任意三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑的求法

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圓與三角形有著密不可分的關(guān)系，對于任意一個三角形來說，三角形是圓的內(nèi)接三角形或是外切三角形。而對于圓來說，三角形必定有它的外接圓和內(nèi)切圓。那么三角形的各邊數(shù)量關(guān)系與其對應(yīng)的圓的半徑有著怎樣的一種關(guān)系呢？下面就上述問題作一摸索。一、特別三角形―――直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑的求法。

例1、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求外接圓半徑R和內(nèi)切圓半徑r值。

解：由題意得；R?c13a?b?c5?12?13???2。；r?2222二、非特別三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑的求法。

例2、已知△ABC中，AB＝13，AC＝14，BC＝15，求外接圓半徑R和內(nèi)切圓半徑r值。解：如圖：作BC邊上的高線AD；設(shè)BD＝x，則CD＝15－x。由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，

即：132?x2?142??15?x?，得x=

233；5再得：AD＝

56，51、先求內(nèi)切圓半徑：根據(jù)s?ABC?得：

1?a?b?c?r21561?15???13?14?15?r252得：r＝4；

2、作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長交⊙O于E，連接CE。則△ABD∽△AEC，

56ABAD6513?則，即?5，得R＝。AEAC82R14

例3、已知△ABC中，AB＝13，AC＝52，BC＝17，求外接圓半徑R和內(nèi)切圓半徑r值。

解：如圖：作BC邊上的高線AD；設(shè)BD＝x，則CD＝17－x。由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即：132?x2?52再得：AD＝5，1、先求內(nèi)切圓半徑：根據(jù)s?ABC?得：

??2??17?x?，得x=12；

21?a?b?c?r211?17?5?13?17?52r22??

得：r＝

6?2；22、作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長交⊙O于E，連接CE。則△ABE∽△ADC，則

ABAE132R132??，即，得R＝。ADAC5522三、小結(jié)

例2和例3中，求三角形內(nèi)切圓半徑是通過s?ABC?的面積和周長來達到目的。

求三角形外接圓半徑是通過三角形相像來計算的。它們有一共同的特征就是要求出一條邊上的高線。

例2和例3中的三角形分別是銳角三角形和鈍角三角形，為了避免在計算中分類的問題，可統(tǒng)一為選擇最長的一邊為底邊，再計算這條邊上的高線即可,這時就不需考慮這個三角形是銳角還是