2023年北京中考數(shù)學(xué)試卷解析

2023年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷逐題解析一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合題意的.截止到2023年6月1日，北京市已建成34個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水能力達(dá)到140000立方米，將140000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為A.14×104B.1.4×105C.1.4×106D.0.14×106【答案】B【解析】難度：★本題考查了有理數(shù)的基礎(chǔ)—科學(xué)計(jì)數(shù)法.難度易.實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的是A.aB.bC.cD.d【答案】A【解析】難度：★本題考查了有理數(shù)的基礎(chǔ)數(shù)軸的認(rèn)識(shí)以及絕對(duì)值的幾何意義；3.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除了顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為A.B.C.D.【答案】B【解析】難度：★本題考查了概率問題，難度易.4.剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱圖形的為A.B.C.D.【答案】D【解析】難度：★本題考查了軸對(duì)稱圖形的判斷；難度易.5.如圖，直線l1,l2,l3交于一點(diǎn)，直線l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，則∠3的度數(shù)為A.26°B.36°C.46°D.56°【答案】B【解析】難度：★本題考查了相交線平行線中角度關(guān)系的考查，難度易.6.如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M和點(diǎn)C被湖隔開，若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2km，則M,C兩點(diǎn)間的距離為【答案】D【解析】難度：★本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，難度易.7.某市6月份的平均氣溫統(tǒng)計(jì)如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是A.21,21B.21,21.5C.21,22D.22,22【答案】C【解析】難度：★本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)的求法，難度易；8.右圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的故宮博物院的主要建筑分布圖，若這個(gè)坐標(biāo)系分別以正東，正北方向?yàn)閤軸，y軸的正方向，表示太和門的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1），表示九龍壁的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,1），則表示下列宮殿的點(diǎn)的坐標(biāo)正確的是A.景仁宮（4,2）B.養(yǎng)心殿（-2,3）C.保和殿（1,0）D.武英殿（-3.5，-4）【答案】B【解析】難度：★本題考查了平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，難度易；9.一家游泳館收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購買會(huì)員年卡，可享受如下優(yōu)惠：會(huì)員年卡類型辦卡費(fèi)用（元）每次游泳收費(fèi)（元）A類5025B類20020C類40015例如，購買A類會(huì)員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50+25×20=550元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45~55次之間，則最省錢的方式為A.購買A類會(huì)員年卡B.購買B類會(huì)員年卡C.購買C類會(huì)員年卡D.不購買會(huì)員年卡【答案】C【解析】難度：★★本題考查了方案討論問題，難度中.10.一個(gè)尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示，通道由在同一平面內(nèi)的AB,BC,CA,OA,OB,OC組成，為記錄尋寶者的行進(jìn)路線，在BC的中點(diǎn)M處放置了一臺(tái)定位儀器.設(shè)尋寶者行進(jìn)的時(shí)間為x，尋寶者與定位儀器之間的距離為y，若尋寶者勻速行進(jìn)，且表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則尋寶者的行進(jìn)路線可能為A.A→O→BB.B→A→CC.B→O→CD.C→B→O圖1 圖2【答案】C【解析】難度：★★本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖像與路徑問題，難度中.二、填空題（本題共18分，每小題3分）11.分解因式：【答案】【解析】難度：★本題考查了因式分解的計(jì)算，難度易12.右圖是由射線AB，BC,CD,DE,EA組成的平面圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=________.【答案】360°【解析】難度：★本題考查了多邊形的外角和為360°，難度易；13.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，它的代數(shù)成就主要包括開放術(shù)，正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就.《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩.問：牛，羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛，2只羊，值金10兩；2頭牛，5只羊，值金8兩.問：每頭牛，每只羊各值多少兩？”設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為______.【答案】【解析】難度：★★本題考查了簡(jiǎn)單的二元一次方程組的應(yīng)用問題，但是閱讀量較大，需要學(xué)生迅速提取有用信息，難度中14.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a,b的值：a=________,b=________.【答案】a=4,b=2(答案不唯一，滿足)【解析】難度：★本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)值的問題，難度易；15.北京市2023~2023年軌道交通日均客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息，預(yù)估2023年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約為________萬人次，你的預(yù)估理由是_________________________.【答案】1038 根據(jù)2023～2023年平均增長(zhǎng)率.【解析】難度：★本題考查了根據(jù)圖像求平均增長(zhǎng)率問題，難度易.16.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線，尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線，已知：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線.小蕓的作法如下：如圖，分別以點(diǎn)如圖，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C,D兩點(diǎn)；作直線CD，所以直線CD就是所求作的垂直平分線.老師說：“小蕓的作法正確.”請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是______________________________________.【答案】三角形的全等判定（SSS）【解析】難度：★本題考查了垂直平分線的畫圖依據(jù)，難度易；三、解答題（本題共72分，第17～26題每小題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）17.計(jì)算：.【答案】【解析】難度：★解：原式=4-1+2-+2=5+本題考查了實(shí)數(shù)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，二次根式的化簡(jiǎn).綜合考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練記住三角函數(shù)值，掌握實(shí)數(shù)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)冪的運(yùn)算及二次根式的化簡(jiǎn).難度易.18.已知，求代數(shù)式的值.【答案】7【解析】難度：★★解：原式===原式=6+1=7本題考查了整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，注意先化簡(jiǎn)，再整體代入求值.難度中.19.解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解.【答案】解集為；非負(fù)整數(shù)解：x=0，1，2，3【解析】難度：★解：解①得：解②得：原不等式的解集為它的所有非負(fù)整數(shù)解為x=0，1，2，3本題考查了一元一次不等式的解法及把解集在數(shù)軸上表示出來，解答這類問題學(xué)生往往會(huì)在解題時(shí)不注意移項(xiàng)時(shí)”變號(hào)“而出現(xiàn)錯(cuò)誤.重點(diǎn)掌握不等式的基本性質(zhì)，難度易.20.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E，求證：【答案】證明見解析【解析】難度：★★證明：是等腰三角形AD是BC邊上中線本題考查了等腰三角形的概念及”三線合一“的性質(zhì)，八字模型的運(yùn)用.難度中.21.為解決“最后一公里”的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自行車供市民使用.到2023年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃600個(gè).預(yù)計(jì)到2023年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量是2023年底平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量的1.2倍.預(yù)計(jì)到2023年底，全市將有租賃點(diǎn)多少個(gè)？【答案】1000個(gè)【解析】難度：★★解：設(shè)2023年底，全市將有租賃點(diǎn)x個(gè).根據(jù)題意得：解得：x=1000經(jīng)檢驗(yàn)：x=1000是原分式方程的解.答：預(yù)計(jì)到2023年底，全市將有租賃點(diǎn)1000個(gè).本題考查了分式方程的應(yīng)用，找出題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出方程解出即可.難度中.22.在中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF.（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分.【答案】證明見解析；【解析】難度：★★（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形DF∥BEDF=BE四邊形DEBF是平行四邊形DE⊥AB四邊形BFDE是矩形（2）證明：四邊形BFDE是矩形在Rt△BFC中，CF=3，BF=4四邊形ABCD是平行四邊形BC=AD=5，DF=5AD=DFAF平分.本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì).等腰三角的定義及性質(zhì)運(yùn)用，主要考查了平時(shí)所講到的”角平分線+平行必出等腰的模型.難度中.23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B.（1）求m的值；（2）若PA=2AB，求k的值.【答案】（1）4（2）1或3【解析】難度：★★★解：（1）P是直線與雙曲線的交點(diǎn)，P在雙曲線上.m=4（2）<方法一代入法>由（1）知，P（2,4）代入直線y=kx+b得：4=2k+bb=4-2k直線交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，又PA=2ABk=1或k=3k的值為1或3（2）<方法二幾何法>此題分情況討論①若k>0且P、A分別在點(diǎn)B的兩側(cè)如圖① 圖①PA=2ABB為PA中點(diǎn)OB為中位線B（0,2）4=2k+2k=1②若k>0且P、B分別在點(diǎn)A的兩側(cè)如圖②【解析】難度：★★本題考察了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的基本性質(zhì)；兩點(diǎn)之間坐標(biāo)距離公式；分類討論；相似.難度中.本題可用兩種方法解決：第一種可利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)距離公式計(jì)算得出答案，雖然比較好思考，計(jì)算量卻很大；第二種利用幾何法畫圖求相似的方法，分類討論一次函數(shù)中k的取值范圍畫出不同情況的圖形解決問題.24.如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)B作⊙O的切線BM，弦CD∥BM，交AB于點(diǎn)F，且弧DA的長(zhǎng)度等于弧DC的長(zhǎng)度，連接AC，AD，延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E.（1）求證：△ACD是等邊三角形；（2）延長(zhǎng)OE，若DE=2，求OE的長(zhǎng).【答案】證明：∵=∴AD=CD∵CD∥BM∴CD⊥AB∵AD=AC∴AD=AC=CD∴△ACD是等邊三角形解：設(shè)AD=，則AE=2+BE=，半徑=∴∴解得=6∴DE=【解析】難度：★本題考察了圓的性質(zhì)和判定；勾股定理；難度易.25.閱讀下面材料2023年清明小長(zhǎng)假，北京市屬公園開展以“清明踏青，春色滿園”為主題的游園活動(dòng)，雖然氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬公園游客接待量約為190萬人次，其中玉淵潭公園的櫻花，北京植物園的桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客接待量分別為38萬人次、21.75萬人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚重文化底蘊(yùn)與滿園春色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為26萬人次，20萬人次，17.6萬人次；北京動(dòng)物園游客接待量為18萬人次，熊貓館的游客密集度較高.2023年清明小長(zhǎng)假，天氣晴好，北京晴好，北京市屬公園游客接待量約為200萬人次，其中，玉淵潭公園游客接待量比2023年清明小長(zhǎng)假增加了25%；頤和園游客接待量為26.2萬人次，比2023年清明小長(zhǎng)假增加了4.6萬人次；北京動(dòng)物園游客接待量為22萬人次.2023年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動(dòng)物園游客接待量分別為32萬人次、13萬人次、14.9萬人次根據(jù)以上材料回答下列問題：（1）2023年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園游客接待量為萬人次.選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，將2023－2023年清明小長(zhǎng)假玉淵潭公園、頤和園和北京動(dòng)物園的游客接待量表示出來.【答案】（1）40（2）年份 公園玉淵潭玉淵潭北京動(dòng)物園202332（萬）21.6（萬）14.9（萬）202340（萬）26.2（萬）22（萬）202338（萬）26（萬）18（萬）【解析】難度：★★本題考查了學(xué)生的閱讀理解及簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析，本題與往年考題不同之處在于以往是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析計(jì)算，今年不僅需要簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析計(jì)算，而且需要學(xué)生自己畫出統(tǒng)計(jì)表.難度中.26.有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y=x2+的圖象與性質(zhì).小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=x2+的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：函數(shù)y=x2+自變量x的取值范圍是_________；下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，x…-3-2-1--123…y…---m…求m的值；如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn).畫出該函數(shù)的圖象；進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，），結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)（一條即可）：__________.【答案】（1）x≠0（2）（3）（4）該函數(shù)與y軸沒有交點(diǎn)；該函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為該函數(shù)在y軸左側(cè)因變量隨著自變量的增大而減??；y軸右側(cè)因變量隨著自變量的增大先減小再增大（符合圖像的性質(zhì)均可）【解析】難度：★★本題考察了學(xué)生閱讀材料的能力；函數(shù)的基本性質(zhì)和匯總能力；難度中.本題難點(diǎn)位于描點(diǎn)畫圖的能力，要注意此題函數(shù)圖像不可與y軸有交點(diǎn)，但是可以與x軸有交點(diǎn).27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)（0，2）且平行于x軸的直線，與直線y=x-1交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為B，拋物線C1:經(jīng)過點(diǎn)A、B.（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（2）求拋物線C1的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若拋物線C2：與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍.備用圖備用圖【答案】（1）A(3,2)B(-1,2)（2）y=x2-2x-1頂點(diǎn)（1，-2）（3）【解析】難度：★★本題考查了對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)和了解，難度適中.首先必須對(duì)基本的函數(shù)解析式以及圖像有清晰的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而快速的畫出圖像.①根據(jù)交點(diǎn)特征寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo).②根據(jù)待定系數(shù)法快速求出解析式.③的重點(diǎn)在于畫出圖像，分別找出有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界條件是過B,有一個(gè)交點(diǎn)的臨界條件是過點(diǎn)A,進(jìn)而得出答案在y=ax2剛好過A、B點(diǎn)取值之間.28.在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線.點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C，D不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH，PH.（1）若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1，①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果） 備用圖圖1【答案】（1）（2）∵平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C得到△BCQ∴△ADP≌△BCQ∴DP=CQ∵DC=DP+PCPQ=QC+PC∴DC=PQ∵正方形ABCD∴DA=DC=PQ∵BD是正方形對(duì)角線∴∠BDA=∠BDC=45°∵QH⊥BD于點(diǎn)H∴∠HDQ=∠HQD=∠BDA=45°∴HQ=HD在△HAD和△HPQ中∴△HAD≌△HPQ∴HA=HP、∠AHD=∠PHQ∵∠DHP+∠PHQ=90°∴∠DHP+∠AHD=90°∴∠AHP=90°∴HA⊥HP（3）∵AHQ=152°,∠AHP=∠DHQ=90°∴∠PHD=360°-∠AHP-∠DHQ=28°∵∠HPD=∠HDQ-∠DHP∴∠HPD=17°∵HA=HP,HA⊥HP∴∠HPA=45°∵∠APD=∠APH+∠HPD∴∠APD=62°∵∠APD+∠PAD=90°∴∠PAD=28°∵，AD=1∴【解析】難度：★★本題考查了平移作圖、旋轉(zhuǎn)全等和三角形函數(shù)，難度適中.今年的幾何壓軸題實(shí)際難度相比去年是有所降低的，但是學(xué)生的感知難度并不低，主要難點(diǎn)在于兩方面：一、對(duì)學(xué)生作圖能力的考查，尤其第三問需要學(xué)生能精確畫出題中描述的圖形.二、今年出現(xiàn)新穎問法“請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）”.這給學(xué)生解題帶來了一定干擾，學(xué)生在不知道如何使用152度的情況下，還要思考答案究竟該如何表示等問題，問題較為開放，表示方法并不單一.實(shí)際上解出答案并不難，關(guān)鍵是學(xué)生求完了答案不確定對(duì)不對(duì).難度中.29.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)存在，滿足，則稱為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn).下圖為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的示意圖.特別地，在點(diǎn)與圓心C重合時(shí)，規(guī)定.當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，=1\*GB3①分別判斷點(diǎn)M（2,1），N（，0）