2019-2020年高考數(shù)學(xué)試卷題含答案

XX上海市學(xué)業(yè)水平考試

暨春季高考數(shù)學(xué)試卷（有答案）

一.填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）1.

復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部是.2.若，則

.3.直線與直線的夾角為

.4.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

135

0405..三階行列式中，元素

的代數(shù)余子式的值為

211

6.函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù).7.

_______________.在中，若，，，則

8..(結(jié)果用數(shù)值表示)個(gè)人排成一

排照相，不同排列方式的種數(shù)為9..無(wú)窮等

比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則的各項(xiàng)的和為10.若(為虛數(shù)

單位)是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則

.11..函數(shù)在區(qū)間上

的最小值為，最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12.在平面直角

坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為

分)36題，每題3分，共二.選擇題(本大題共12

13.滿足且的角屬于()

(C)第三象限)第二象限(A)第一象限(D)第四象限

(B

14.半徑為的球的表面積為()

()(AC)(D)(B)

15.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為()

(C(B))(A)(D)

16.幕函數(shù)的大致圖像是()

17.已知向量，，則向量在向量方向上的投影為()(DOO)

BA()(

18.設(shè)直線與平面平行，直線在平面上，那么()(A)直

線平行于直線(B)直線與直線異面

)直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)C((D)直線與直線不垂直

2

+++++=+++

++++++++=+++

19.2nIn2n23L在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的第步中,

假設(shè)時(shí)原等式成立，那

么在時(shí)需要證明的等式為()

22123L2k2(k1)2kk2(kl)(k1)

(A)

22k2(k1)2(kl)123L(k1))(B

22123L2k2k12(k1)2kk2(k

l)(k1)(C)

21)12(kl)2k2k12(kl)2(k3L)(D

20.)關(guān)于雙曲線與的焦距和漸近線，下列說(shuō)法正確的是(

)焦距相等，漸近線不相同)焦距相等，漸近線相同(B(A

)焦距不相等，漸近線不相同(D(C)焦距不相等，漸近線

相同

21.)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則””是“為奇函數(shù)”的(

)必要不充分條件BA)充分不必要條件((

)既不充分也不必要條件)充要條件(D(C

22.)下列關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式中，不恒成立的是(

)(A)(B

)(D(C)

OO

23.關(guān)于以若，則.2若，則；設(shè)單位向量與既不平行也不垂直，

對(duì)非零向量、有結(jié)論：1

)上兩個(gè)結(jié)論，正確的判斷是(

OOOO

1)1(A)(B成立成立，不成立不成立，22

OOOO

1)(C1)(D不成立成立，成立不成立，22

22yx

：C對(duì)于橢圓a224.bb）1（a,b0,a在平面直角.若點(diǎn)滿足.

則稱該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，（a,b）2

）（坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足條件

的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為

CBA（）三角形及其內(nèi)部（）矩形及其內(nèi)部（）

圓及其內(nèi)部（）橢圓及其內(nèi)部D

題，共58+8+8+12+12=48分）解答題（本大題共.三

25.分）如圖，已知正三棱柱的體積為，底面邊長(zhǎng)為，求異面

直線與所成的角的8（本題滿分.大-

26.（本題滿分8分）已知函數(shù)，求的最小正周期及最大值，

并指出取得最大值時(shí)的值.

27.分）如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一

部分，燈口所在的（本題滿分8

圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口

直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡.的頂點(diǎn)的距離

28.（本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4

分，第2小題滿分8分.

.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列

若成等比數(shù)列，求的值；（1）

.2（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列滿足，

記，求數(shù)列的最小項(xiàng)（即對(duì)任意成立）.--

29.（本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5

分，第2小題滿分7分.

對(duì)于函數(shù)，記集合.

）設(shè)，，求；（1

.2）設(shè)，，，如果（

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2019-2020年高考數(shù)學(xué)試卷題含答案

一.選擇題：(9分)

1.若函數(shù)(則的一個(gè)值是，是偶函數(shù))

(D)(A)(B)(C)

2.在復(fù)平面上，滿足的復(fù)數(shù)的所對(duì)應(yīng)的軌跡是0

兩條直線一條線段(C)(B)一個(gè)圓兩個(gè)點(diǎn)(D)(A)

A(l,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2),若直線與的圖像,

其中，如圖已知函數(shù)的圖像是折線3.

，則的取值范圍是(恰有四個(gè)不同的公共點(diǎn))

(A)(B)(C)(D)

二.填空題：(9分)

4.橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為

10,母線與軸的夾角為，則該圓錐的側(cè)面積為5.已知圓錐的母線

長(zhǎng)為_(kāi)__________________

，方法為：當(dāng)?shù)谔煜逻^(guò)雨時(shí)，記，當(dāng)?shù)谔靫xl2月份31小明用數(shù)

列記錄某地區(qū)6.天中每天是否下過(guò)雨

，方法為：當(dāng)預(yù)報(bào)第天有雨時(shí)，沒(méi)下過(guò)雨時(shí)，記，他用數(shù)列記錄

該地區(qū)該月每天氣象臺(tái)預(yù)報(bào)是否有雨

ababLab25ba那么，小明計(jì)算出，記記錄完

畢后，當(dāng)預(yù)報(bào)第天沒(méi)有雨時(shí)，記3133113122

該月氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的總天數(shù)為

三.解答題：(12分)

對(duì)于數(shù)列與，若對(duì)數(shù)列的每一項(xiàng)，均有或，則稱數(shù)

列是與的一個(gè)“并數(shù)列"O

（1）設(shè)數(shù)列與的前三項(xiàng)分別為，若是與一個(gè)3,b2,

b5,a,b13al,a331212

“并數(shù)列”求所有可能的有序數(shù)組；

（2）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，的公差為1,首

項(xiàng)為正整數(shù)；的前10項(xiàng)和為-30,,前20項(xiàng)的

和為-260,若存在唯一的數(shù)列，使得是與的一個(gè)“并

數(shù)列”，求的

值所構(gòu)成的集合。

XX上海市學(xué)業(yè)水平考試暨春季高考數(shù)

學(xué)試卷（答案）

一.填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）

3.1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部是

2.若，則7.

3.直線與直線的夾角為

4.函數(shù)的定義域?yàn)?

135

0

04

8.中，元素的代數(shù)余子式的值為三階行列式5.

121

6.函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)1.

.在中，若,，,則7.

（結(jié)果用數(shù)值表示）8.個(gè)人排成一排照相，不同排列方式的種數(shù)

為24.

3.無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則的各項(xiàng)的和為

9.

-4.10.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次

方程的一個(gè)虛根，則

.11.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為,

則實(shí)數(shù)的取值范圍是

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最

小值為12.2..二分，共3分)3612

題，每題選擇題(本大題共

)13.滿足且的角屬于(B

)第四象限D(zhuǎn)()第三象限CA()第一象限()第二象限B(

)D14.半徑為的球的表面積為(

))(A)(B(C)(D

)C在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為(15.)D)((A)(B)

(C

)C幕函數(shù)的大致圖像是(16.

已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（17.）A

））（D（C）（（A）B

）設(shè)直線與平面平行，直線在平面上，那么（C18.

）直線與直線異面（（A）直線平行于直線B

）直線與直線不垂直）直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)（C（D

22nn23LI2n在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式19?的第步中，假設(shè)

時(shí)原等式成立，那

）么在時(shí)需要證明的等式為（D

22123L2k2(k1)2kk2(kl)(k1)

(A)

22k2(k1)2(kl)123L(k1))(B

22123L2k2k12(k1)2kk2(k

l)(k1))C(

2(k1)123L2k2k12(k1)2(k

1))(D

)關(guān)于雙曲線與的焦距和漸近線，下列說(shuō)法正確的是(20.B)

焦距相等，漸近線相同A()焦距相等，漸近線不相同B(

)焦距不相等，漸近線相同C()焦距不相等，漸近線不相同(D

21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“為奇函數(shù)”的(B)

)充分不必要條件A((B)必要不充分條件

)充要條件(C(D)既不充分也不必要條件

22.下列關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式中，不恒成立的是(D))B(A)

(

)D(C)(

OO

1若，貝IJ;設(shè)單位向量與既不平行也不垂直，對(duì)非零向量、有結(jié)

論：若，則.關(guān)于以上23.2

A兩個(gè)結(jié)論，正確的判斷是()

oooo

(A)1(B)1不成立，成立成立，不成立22

OOOO

((D)IC)1成立，不成立成立不成立，22

X22：C25.對(duì)于橢圓yb)1(a,b0,a

-----+------=

==------XX=yf"

=+T

=7T=

(a,b)則稱該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在平面直角若點(diǎn)滿足..22ba

B)坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足

條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為(

(A)三角形及其內(nèi)部(B)矩形及其內(nèi)部(C)圓及

其內(nèi)部(D)橢圓及其內(nèi)部

分)題，共三.解答題(本大題共58+8+8+12+12=48

26.(本題滿分8分)如圖，已知正三棱柱的體積為，底面邊長(zhǎng)

為，求異面直線與所成的角的大小.

23Vshh933:簡(jiǎn)解

4

，/是異面直線與所成的角

在中，

Z

27.(本題滿分8分)已知函數(shù)，求的最小正周期及最大值，并

指出取得最大值時(shí)的值.

f(x)sinx3cosx2sin(x)：簡(jiǎn)解，

3

T2,y2,x2k,kZmax

6

28(本題滿分8分)如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是

拋物線的一部分，燈口所在的

圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口

直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)的距離.

24ck

+

+X<

簡(jiǎn)解：建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入得

=所求距離

29.（本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分,

第2小題滿分8分.

已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列

成等比數(shù)列，求的值；（1）

⑵設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.數(shù)列滿足,

記，求數(shù)列的最小項(xiàng)（即對(duì)任意成立）.

簡(jiǎn)解：(1).,

Q)

bb(bb)(bb)L(bb)n11223nnl

21n1

111LI222

nl1nI

21221

2

2?1)nS20nn(n19n,n

2

nin22n21S2)nbn20n2cl(220nnnnni

12

C22n220n2cl)(nl)l(n20(nl)nmin

顯然，上式大于零，即，

是關(guān)于的增函數(shù)22,進(jìn)一步4n3

QnnQ24+2=2419,Q23+2=1419,

CCCCLcCCLc,53910124n

30.(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5

分，第2小題滿分7分.

對(duì)于函數(shù)，記集合.

）設(shè)，，求；（1

.）設(shè)，，，如果2（

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

<

>-

得，D1或x3xxf：（l）解由；gDxxllOxx（2）,f

hl1xDxX

a310,由hf13

DR,或D=,m）,（其中ml）-fhf22%則在R

上恒成立，

令,,）2y1tlt（tO1,2

42

時(shí)成立.

對(duì)于D=-,m）,（其中ml）h

f2

以下只討論的情況

x20,ttta01

3對(duì)于，令，

ta14a14a,（或0）Itl

22

又又以

xtllll4a14a即

223

1114al4a

loglog,mlx=n2233

綜上所述：

D：或XX（2）10xX1,fih

XIDxX

a310由，f2h3

D=或DR,,m),(其中m1)-fh

f22h.顯然恒成立，即

時(shí)，，在上恒成立

1x2令11It,t,a,

33

)2

+-

11,ty(tt21

42

，所以

:綜上所述

上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷XX二卷

)選擇題一.:(9分

1.若函數(shù)(B,是偶函數(shù)則的一個(gè)值是)

(D)(A)(C)(B)

滿足的復(fù)數(shù)的所對(duì)應(yīng)的軌跡是在復(fù)平面上,2.)(D

兩條直線(C)一條線段(B)一個(gè)圓兩個(gè)點(diǎn)(D)(A)

若直線與的圖像，3已知函數(shù)的圖像是折線如圖其中,

A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2)

(則的取值范圍是，恰有四個(gè)不同的公共點(diǎn))B

(D)(B)(A)(C)

分填空題.二:(9)

橢圓4.5的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為

5.已知圓錐的母線長(zhǎng)為10,母線與軸的夾角為，則該圓錐的側(cè)面

積為_(kāi)________

xxl2月份31天中每天是否下過(guò)雨，方法為：當(dāng)?shù)谔煜逻^(guò)雨

時(shí)，6.小明用數(shù)列記錄某地區(qū)記，當(dāng)?shù)谔?/p>

，方法為：當(dāng)預(yù)報(bào)第天有雨時(shí)，沒(méi)下過(guò)雨時(shí)，記，他用數(shù)列記錄

該地區(qū)該月每天氣象臺(tái)預(yù)報(bào)是否有雨

++

abababLab25那么，，記記錄完畢后，小

明計(jì)算出當(dāng)預(yù)報(bào)第天沒(méi)有雨時(shí)記,3113133122

該月氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的總天數(shù)為28

三.解答題：（12分）

7.對(duì)于數(shù)列與，若對(duì)數(shù)列的每一項(xiàng)，均有或，則稱

數(shù)列是與的一個(gè)“并數(shù)列"O

⑴設(shè)數(shù)列與的前三項(xiàng)分別為，若是與一個(gè)“并2,b

l,b3,a5,bal,a3331122

數(shù)列”求所有可能的有序數(shù)組；

⑵已知數(shù)列均為等差數(shù)列，的公差為1,首項(xiàng)為

正整數(shù)；的前10項(xiàng)和為-30,前，

20項(xiàng)的和為-260,若存在唯一的數(shù)列，使得是與

的一個(gè)“并數(shù)列”，求的值所構(gòu)成

的集合。

答案：

(1,2,3),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,5);

(1)

9

⑵

的前10項(xiàng)和為，設(shè)

,得，所以;

**,kNkl,t93k

a當(dāng)c時(shí),82ktNkk

kl,t

6或；k2t,3

所以

數(shù)列唯一，所以只要唯一確定即可。

顯然，時(shí)，不唯一，

2019-2020年高考數(shù)學(xué)問(wèn)題2.2函數(shù)中的存在

性與恒成立問(wèn)題提分練習(xí)

一、考情分析

函數(shù)內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，也是歷年高考的一個(gè)

熱點(diǎn).在新課標(biāo)下的高考越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生的

,它主要涉及到一次函數(shù)、二綜合素質(zhì)的考察，恒成立與存在性

問(wèn)題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑

次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性

質(zhì)及不等式等知識(shí)，滲透著換元、化歸、數(shù)

形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法故備受高考的青，在培養(yǎng)思維的

靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，

睞，成為高考能力型試題的首選.

二、經(jīng)驗(yàn)分享

2bxf(x)

axc(aO)設(shè)⑴.)上恒成立(,2(1)上恒成立；

UU

><

(2)對(duì)于一次函數(shù)有：

f(m)Of(m)0恒成立恒成立,f(x)Of(x)0

f(n)Of(n)0

(3)根據(jù)方程有解求參數(shù)范圍，若參數(shù)能夠分離出來(lái)，可

把求參數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域.

(4)利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式，(，為實(shí)參數(shù))恒成立

中參數(shù)的取值范圍的基本步驟：

①將參數(shù)與變量分離，即化為(或)恒成立的形式；

②求在上的最大(或最小)值；.),或(得的取值范圍③解不

等式

(5)對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來(lái)解.

利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知

條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)

系，得出答案或列出條件，求

.出參數(shù)的范圍

(6)某些含參不等式恒成立問(wèn)題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者

即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)

.即把主元與參數(shù)換個(gè)位置，往往會(huì)取得出奇制再結(jié)合其它知識(shí)可

考慮變換思維角度,，的最值卻難以求出時(shí)

勝的效果.

三、知識(shí)拓展

(1)恒成立問(wèn)題

XDfxAfxA；)，則￡,均有>()>(恒成立①.？min

xDfxAfxA；<(())<恒成立，②.？則￡,均有max

xDfxgxFxfxgxFx)>0(；()>(,)恒成立則)>0,

(；?)二(.?③金，均有()-而n

xDfxgxFxfxgxFx)<0；()-()<0,(D.?￡均有，/.

()〈(恒成立)，則(尸(max

xDxfxgxfxgx)；>則恒成立)〉均有￡.?⑤邑?E,

((),()(max1212min-------

xDxfxgxfxgx).()<)恒成立⑥.？，金貝I),?￡E，均

有(()<(min2121max

(2)存在性問(wèn)題

xDfxAfxA；>()>)成立，①.？則￡，使得(maxoo

xDfxAfxA；<()成立②.？，￡，使得則()<

minOO

xDfxgxFxfxgxFx)>0；)-((()成立，設(shè)()，③.？)二

e，使得I.(()>maxOOO

xDfxgxFxfxgxFx)<0((；成立，設(shè)),()=④.？；.￡(,

使得()V)-()minOOO

DEfxgxfxgxxx；成立)⑤.,￡),￡)，則使

得>(()>((??minl2max2lDEfXgXfXgXXX),均使得則()<

@.(e,(e)成立)？？v(.

maxmin1221

(3)相等問(wèn)題

fx的值域分別為若)(AB則,，

xDxEfxgx)成立，使得((①.？貝I；￡,?)二￡,

22nxDxEfxgx)成立，(則尸e.,?￡(,使得②？2山

(4)恒成立與存在性的綜合性問(wèn)題

xDxfxgxfxgx)；)(>)成立，則①？e,?￡E,使得

(()>(minl221minXDxfxgxfxgx)((成立？)e?,,eE,

使得(則)<②).<(

max12max!2

四、題型分析

解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)的存在性與恒成立問(wèn)題常用以下幾種方法：①

函數(shù)性質(zhì)法；②分離參數(shù)法；③主參換位

法；④數(shù)形結(jié)合法等.

(一)函數(shù)性質(zhì)法

32xfxfxxaxa的成立，求實(shí)數(shù)01【例】已知函

數(shù)=內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)一+10,若在區(qū)間[1,2],使得()<0

取值范圍.

【分析】本題實(shí)質(zhì)是存在性問(wèn)題

t解析】解法一；加）=婚-2?=341-勁（1比2\

當(dāng)多W即W寸/（XROg濃.21±為地函數(shù)，

當(dāng)1號(hào)aen|<x3時(shí)莒1夕號(hào)5?劭當(dāng)全但/。）*.

所以a=|a時(shí)｛x）取最小值.

因此有痣，<0,即當(dāng)”觸+10=-/5+10<0.解得<X>3、^這與|<a<3矛質(zhì)，

當(dāng)沁即小時(shí)/&）%）在口2±為胭數(shù).所以網(wǎng)“=<2）=18-也所以18-解得尾這符合<fe3.

綜上所述q的取值范圍為a*.

()=(-)-+

()=(-)()=-

3X1010+

XXx,+=a解法二：由已知得：>22

2010

XXxggxxx,=W設(shè)W()2),='(+1)—(132

xgxgx)在[1,2]上是減函數(shù).2,.?.('()<0,1???W所以

W

9im解法一在處理時(shí)，需要用分類討論的方法，

討論的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與區(qū)間[1,2]的關(guān)系；解法二是用【點(diǎn)評(píng)】

axxx232￡[l,4],,>而無(wú)需要分類討論.+10的參數(shù)分離，由于

中所以可以進(jìn)行參數(shù)分離

X山西大學(xué)附中第二次模擬】設(shè)函數(shù)XX【牛刀小試】【aaxf

xex

21,其中，若存在唯一的整數(shù)，

使得，則的取值范圍是()

.A…DBC

【答案】D

xxeagax2xl,hx由題意知存在唯一整數(shù)【解析】令

使得在直線的下方.，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)

遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為.當(dāng)

時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為，故且，解得.

(二)分離參數(shù)法

【例2】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線的

斜率為.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【分析】(1)由結(jié)合條件函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，可

知，可建立關(guān)于的方程：，從而解得；(2)要

使對(duì)任意恒成立，只需即可，而由(1)可知，，問(wèn)題即等價(jià)

于求函數(shù)的最大值，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

lx(llnx)

Inxxg'(x).?.在上是.?.在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)”性，從

而求得其最值：，當(dāng)時(shí)，，，令，解得22XX

減函數(shù)，因此在處取得最大值，，即為所求.

【解析】⑴???，，，

又???的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，.?.，

即，???;

(2)由(1)知，,

???對(duì)任意成立對(duì)任意成立，

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值令，，

1x(1Inx)InXx

g'(x),解得令，，2XX2

當(dāng)時(shí)，,??.在上是增函數(shù)；

,，當(dāng)時(shí).??在上是減函數(shù).

故在處取得最大值，，即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】在函數(shù)存在性與恒成立問(wèn)題中求含參數(shù)范圍過(guò)程中，當(dāng)

其中的參數(shù)(或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式)能夠與

,常用分離參其它變量完全分離出來(lái)并，且分離后不等式其中一

邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值或范圍可求時(shí)

,單獨(dú)放在不等式的一側(cè)數(shù)法.此類問(wèn)題可把要求的參變量分

離出來(lái)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

成新函數(shù)的最值問(wèn)題.

利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式，(為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù)的取

值范圍的基本步驟：

(1)將參數(shù)與變量分離，即化為(或)恒成立的形式；

⑵求在上的最大(或最小)值；

(3)解不等式(或)，得的取值范圍.

【牛刀小試】【xx湖南省郴州市上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】

已知函數(shù),，其中且，.

(1)若，且時(shí)，的最小值是一2,求實(shí)數(shù)的值；

(2)若，且時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】⑴；(2).

(解析］(I)*-'2=4,F(x)=j?(x)-/(x)=2log(2x+2)-logx=log

dadx

=log4＜x+-+2)

ax

易證A(x)=4＜x+」+2)在［；刀上單調(diào)遞減.在［1.2］上單調(diào)遞增.且版3＞以2),

x44

A(x)?=貝)=16.A(x)?,=限J=25.

4

.當(dāng)。＞1時(shí)，尸3g=105016,由108。16=-2,解得。=?(舍去)

當(dāng)0＜。＜1時(shí),尸(力2=logd25,由logd25=-2,解得。=，

綜上失映數(shù)。的值是

士+-

xlog(2x21ogt2)，即(2)?.?恒成立,恒成立aa

1Xlog(2xlog2)ta.a

2

又???

，，恒成立

1(X),2］)171［,y2xxx22(令2

448故實(shí)數(shù)的取值范圍為

主參換位法）（三

,(1)【例3函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，】已知函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇

函數(shù)求的值；(2)若上恒成立，求的取值范圍.

那么解題的關(guān)鍵恰恰就在于該把其中哪個(gè)字母看成是，【分析】

在第二小題所給條件中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及

而根據(jù)本題中的條件特征顯然可將視作自變量另一個(gè)作為常

數(shù).，一個(gè)變量則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)，

問(wèn)題即可求解恒成立的問(wèn)題0,于的一次函數(shù)大于等于.

⑴【解析】

,，知：(1)由⑵

在上單調(diào)遞減，

，在上恒成立

只需，

(其中)恒成立，

(X)=+入+++之入4一

t(-)=--+v

f由上述②結(jié)論：可令,2)Isinl10((t1)t

，則

而恒成立

,當(dāng)分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與

變量【點(diǎn)評(píng)】某些函數(shù)存在性與恒成立問(wèn)題中，

,可考慮變換思維角度.即把主元與參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它

知識(shí)，往往會(huì)取得但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)

出奇制勝的效果.此類問(wèn)題的難點(diǎn)常常因?yàn)閷W(xué)生的思維定勢(shì),

從而因計(jì)算繁，易把它看成關(guān)于的不等式討論

,把待求的x為參數(shù),,再來(lái)求解以為變量，構(gòu)造新的關(guān)于參

數(shù)的函數(shù)瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路

參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問(wèn)題就輕而易舉的得到解決了.

X的取值范圍.【牛刀小試】若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)

【答案】

212x10mmxf則是關(guān)于,m,設(shè)的一

次型函數(shù)，要使恒成立，只需【解析】可轉(zhuǎn)化為

2X2xOlf，解得.

2x22xfOl

（四）數(shù)形結(jié)合法

［例4］已知函數(shù)，在恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【分析】為了使題中的條件在恒成立，應(yīng)能想到構(gòu)造出一個(gè)新的

函數(shù)，則可把原題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造新的函數(shù)在

區(qū)間時(shí)恒大于等于的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分

類討論，即可使問(wèn)題得到圓滿解決.

【解析】令/?(*)?/(*卜士?"一出+2-t,

則對(duì)“[Ty)恒成立,而>(*)是開(kāi)口向上的拋物緣

當(dāng)圖象與X軸無(wú)交點(diǎn)滿足A<0赭JA-底-斗-同<0.

解得-2<±<1.

當(dāng)圖蒙與X軸有交點(diǎn).且在“HE時(shí)尸⑶少

則由二炮數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得：

AN0

戶（-1戶0

解得-34上4-2.

故由①?iqtsc

()=——===€=0

<

=5=e

A-<

【點(diǎn)評(píng)】如果題中所涉及的函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象、圖形較易畫(huà)出時(shí)，

往往可通過(guò)圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等

,選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下式從而求得參數(shù)

范圍.解決此類問(wèn)題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象

位置關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的范圍.，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)

合解決不等式問(wèn)題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)常見(jiàn)的.

有兩類函數(shù)：若二次函數(shù)大于0恒成立，則有，同理，若二次

函數(shù)小于0恒成立，則有.若是二次函數(shù)在指定區(qū)

間上的恒成立問(wèn)題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布

知識(shí)求解.

【牛刀小試】【XX河北省武邑上學(xué)期第三次調(diào)研考試】已知

定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，若不等式對(duì)任意

實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

.A.B

D.C.

【答案】A

33(XR)f(X)Xfxf(X)

xf(x),【解析】當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)

對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得

mOm,故選A.

28ml60

（五）存在性之常用模型及方法

laX2aInxxf］設(shè)函數(shù)5【例

()=+-----

,（-）[（-）-]

()=+'

(-V-

J-)[(-)-]

(())

(())==卜

-)

(-V--)U(y

bx.,?且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為

2

（1）求的值;

（2）若存在，使得，求的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)條件曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，可以將其

轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的方程，進(jìn)而求得的值：，；（2）

根據(jù)題意分析可得若存在，使得不等式成立，只需即可，因此

可通過(guò)探求的單調(diào)性進(jìn)而求得的最小值進(jìn)而得，

xllaxafXXIa到關(guān)于的不等式即可，而由

（1）可知fxalnxx則,，因此需2

x2

21,211,.,從而可以解得的取值范圍是對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討

論并判斷的單調(diào)性

，【解析】（1），由曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，得

XaxlaInx,2fx,分（2）由（1）可得4即,；

2

2x1aaxalaxaxlfxax11,xxx

令，得,，而，①當(dāng)時(shí)，，

1aa1為增函數(shù)在上,,,,1fxfImin22

令,即,解得.

②當(dāng)時(shí)，，

極小值

2fXaaaaa

alllf,min

1a21aa1a11a

不合題意，無(wú)解，10分

③當(dāng)時(shí)，顯然有，，.?.不等式恒成立符合題意，，

21,211,.綜上，的取值范圍是

【點(diǎn)評(píng)】解決函數(shù)中存在性問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：一是直接法同

上面所講恒成立；二是間接法，先求其否定

(恒成立)，再求其否定補(bǔ)集即可解決.它的邏輯背景：原命

題為的否定為；原命題為的否定為“?處理的原

則就是：不熟系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題.

【牛刀小試】已知,，

(1)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍

【解析】/(x),g(x)在似2]上都是塔函軌所以的值域/=[0用,式”)的值域?yàn)?["43-4

(1)若存在％E[02],使得/(^)>以巧),則/00B.>式《)a司4》一。.所以。>-4

(2席存在小電使得/QWgG),則小[3工0二?一。,且由3-。之0,???實(shí)數(shù)。的取值國(guó)是[~4.103]

川-)*

=——=(-)+2

五、遷移運(yùn)用

1.[XX屆江西省上高縣高三上學(xué)期第四次月考】若不等式對(duì)任

意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()

A.[B.C.D.

A【答案】

22X<0對(duì)任意恒成立，(x)=-logf(X)=3xx?g,不等式【解

析】構(gòu)造函數(shù)-10g3xaa

/.f()Wg(A3?-WO.0<a<1且a2.,.實(shí)數(shù)a的

取值范圍為[,故選A

3x31al2x

lnln3x1,12月聯(lián)考】若不等式對(duì)任意的恒成立屆廣西

貴港市高三上學(xué)期2.1xx3

則的取值范圍是()

A.B.C.D.

D【答案】

x2xx3al133in

,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有：，整理【解析】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)

算法則有：In

33

X2xxl32y31當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，其中.即時(shí)，

函數(shù)取得最小可得：，由恒成立的條件有：，

x33

值.

綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).

3.【xx屆福建省閩侯高三12月月考】已知函數(shù)，若關(guān)于

的不等式恰有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值是()

A.B.C.D.

D【答案】

【解析】函數(shù)〃x)的圖象如圖所示.關(guān)于x的不等式[r(切+/X)<0.

當(dāng)。>。時(shí).-a</(x)<0,由于關(guān)于x的不等式[/2壯)]+叭工)<0恰有1個(gè)整數(shù)解.

因此其整數(shù)解為3.又/(3)=-9+6=-3,所以-。<-3<。,一。N/(4)=-8,

則8N。>3，所以實(shí)數(shù)a的最大值為8.故選D.

()一()=(-)

4.[xx屆甘肅省高臺(tái)高三上學(xué)期第五次模擬】已知函數(shù)，若對(duì)

任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

【答案】B

1

xxR,hX；在同一坐標(biāo)恒成立；設(shè)【解析】函數(shù)對(duì)任意，恒

成立，，恒成立，即e

Ca1xgx,x

,如圖所示；系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象

hxgx,()則滿足不等式恒成立的是(,)圖象下方的圖象在

求的導(dǎo)數(shù)

,且該切線方程過(guò)原點(diǎn)且過(guò)圖象上點(diǎn)的切線方程為(0,0),

則，即，解得；???切線斜率為，，應(yīng)滿足ea,-1>-

aeaaaeB.(1->1-；又故選-1?1,.?.實(shí)數(shù)

的取值范圍是即

fxInxa2x2a4(a0)月聯(lián)考】已知函數(shù).[5xxl2屆廣東

省五校高三若有且只有兩個(gè)整，

數(shù)，使得，且，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

【答案】C

?(一)-+>(>)

()=--()=-

(盧()4-

［解析］利用彳除去當(dāng)a=0時(shí).〃x)=；Xs./(x)=/N0曲數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

|/(xi)-/(x2)|5/(l)-/(0)=Asl;有足題意.除CD選項(xiàng)3°=竽時(shí)，/(x)=；?_g

/'(x)=X2-g<0嬲在定義域上單調(diào)遞底,在)-7(^)1</(0)-=

滿足題意由滁B運(yùn)頁(yè)，

故選A

6+->

【解析】

Inxa2x2a40,aOax2a2xInx4a0,由題意可知，，

設(shè)，即

gx2xInx4,hxax2a在上為減函數(shù)，在上為增函

數(shù)，,，的圖象恒過(guò)點(diǎn)由，，在同一坐標(biāo)可知

，使得，且，則系中作出的圖象如下:若有且只有兩個(gè)整數(shù)aOOa

,解得，故選C.

{2ag1{hl即,

a21n33gh3

6.[xx屆陜西省西安高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)，若對(duì)于任意

的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.

D.

C.

【答案】A

f(msin)f(lm)0不等式若當(dāng)時(shí),7【xx寧夏育才中學(xué)上

學(xué)期第二次月考】設(shè)函數(shù)，則實(shí)恒成立，

數(shù)的取值范圍是()

C.D.A.B.

【答案】D

23xf(x)Olf(x)又在上是增函數(shù),，【解析】易得是奇函數(shù)

11Ilf(msin)mf(ml)msinmm1,0sinD.,故選

sin11sin

8.[xx河北省武邑中學(xué)2高三上學(xué)期第三次調(diào)研】若對(duì)，不等

式，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是()

.A..BDC.

【答案】D

eeexx2x2e4ax2e2e22222【解析】設(shè),恒成立x

y2xy2xy2y2?X2x2x21)(xl)exe(ellx

2x222xxh(x)(xl)eg(x)lxh'(x)g'(x),再設(shè)

x2,h'(x)0h(2)0h(x)，令當(dāng)當(dāng)

僅有一解，且，故選D.

2b)(xlnx

(bR)f(x)則實(shí)數(shù)若存在使得,,，山西省孝義市高三

上學(xué)期二輪?？肌恳阎瘮?shù)9.[xxX

的取值范圍是()

.A..DBC.

【答案】C

22b)b)f(x)(xll2x(xb)lnx(x2x(xb)lnx【解析】

由題意，得=.若存在，，則=一

2XX

使得，則，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞

減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，

.故選C所以，

10.[XX屆江蘇南通市高三第二次階段測(cè)試】若不等式在實(shí)數(shù)

集R上恒成立，則正整數(shù)的最大值是.

][參考數(shù)據(jù)：

【答案】

【解析】

不等式在實(shí)數(shù)集R上恒成立，等價(jià)于的圖象恒在

,設(shè)與的圖象相切時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，切線方程為，將點(diǎn)上方，

與的圖象相切時(shí)斜率最大代入切線方程可

xx1150gx2e

)二(->

X一

()=+-+()=)=--+-+=-+.

()=-+

()=+

<-4<4

，在上遞增，，，，的圖象恒在上方，所以，,所以正整數(shù)的最

大值得oOO

是，故答案為.

11.[XX屆河南省潦河高三上學(xué)期第四次模擬】已知（，為常數(shù)）

和是定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意的，存在使

得，，且，則在上的最大值為.

【答案】5

1XX12gllxl【解析】??，(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成

立),

x44x

XX11b,fxf221Ibcg2bbe22

x22x22

A,Vf(x)在x=2處有最小值，,，即b=8,故c=-5,

X31Xf85,f'x8x故,故f(x)在［1,2］上是減函數(shù)，在［2,4］

上是增函數(shù),2

2XX2

71f而5558241f(x)故，5?的最大值為，f8

22

fxaxxxfxAByfxAB,,(,設(shè)函數(shù)(的圖象上存在不同的

兩點(diǎn))=在點(diǎn)+sin使得曲線+cos).若函數(shù)=()12.

a的取值范圍為則實(shí)數(shù)，.處的切線互相垂直

【答案】

f(x)acosxsinxa2cos(x),【解析】因?yàn)?/p>

4

2cos(x2cos(xl(a))(a)).成立則存在實(shí)數(shù)，使得21

44不妨設(shè)k2],則k2cos(x2cos(x)[a)

(0,aaa2,0).i221

44

222,a(k)2a,12a因此0kl,1a1.21

13.[xx山西省孝義市高三上學(xué)期二輪?？肌吭O(shè)函數(shù),，其中，

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)時(shí)一

,(3)確定的所有可能取值使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.

2(X0)12ax.f'(x)2axl得【解析】(1)由，

XX

當(dāng)時(shí)，在成立，則為上的減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，由，得,

...當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增

函數(shù).

(2)證明：要證，即，即證，也就是證.

令,則，..?在上單調(diào)遞增,則，

;???當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，

2axe(3)由，得0laInx.i

____+—>

=__—+->

=--+----=+------2

X

ezaxOt(x)lainx.設(shè),,由題意知在內(nèi)恒成立ix

x

eieOt'Cx)xl2ax2axll.在內(nèi)恒成立，有v,ix

x22XXX

ee2a2a'（x）21x2則，令“xix

323XXX

當(dāng)時(shí)”

函數(shù)在上單調(diào)遞增，,???..令

又,,,,

綜上所述，,，在區(qū)間單調(diào)遞增，

即在區(qū)間單調(diào)遞增，.???

14.【xx四川省資陽(yáng)市高三上學(xué)期第一次診斷】已知函數(shù)（其

中）.

,求的取值范圍；I）當(dāng)時(shí)，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)（

（II）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，如

果存在，求的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由（其

中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，=2.71828?）.

2ax4x4a44）a（1（x）f22

,，【解析】（I）由題xxx.

①當(dāng)時(shí)，知，則是單調(diào)遞減函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，只有對(duì)于，不等式恒成立，才能使為單調(diào)函數(shù)，只

需,解之得，此時(shí).

2xbxbbb，其中（的取值范圍是.II）,綜上所述，

門(mén)（x）.22XXX

(i)當(dāng)時(shí)”于是在上為減函數(shù)，則在上也為減函數(shù)，

l)bef(e)bef(x)知0恒成立，不合題意，舍

去.(ii)當(dāng)時(shí)，由得.列表得(lbmax

ee

(0,)(,)

—1-0

極大值/、

①若，即，則在上單調(diào)遞減，

2e2elbll

【解析】(1)/3=萩-亞=雙斯-。)

當(dāng)。40時(shí),e*-。>0,二工6(r,0)時(shí),/<幻<0,/@)單調(diào)遞；咸

xe(0.+ao)Bt/f<x)>0J(x)單倜遞增

當(dāng)0<aV1時(shí)，令/\x)=。得x=0°5x=Ina.

(i)當(dāng)Ova<1時(shí),Ina<0,故：

Xes,ln。)吐了'(x>>0,“幻單調(diào)遞解

xe(ln?.O)Bt/f(x)<0,/@)單調(diào)遞減，

xe<0,-+w)Bt/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

f(x)知(iWe,而(10,(lf(e)e))bebe)bmax

eleeeeel

于是恒成立，不合題意，舍去.②若，即,

，上為減函數(shù)則在(,)上為增函數(shù)，在(,)

則必有，要使在恒有恒成立

24ee,,b

beOb2332232eee由于所以則10(2ee3el)ee

Ie,則，所以.4b,e20e2b22

2ee.bl

15.[xx湖北省襄陽(yáng)市四校高三上學(xué)期期中聯(lián)考】已知函數(shù)當(dāng)

時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方，求的取值范圍.

()(l),,(ii)當(dāng)時(shí)xxaxxexfxe恒成立，