當XW2時，|2-x|=2-x；當x〉2時,

|2-x|=x-2.于是有V14

x>2,3,

“5-x,x>2.

單值函數(shù)與多值函數(shù)

在函數(shù)的定義中,對每個xwD,相應的函數(shù)值y總是唯一的，

這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).假如給定一個相應法則，按這

個法則，對每個xeD,總有擬定的y值與之相應，但這個y不

總是唯一的，我們稱這種法則擬定了一個多值函數(shù).例如，設

變量x和y之間的相應法則由方程x2+y2=r2給出.顯然，對每

個xe[-r,r],由方程x2+y2=r2,可擬定出相應的y值，當x=r

或x=-1"時，相應y=0一個值；當x取(-r,r)內(nèi)任一個值時，相

應的y有兩個值.所以這方程擬定了一個多值函數(shù).

對于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單

值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例

如，在由方程x2+y2=r2給出的相應法則中，附加“y20”的條件，

即以“x2+y2=r2且注0”作為相應法則，就可得到一個單值分

支產(chǎn)2T2；附加“ye”的條件，即以“x2+y2=r2

且y40”作為相應法則，就可得到另一個單值分支

22

y=y2(x)=-ylr-x.

1.1.2函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的有界性

定義1.2設函數(shù)y=/(x)在集合。上有定義，假如存在一個正

數(shù)對于所有的xe。，恒有|/(幻區(qū)則稱函數(shù)/(幻在。上是

有界的.假如不存在這樣的正數(shù)M,則稱/(幻在。上是無界的.

若VxeD于'(x)WM,則稱/(x)在xeO內(nèi)有上界，M稱為上界

若VxeD則稱/(x)在xe。內(nèi)有下界,m稱為上界

若函數(shù)y=/(x)即有上界又有下界，則稱/(x)在xe。內(nèi)有界

說明：1.幾何意義是：曲線y=/(x)在區(qū)間3勿內(nèi)被限制在

y=M和y=-M兩條直線之間.

2.若函數(shù)有界,M取值不唯一,

3.有界性是依賴于某一個取值區(qū)間.

的。----—

2.函數(shù)的奇偶性

定義1.3設函數(shù)y=/(x)在集合。上有定義,假如對任意的

xe。，恒有/(-x)=/(x),則稱/(x)為偶函數(shù);假如對任意的xe￡),

恒有/(-x)=-/(x),則稱/(幻為奇函數(shù).

由定義可知，對任意的xeO,必有-xe。，否則，/(-幻沒故意

義.因此函數(shù)具有奇偶性時,其定義域必然是關(guān)于原點對稱的.

偶函數(shù)的圖象是對稱于y軸的.[,華

奇函數(shù)的圖象是對稱于原點的.…丁,

例6判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)=3x4-5x2+7；

(2)f(x)=2x2+sinx;

(3)/(x)=：(「—a")(a>0,a1).

解⑴由于f(r)=3(-x)4-5(-療+7

=3x4-5x2+7=f(x)

所以/(x)=3/—5/+7是偶函數(shù).

解⑵由于

f(-x)=2(-x)2+sin(-x)=2x2-sinxWf(x),

同樣可以得到

f(-x)*—/(“),

所以/（x）=2/+sinx既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù).

解⑶由于

=-3個-優(yōu)）=-/（幻

所以/（X）=g（〃r—/）是奇函數(shù).

補充:奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)奇函數(shù).奇函數(shù)=偶函數(shù)

偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù).偶函數(shù)=偶函

數(shù)

奇函數(shù)+偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù)=奇函數(shù)

3.函數(shù)的單調(diào)性

定義1.4設函數(shù)y=/（x）在區(qū)間3加內(nèi)有定義，假如對于

（a,份內(nèi)的任意兩點再和々，當為＜/時,有/（與）＜/（%2），則稱函數(shù)

/（x）在（a,價內(nèi)是單調(diào)增長的；假如對于（a,與內(nèi)的任意兩點花和馬,

當王＜々時，有/（王）＞/（々），則稱函數(shù)/（x）在（。力）內(nèi)是單調(diào)減少

的.

單調(diào)增長函數(shù)與單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

單調(diào)增長的函數(shù)的圖象是沿x軸正向逐漸上升的;

單調(diào)減少的函數(shù)的圖象是沿x軸正向逐漸下降的.

例7驗證函數(shù)y=3x-2在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)是單調(diào)增長的.

證在區(qū)間(-00,+00)內(nèi)任取兩點％<工2于是

/(%)-/(%)=(3石-2)-(3%-2)=3(%-%)<0,即/(芭)</⑷，

所以y=3x-2在區(qū)間(-8,+oo)內(nèi)是單調(diào)增長的.

4.函數(shù)的周期性

定義1.5對于函數(shù)y=/(x),假如存在正數(shù)。，使

/(%)=/(X+4)恒成立，則稱此函數(shù)為周期函數(shù).滿足這個等式的最

小正數(shù)。稱為函數(shù)的周期.

1.1.3反函數(shù)

定義1.6設y=/(x)是X的函數(shù)，其值域為R，假如對于R中

的每一個y值，都有一個擬定的且滿足丁=/a)的x值與之相應，則

得到一個定義在R上的認為y自變量，x為因變量的新函數(shù),我們稱

它為丁=/(x)的反函數(shù),記作x=廣1(丁).并稱y=f(x)為直接函數(shù).

通常把％=尸(丁)改寫為尸尸(幻.

求反函數(shù)的過程可以分為兩步：第一步從y=/(x)解出

》="|(>)；第二步互換字母x和

例8求y=4x-l的反函數(shù).

解由y=4x—1得至1」尤=四，然后互換x和y,得了=山.即

y=山是y=4x—l的反函數(shù).

4

函數(shù)v=/(x)與其反函數(shù)y=(x)的圖形關(guān)于直線y=x對稱.

1.1.4基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)y=c

(2)當a＜0時，圖象但是原點，但仍通過＞

點(1,1),在(0,+8)內(nèi)單調(diào)減少、無界，曲線以x

3.指數(shù)函數(shù)y="(a>0,aHl)

它的定義域是(-8,+8),它的圖象所有在X軸上方，且通過點

(0,1).

當。＞1時，函數(shù)單調(diào)增長且無界,曲線以

軸負半軸為漸近線；

當0＜。＜1時，函數(shù)單調(diào)減少且無界，X以軸正半軸為漸近線,

4.對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,awl)(指數(shù)函數(shù)的反函數(shù))

y

ty=x

它的定義域是(0,+8),圖象所有在y軸右方，1/

值域是(-叫+8).無論。取何值，曲線都通過點

(1,0).

當。>1時，函數(shù)單調(diào)增長且無界，曲線以y軸負半軸為漸近線;

當0<"1時，函數(shù)單調(diào)減少且無界，曲線

以y軸正半軸為漸近線.'ra

對數(shù)函數(shù)y=log?x和指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)互為,

反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y=x對稱./"

以無理數(shù)e=2.7182818…為底的對數(shù)函數(shù)y=logex叫做自然

對函數(shù)，簡記作y=lnx

補充:=NTb=log“Nlog((b=

log“M=blog?N

loga/=log"MTog“Nlog?(M-N)=log,,M+log,,N

5.三角函數(shù)

三角函數(shù)的自變量x采用弧度制，不弧度=180P

正弦函數(shù)

函數(shù)y=sinx的定義域為

(-8,+8),值域［-I』，奇函數(shù)，認為-3y

21周期，有界.y\

cosx

余弦函數(shù),

函數(shù)y=cosx的定義域為(-8,+8),值域為，［-1,1］偶函數(shù)，認為

2〃周期，有界.

正切函數(shù)

函數(shù)y=tanx的定義域為

TT

x手k/r——(％=0,±1,±2…)，

2

值域為(-8,+8),奇函數(shù)，認為萬周期，在每一個連續(xù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增

長，以直線x=br+々左=0,±1,±2,...)為漸近線.

2

余切函數(shù)

函數(shù)y=cotx的定義域為x#版■(%=0,±1,±2…)，值域為

(-8,+8),奇函數(shù)，認為〃周期,在每一個連續(xù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，以直

線x=k兀(k=0,±1,±2,.?-)為漸近線.

正割函數(shù)：y=secx=——

cosx

余割函數(shù)：y=cscx=」一

sinx

6.反三角函數(shù)

反正弦函數(shù)

y=arcsinx,定義域是［-1,1］,值域［-工，生］，是單調(diào)增長的奇函

22

數(shù),有界.

反余弦函數(shù)

y=arccosir,定義域是值域［0,捫，是單調(diào)減少函數(shù)，有

界.

反正切函數(shù)

y=arctanx,定義域是(-8,+oo),值域

(gg,是單調(diào)增長的奇函數(shù)，有界.

反余切函數(shù)

j=arccotx,定義域是(-8,土》),值域

(0,萬)，是單調(diào)減少的函數(shù),有界.

1.1.5復合函數(shù)與初等函數(shù)

1.復合函數(shù)

定義1.7設y是”的函數(shù)y=/(“)，〃是x的函數(shù)〃=°(x).

假如〃=(p{x}的值域或其部分包含在y=/(?)的定義域中，則y通過

中間變量〃構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復合函數(shù)，記作

其中，x是自變量，〃稱作中間變量.

說明：(1)不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成一個復合函數(shù)，