《彈塑性力學(xué)》第六章 彈性力學(xué)平面問題的直角坐標(biāo)解答

§6-1平面問題的分類第六章彈性力學(xué)平面問題的直坐標(biāo)系解答§6-2平面問題的基本方程和邊界條件§6-3平面問題的基本解法

§6-4多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例

4/16/20231編輯ppt第六章彈性力學(xué)平面問題的直

坐標(biāo)系解答在第五章討論了彈性力學(xué)問題的基本解法：位移法和應(yīng)力法，并結(jié)合簡單的三維問題，根據(jù)問題的特點(diǎn)，猜想問題的應(yīng)力解或位移解，并驗(yàn)證猜想的解是否滿足應(yīng)力法或位移法的基本方程和邊界條件，滿足則為問題真解。4/16/20232編輯ppt第六章彈性力學(xué)平面問題的直

坐標(biāo)系解答彈性體都是三維的，而受力（外力）一般也是空間力系，但如果所研究彈性體具有某種特殊形狀，并且承受某種特殊規(guī)定的外力和約束。彈性力學(xué)三維問題可以近似的簡化為二維問題處理，這將使分析和計(jì)算大大簡化，而所得結(jié)果也能滿足工程上對精度的要求。4/16/20233編輯ppt第六章彈性力學(xué)平面問題的直

坐標(biāo)系解答二維問題柱形桿扭轉(zhuǎn)平面問題軸對稱問題平板彎曲問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題4/16/20234編輯ppt§6-1平面問題的分類平面問題在工程中極為常見，而且平面問題的解析解在整個(gè)彈性力學(xué)解析解中占有較大比重。因此必須給予足夠的重視。

平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類。

下面將它們分類簡要說明一下。4/16/20235編輯ppt§6-1平面問題的分類1.1平面應(yīng)力問題固體的形狀特點(diǎn)：物體一個(gè)方向尺寸比其它兩個(gè)方向尺寸小的多（等厚度薄板）。

x2x1x3ox2t4/16/20236編輯ppt§6-1平面問題的分類受力和約束特點(diǎn)：沿厚度（x3方向）均勻分布，體力

f3=fz=0,面力，在薄板表面無面力，坐標(biāo)系（x1,x2,x3）放在板厚中間平面——中平面，以z(或x3）軸垂直板面。滿足上述條件的問題稱為平面應(yīng)力問題1.1平面應(yīng)力問題4/16/20237編輯ppt§6-1平面問題的分類由物體幾何特點(diǎn)和受力特點(diǎn)知：

在

處，

z=zx=zy=0。

1.1平面應(yīng)力問題由于薄板很薄，表面三個(gè)應(yīng)力分量為零，則近似認(rèn)為在V內(nèi)

z=zx=zy=0。4/16/20238編輯ppt§6-1平面問題的分類應(yīng)力分量僅存三個(gè):

x=x(x,y),y=y(x,y),xy=xy(x,y),均為x,y的函數(shù)。1.1平面應(yīng)力問題

存在四個(gè)應(yīng)變分量(待求量)：x,y,xy

,z（其中

z不獨(dú)立）4/16/20239編輯ppt§6-1平面問題的分類

位移分量待求量：u(x,y),v(x,y)（考慮平面內(nèi)位移）.1.1平面應(yīng)力問題

平面應(yīng)力問題待求未知函數(shù)一共八個(gè)：

3個(gè)應(yīng)力＋3個(gè)應(yīng)變＋2個(gè)位移

4/16/202310編輯ppt§6-1平面問題的分類1.2平面應(yīng)變問題

形狀特點(diǎn)：物體一個(gè)方向尺寸（z

或x3）比其它兩個(gè)方向（x,y或x1,x2）大的多，如水壩、涵洞。

x1(x)x2(y)x3(z)4/16/202311編輯ppt§6-1平面問題的分類受力和約束情況：沿z(或x3）軸方向無變化，體力f3=fz=0，面力

，這樣x3=z

=const面均可看成對稱面，對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載和約束，則此對稱面處的位移和變形為零，即w=0(z=0),zx=zy=01.2平面應(yīng)變問題

4/16/202312編輯ppt§3-1平面問題的分類平面應(yīng)變問題：應(yīng)變分量僅有三個(gè)

x,y,xy=yx

位移分量兩個(gè)：u(x,y),v(x,y)

應(yīng)力分量：x,y,xy,z（其中

z

不獨(dú)立）平面應(yīng)變問題待求未知函數(shù)仍然八個(gè)：

3應(yīng)力＋3應(yīng)變＋2位移。

1.2平面應(yīng)變問題4/16/202313編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件2.1

平衡微分方程（2個(gè)）

兩個(gè)平面問題一致：

,+f=0,

,=1,24/16/202314編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件2.2幾何方程（3個(gè)）

兩平面問題一致：

4/16/202315編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件2.3相容方程（1個(gè)）

兩平面問題一致：

對于平面應(yīng)力問題還應(yīng)有但對于薄板厚度尺寸遠(yuǎn)此三個(gè)方程可以不考慮。

4/16/202316編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件2.4本構(gòu)方程（3個(gè)）

平面應(yīng)力問題

4/16/202317編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件2.4本構(gòu)方程（3個(gè)）

平面應(yīng)變問題

4/16/202318編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件兩個(gè)平面問題的基本方程僅物理方程有所不同，將平面應(yīng)力物理方程中彈性系數(shù)，，則平面應(yīng)力問題的物理方程變?yōu)槠矫鎽?yīng)變問題的物理方程。所以按平面應(yīng)力問題求解的結(jié)果中彈性系數(shù)也如此替換，則可得到平面應(yīng)變問題解。4/16/202319編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件2.5邊界條件

位移邊界條件：

(=1,2）

（在Su上）

4/16/202320編輯ppt§6-2平面問題的基本方程和邊界條件力的邊界條件：

（在S上）

4/16/202321編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

3.1位移法

基本未知函數(shù)：u(x,y),v(x,y)

基本方程兩個(gè)：用u,v

表示的平衡微分方程。

平面應(yīng)力問題：4/16/202322編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

其中平面應(yīng)變問題：

4/16/202323編輯ppt§6-3平面問題的基本解法邊界條件：位移邊界

在Su上力的邊界

（在S

上

）（應(yīng)力需要用位移微分表示）

4/16/202324編輯ppt§6-3平面問題的基本解法3.2應(yīng)力法

基本未知函數(shù)（3個(gè)）：x,y,xy=yx

基本方程（3個(gè)）：2個(gè)平衡微分方程

,+f=0

1個(gè)相容方程：

（平面應(yīng)力問題時(shí)）

4/16/202325編輯ppt§6-3平面問題的基本解法3.2應(yīng)力法

1個(gè)相容方程：

（平面應(yīng)變問題時(shí)）力邊界條件：在S=S上

4/16/202326編輯ppt§6-3平面問題的基本解法當(dāng)體力為常數(shù)或體力為零時(shí)，兩個(gè)平面問題的相容方程一致

2(x+y)=0

(x+y)為調(diào)合函數(shù)，與彈性系數(shù)無關(guān)，不管是平面應(yīng)力（應(yīng)變）問題，也不管材料如何，只要方程一致，應(yīng)力解一致，有利實(shí)驗(yàn)。

4/16/202327編輯ppt§6-3平面問題的基本解法3.2應(yīng)力函數(shù)解法

當(dāng)體力為常量或?yàn)榱銜r(shí)，按應(yīng)力法解的基本方程（共三個(gè)）為

,+f=0,

2=0應(yīng)力法基本方程的前兩個(gè)為非齊次方程，所以根據(jù)微分方程理論，非齊次微分方程的通解等于其特解加上齊次微分方程的通解。4/16/202328編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

非齊次方程特解可以選

x=-fxx,y=-fyy

,xy=0;

（特解還可以選其它形式）

下面工作求齊次微分方程

,=0的通解，

或求的通解

4/16/202329編輯ppt§6-3平面問題的基本解法同時(shí)通解還需要滿足相容方程：

2(x+y)=0

對于上面三個(gè)齊次微分方程要求出其通解，仍是一個(gè)較復(fù)雜、困難的問題。4/16/202330編輯ppt§6-3平面問題的基本解法1862年Airy提出將滿足三個(gè)齊次微分方程的3個(gè)應(yīng)力分量的齊次解由一個(gè)函數(shù)（應(yīng)力函數(shù)）的二階微分來表示，使之自然滿足齊次平衡微分方程

,=0

這樣應(yīng)力法的齊次基本方程僅為用應(yīng)力函數(shù)

表示的相容方程，使未知函數(shù)和基本方程數(shù)均減為一個(gè)。

4/16/202331編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

Airy提出應(yīng)力函數(shù)

(x,y)

與齊次微分方程中待求應(yīng)力分量之間滿足如下微分關(guān)系：（a）

應(yīng)力函數(shù)

(x,y)與待求應(yīng)力分量齊次解之間的微分關(guān)系是由兩個(gè)齊次平衡微分方程導(dǎo)出的：4/16/202332編輯ppt§6-3平面問題的基本解法得

4/16/202333編輯ppt§6-3平面問題的基本解法從而導(dǎo)出(a)式。則(a)式使得齊次的平衡微分方程自然滿足，將(a)式代入相容方程，得4/16/202334編輯ppt§6-3平面問題的基本解法上式稱為應(yīng)力函數(shù)解法的基本方程（一個(gè)）

基本方程為由應(yīng)力函數(shù)

滿足的雙調(diào)合方程

最后應(yīng)力分量解為其特解加通解：

4/16/202335編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

在邊界上應(yīng)力分量滿足力的邊界條件（在S上），用應(yīng)力函數(shù)表示：

4/16/202336編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

對于單連域，應(yīng)力函數(shù)(x,y)滿足雙調(diào)和方程

4=0，且在S上滿足用應(yīng)力函數(shù)二階偏微分表示的邊界條件，則由(x,y)導(dǎo)出應(yīng)力分量為真解，對于復(fù)連域，還要考慮位移的單值條件.4/16/202337編輯ppt§6-3平面問題的基本解法3.4應(yīng)力函數(shù)的特性

1.

應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)a+bx+cy，并不影響應(yīng)力，換句話說，某問題的應(yīng)力函數(shù)為

，則1=+a+bx+cy也是問題的應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可確定到只差一個(gè)線性函數(shù)。2.無體力作用時(shí)，應(yīng)力函數(shù)及其一階偏導(dǎo)數(shù)的邊界值可分別由邊界的面力的主矩和主矢量來確定。4/16/202338編輯ppt§6-3平面問題的基本解法xoABFy

4/16/202339編輯ppt§6-3平面問題的基本解法(對B點(diǎn)取矩)逆時(shí)針為正。

下面推導(dǎo)一下

xoABFy

4/16/202340編輯ppt§6-3平面問題的基本解法對于無體力時(shí)

fx=fy=0；

力的邊界條件為

yxodsdyne1e2-dx代入邊界條件，得4/16/202341編輯ppt§6-3平面問題的基本解法

積分得4/16/202342編輯ppt§6-3平面問題的基本解法積分得xoABFy

4/16/202343編輯ppt§6-3平面問題的基本解法根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式

而C為邊界上動(dòng)點(diǎn)

xoABFy

C4/16/202344編輯ppt§6-3平面問題的基本解法上式對s

積分得

采用分部積分

xoABFy

C4/16/202345編輯ppt§6-3平面問題的基本解法——邊界力對B點(diǎn)之矩

xoABFy

C4/16/202346編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例例題1

矩形域無體力作用時(shí)應(yīng)力函數(shù)分別為二次項(xiàng)和三次項(xiàng)的結(jié)果（而一次項(xiàng)無須考慮），采用逆解法。1.取為二次項(xiàng)：

代入

4=0，

滿足。

4/16/202347編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例將

代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，得4/16/202348編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例可見，矩形域各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)一樣，為常量。

設(shè)c1,c2,c3均為正值。矩形域邊界面力如圖所示。c1xc3

yc214/16/202349編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例3.取為三次項(xiàng)：

代入

4=0，

滿足。

將

代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，得

4/16/202350編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例應(yīng)力為x、y的線性式。

4/16/202351編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例

僅取一項(xiàng)

x=d4y,y=xy=0

在邊界上面力分布與坐標(biāo)系位置有關(guān)。坐標(biāo)系如下圖所示面力分布為純彎問題，在兩端面的面力將產(chǎn)生一個(gè)M

。xh/2h/21d4h/2MM

y4/16/202352編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例（材料力學(xué)解）

由M與x的關(guān)系確定d4的值4/16/202353編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例由應(yīng)力分量求應(yīng)變分量：

通過幾何方程積分及約束條件可以求出位移。

4/16/202354編輯ppt本題討論:坐標(biāo)位置選取不同將導(dǎo)致邊界上面力分布不同，從而對應(yīng)不同的問題。因此，本題在邊界上面力分布與坐標(biāo)系位置有關(guān)。

x=d4y,y=xy=0hyxd4hd4h/2d4h/2§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例但坐標(biāo)位置變了,邊界上面力分布如下圖。4/16/202355編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例例題2

無體力作用的懸臂梁，在端部受集中力P作用。

x1yPMPlx2h本題采用應(yīng)力函數(shù)的半逆解法。半逆解法思路：

4/16/202356編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例1.

根據(jù)受力情況和求解經(jīng)驗(yàn)，包括材料力學(xué)的解，定性估計(jì)應(yīng)力分量的變化，并根據(jù)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)關(guān)系，反推出

函數(shù)的主要項(xiàng)。2.

將所設(shè)

代入

4=0和力的邊界條件進(jìn)行檢驗(yàn)，如果不滿足則進(jìn)行修正（適當(dāng)增加項(xiàng)），再代入

4=0和力的邊界條件進(jìn)行檢驗(yàn)，直至滿足所有方程為止。4/16/202357編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例本題求解的基本情況：主要邊界上，

在y=

h

：

，

（無面力）

基本方程

4=0，邊界條件為混合邊界條件：

x1yPMPlx2h4/16/202358編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例次要邊界上：

在x=l：

在x=0

：

嚴(yán)格要求

u=0，v=0

x1yPMPlx2h4/16/202359編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例在x=0

：

x1yPMPlx2h4/16/202360編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例解：

1．根據(jù)受力特點(diǎn)知在x處彎矩：

M=P(l-x)，材料力學(xué)應(yīng)力解：x

包含y和

xy項(xiàng)，又因?yàn)?/p>

4/16/202361編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例

可設(shè)

代入

4=0，

滿足。

將

代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，得

4/16/202362編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例將應(yīng)力分量代入邊界條件，確定待定系數(shù)。4/16/202363編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例主要邊界：y=

h，l=0,m=1

如果滿足，則

a1=0

。代回應(yīng)力分量表達(dá)式

在y=

h時(shí)，

為均勻剪力。由求得應(yīng)力分量公式，得

4/16/202364編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例本應(yīng)力解對應(yīng)純彎問題，不是所要求的。

2．

對

要進(jìn)行修正，消去y=

h面上均勻剪力4/16/202365編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例設(shè)

+b1xy

代入

4=0，

滿足。

將

代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，得4/16/202366編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例代入主要邊界：y=

h

y=0

滿足；

xy=0

或

代回應(yīng)力分量表達(dá)式

4/16/202367編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例代入

x=l

邊界：l=1,m=0,則

或

4/16/202368編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例而

將慣性矩

代入a1、b1、c1表達(dá)式，則

4/16/202369編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例代回應(yīng)力分量表達(dá)

與材料力學(xué)解相同。

注意本題應(yīng)力解在梁兩端不能用。因?yàn)橛玫搅耸ゾS南原理。

4/16/202370編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例有了應(yīng)力解后，依次求應(yīng)變和位移。

在位移的確定中，當(dāng)x=0,u=v=0不能處處滿足，而用到

將剛體位移去掉，放松了位移邊界處理

4/16/202371編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例例題3

簡支梁（不計(jì)體力）上面受均載作用，仍采用應(yīng)力函數(shù)解的半逆解法。x1

yqlqllhql考慮應(yīng)力特點(diǎn)：y與x無關(guān)，y由q引起，且在y=

-h/2處y為常數(shù)。4/16/202372編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例設(shè)

代入基本方程

4=0

微分方程對全梁滿足。4/16/202373編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例因此，要求

由前兩個(gè)常微分方程積分得到f(y)和f1(y)

的表達(dá)式，代回第三個(gè)常微分方程積分，可得到f2(y)

的表達(dá)式。所有待定系數(shù)由邊界條件定。4/16/202374編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例例題4

楔形體受重力和液體壓力作用，楔形體下端無限長。

x

yng

gy楔形體的體積力fx=X=0

，fy=Y=g；

邊界條件:

在x=0處,

則邊界處的應(yīng)力為

x=-gy，xy=0在x=ytg

處,4/16/202375編輯ppt§6-4

多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)運(yùn)用舉例從楔形體的受力情況分析,可以認(rèn)為在楔形體y=c

截面上內(nèi)力為受壓力和彎曲組合,應(yīng)力分量y,x