線性映射與線性變換

線性映射與線性變換第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性變換是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間中元素間的一種基本聯(lián)系，體現(xiàn)出一種“動態(tài)的”或者“直觀的”視角。借助基的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，因此通俗地講“變換即矩陣”。這同時也意味著線性變換的運算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運算。第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二2維空間的線性變換第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二3維空間的線性變換第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二§2.1線性映射及其矩陣表示定義1設(shè)V1，V2是數(shù)域P的兩個線性空間，A

是V1到V2的一個映射，如果對V1中任意兩個向量,和任意數(shù)kP

，都有

A(+)=A()+A()

A

(k)=kA()則稱A是V1到V2的線性映射或線性算子。若V1=V2=V，則稱A是V上的線性變換。第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性映射與變換的舉例由數(shù)k決定的數(shù)乘變換：事實上，

單位變換(恒等變換)：零變換：I

:VV:I

()=,VO:VV:O()=0,VK:VV:K()=k,V第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性映射與變換的舉例線性空間P[x]n的微分運算是線性變換.I

(f(x))=f’(x)，f(x)

P[x]n線性空間C[a，b]

的積分運算是線性變換.

作為數(shù)學(xué)分析的兩大運算：微分和積分，從變換的角度講都是線性變換當(dāng)然，非線性映射也是大量存在的，I

(A)=detA，A

Pnn不是線性映射。第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理1

設(shè)A是線性空間V1到V2的線性映射，則

(1)A(0)=0,

(2)

A(-)=-A()(3)若1,2…

m

是V1的一組向量，k1,k2,…kmP,有A(k11+k22…+kmm)=k1A(1)+k2A(2)+…+kmA(m)(4)若1,2…

m

是V1的一組線性相關(guān)向量，則A(1),A(2),…,

A(m)在V2中線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)A是一一映射時，V1中線性無關(guān)向量組的像在V2中也線性無關(guān)。線性映射的性質(zhì)第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理2設(shè)A

,B

是線性空間V1到V2的兩個線性映射，若1，2，…n是V1的一組基，并且A(i)=B(i)(i=1,2…n),則A=B.

注：定理2說明線性映射由基像組唯一確定第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二2.線性映射的運算(1)設(shè)A,B

都是V1到V2的線性映射,A,B的和A+B為:(A+B)()=A()+B()，任意的V1。

(2)設(shè)A是V1到V2的線性映射,B

是V2到V3的線性映射定義A,B的乘法BA為:(BA)()=B(A())，任意的V1.(3)設(shè)A是V1到V2的線性映射,kP，定義k與A的數(shù)量乘積kA為:(kA)

()=kA()，任意的V1第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性映射的加法適合交換律和結(jié)合律，線性運算的乘法適合結(jié)合律。對線性映射定義了加法和數(shù)乘運算后可知，V1到V2的所有線性映射組成的集合構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，記為L(V1,V2)。第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二3.

線性映射的矩陣表示

是的基,是的基.

設(shè)是線性映射，

記:則存在唯一的使得:

稱矩陣A為線性映射T在基與基下的矩陣第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二矩陣和線性映射互相唯一確定；在給定基的情況下，線性空間V1到V2的線性映射L與mn矩陣一一對應(yīng)，且這種對應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩種運算。L(V1,V2)與Pmn同構(gòu)。注：第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理7

設(shè)T為V1到V2的線性映射，

則:

稱為線性映射在基與基下的坐標(biāo)變換公式第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1

設(shè)V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取線性映射T：V1→V2T(f(x))=f’(x)

,f(x)R[x]n，求T在R[x]n的一組基1,x,…xn-1與R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的矩陣D第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二D(1)=0=01+02+…+0n-1D(2)=1=1+02+…+0n-1D(3)=2x=01+22+…+0n-1……

D(n)=(n-1)xn-2=01+22+…+(n-1)

n-1

解

在R[x]n中取基1=1，2=x,…

n=xn-1,在R[x]n-1中取基1=1，

2=x,…

n-1=xn-2，則第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二D(

1,

2,…n)=(1,

2…

n-1)即于是D在基1，x,…

xn-1與1，x,…

xn-2下的矩陣為D=第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二另：若在R[x]n-1中取基1=1，

2=2x,…

n-1=(n-1)xn-2則D在基1，x,…

xn-1與1，2x,…

(n-1)xn-2下的矩陣為D=說明同一個線性映射在不同基下的矩陣不同第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二

定理8

設(shè)A是n維線性空間V1到m維線性空間V2的線性映射，1,

2,…n和是V1的兩組基,由1,

2,…n到的過渡矩陣是Q

，和是V2的兩組基。由到的過渡矩陣是P，A在基與基下的矩陣為A，而在基與基下的矩陣為B，則B=P-1AQ，（稱A與B相抵）第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定義1

V是數(shù)域P上的線性空間，對V

中的任意兩個向量，和任意kP，映射T：VV滿足

(i)(可加性):T(+)=T()+T()(ii)(齊次性):kT()=T(k)稱T為V上的線性變換，T()為在變換T下的像，稱為原像。

§2.3線性變換第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1

對每個x=(1,2,3)R3,定義變換

T(x)=(1,

2,0)則變換T是線性空間R3上的線性變換（稱為投影變換）第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理1

設(shè)T是線性空間V上的線性變換，則

(1)T(0)=0,

(2)

T

(-)=-T

()(3)若1,2…

m

是V的一組向量，k1,k2,…kmP,有T

(k11+k22…+kmm)=k1T(1)+k2T(2)+…+kmT

(m)(4)若1,2…

m

是V的一組線性相關(guān)向量，則T(1),T

(2),…,

T

(m)也線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)T是一一映射時，V中線性無關(guān)向量組的像也線性無關(guān)。線性變換的基本性質(zhì)第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二

L

(V,V)表示線性空間V上的所有線性變換的集合，對任意的T,T1,T2∈L(V,V),

∈V,定義則可以驗證，T1+T2,kT,

T1T2都是線性變換，因此L

(V,V)是數(shù)域P上的線性空間。注：數(shù)乘變換和線性變換的數(shù)乘運算是兩個不同的概念.（1）線性變換的和：（2）線性變換的數(shù)乘：（3）線性變換的乘法：T1T2()=T1(T2())線性變換的運算第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二特殊的變換：

(1)對任意的k∈P，定義數(shù)乘變換K(x)=kx，

(2)恒等變換：I(x)=x，

(3)零變換：O(x)=0

(4)逆變換：設(shè)A是線性空間V上的線性變換，

如果存在V的變換B，使得AB=BA=I，

稱A可逆，B為A的逆變換.

(5)線性變換的冪：A0=I，Am=Am-1A=AA…A

指數(shù)法則：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性變換的矩陣用矩陣表示即為

設(shè)1,2,…,n為數(shù)域P上線性空間V的一組基，

T為V上的線性變換.基向量的象可以被基線性表出,設(shè)第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二其中

矩陣A稱為線性變換T在基下的矩陣.

第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣；

零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣；

數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)乘矩陣；

A的第i列是在基下的坐標(biāo)，它是唯一的.故T在取定一組基下的矩陣是唯一的.

注：第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性變換運算與矩陣運算定理1

設(shè)為數(shù)域P上線性空間V的一組的唯一一個矩陣對應(yīng)，且具有以下性質(zhì)：基，在這組基下，V的每一個線性變換都與中①線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；

②線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；③線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；④可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.L(V,V)與Pnn同構(gòu)；第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例2

設(shè)線性空間的線性變換為求在自然基底下的矩陣.

解：

()=第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理2

設(shè)T是n維線性空間V的線性變換，和是V的兩組基,由到的過渡矩陣是P

，T在基與基下的矩陣分別為A和B，則B=P-1AP，（稱A與B相似）在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.

如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一線性變換

線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反過來，線性變換在不同基下的矩陣表示第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二

設(shè)B=P-1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB;(3)A與B的特征值相同和特征多項式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.補(bǔ)充:相似矩陣的性質(zhì)第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例3

在線性空間中，線性變換定義如下：（1）求在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣.（2）求在下的矩陣.解：(1)由已知，有第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為A，即即：為過渡矩陣，又所以(1,2,3)=((1,2,3)P)=(1,2,3)P=(1,2,3)AP第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二因而，第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二

設(shè)在1,2,3下的矩陣為B，則B=P-1AP（2）求在1,2,3下的矩陣.第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二

定義1

設(shè)T是數(shù)域P上的線性空間V

的一個線性變換，如果對于數(shù)域P中任一元素，V中都存在一個非零向量

，使得T()=那么稱為T的一個特征值，而稱為T的屬于特征值的一個特征向量。

§2.4特征值和特征向量第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二由此可得：

是線性變換T的特征值，則是對應(yīng)矩陣A的特征值.

是線性變換T的屬于的特征向量，則是矩陣A的屬于的特征向量.設(shè)V是數(shù)域P上的n

維線性空間，V中取定一組基1,2

，…n.設(shè)線性變換T在這組基下的矩陣是A，向量在這組基下的坐標(biāo)是x,那么我們有

T()=Ax=x第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二因此，只要將矩陣A的全部特征值求出來，它們就是線性變換T的全部特征值；只要將矩陣A的屬于的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是線性變換T的屬于的全部特征向量。第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1

設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，T是V上的一個線性變換，在V的一個自然基下的矩陣是求線性變換T的全部特征值與特征向量。解：的特征多項式為第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二所以的特征值是3（二重）與-6。對于特征值3，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：1=[-210]T,2=[201]T,于是T屬于3的全部特征向量是k11+k22,k1,k2P這里為數(shù)域P中不全為零的數(shù)對。第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二對于特征值-6，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：

3=[12-2]T于是T的屬于-6的全部特征向量

k3,kP這里k為數(shù)域P中任意非零數(shù)。第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（1）n

階矩陣A的屬于特征值0的全部特征向量再添上零向量，可以組成V的一個子空間，稱之為矩陣A的屬于特征值0特征子空間，記為V0

，不難看出V0正是特征方程組

(0I-A)X=0的解空間。顯然，V0的維數(shù)是屬于0的線性無關(guān)特征向量的最大數(shù)目，稱dim(V0)為特征值0的幾何重數(shù).（2）V0屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。

第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二（3）設(shè)1,2,…r,

是A的r個互不同的特征值，i的幾何重數(shù)為qi,，i1,i2,…iqi,是對應(yīng)于i的qi

個線性無關(guān)的特征向量，則所有這些特征向量11,12,…1q1,

21,22,…2q2,…

r1,r2,…rqr,仍然是線性無關(guān)的。第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二由代數(shù)基本定理知，n階矩陣A在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰有n個特征值1,2,

…n，其中i作為特征方程的根的重數(shù)，稱為i的代數(shù)重數(shù),記為mi(A)，矩陣A的特征值的全體稱為A的譜，最大特征值的模稱為A的譜半徑，記為(A).（4）任意一個特征值的幾何重數(shù)不大于它的代數(shù)重數(shù)。(5)A是n階矩陣，其特征值為1,2,

…n，則

第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定義1

數(shù)域P上的n維線性空間V的一個線性變換T

稱為可以對角化的，如果V中存在一組基，使得T在這個基底下的矩陣為對角矩陣。定義2如果n階矩陣A與對角矩陣相似，則稱矩陣A是可對角化的。(單位矩陣只和自己相似)

§2.5矩陣的相似對角形第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理1

n階矩陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量；定理2

若n階矩陣A有n個互異的特征值，則A是可對角化的。（注：不是充要條件）定理3

n階矩陣A可對角化的充要條件每一個特征值的代數(shù)重數(shù)等于其幾何重數(shù)。

第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1

判斷矩陣是否可以對角化？解：先求出A的特征值第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二于是A的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量。下面我們考慮于是從而不相似對角矩陣。第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例2

設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，T是V上的一個線性變換，在V的一個基1,2,3下的矩陣是判斷線性變換T是否可對角化。解：根據(jù)上一節(jié)例1的討論可知T有3個線性無關(guān)的特征向量:第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二由基到基的過渡矩陣是于是有因此，T可以對角化，T在這組基下的矩陣是第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定義1

設(shè)T是數(shù)域P的線性空間V上的線性變換,W是V的子空間。如果對任意向量都有，則稱W是T的不變子空間?！?.6線性變換的不變子空間*

（Invariantsubspace）

第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定義2

設(shè)T

是數(shù)域P上的線性空間V上的線性變換。令R(T)=Im(T)={T(a)|aV}Ker(T)=N(T)={aV|T(a)=0}稱R(T)是線性變換T的值域，而Ker(T)是線性變換的核。R(T)的維數(shù)稱為T的秩，Ker(T)的維數(shù)稱為T的零度。線性變換的值域與核第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理1

設(shè)T是數(shù)域P上的線性空間V上的線性變換。令T在V的一組基1,2,…n下的矩陣表示為A，則（1）R(T)和Ker(T)都是V的子空間；（2）R(T)=span(T(1),T(2),…T(n))（3）rank(T)=dim(R(T))=rank(A)（4）dim(R(T))+dim(Ker(T))=n第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二證明（1）顯然R(T)是V的非空子集，對任意T(),T()

R(T)，kP

有

T()+T()=T(+)

R(T)kT()=T(k)

R(T)所以R(T)是V的子空間又T(0)=0,所以Ker(T)是V的非空子集,對任意,

Ker(T)，kP

T(+)=T()+T()=0Ker(T)T(k)=kT()=0Ker(T)所以Ker(T)是V的子空間第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1

設(shè)線性變換T在4維線性空間V的基1,2,3,4下的矩陣為（2）求Im(T)的一組基;（1）求Ker(T)的一組基;第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二解（1）對任意有0=T()=T(x13+…x44)因此AX=0,對A做初等變換第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二解得其基礎(chǔ)解系則的基為第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二（2）由于從而這說明Im(T)=span(T1,T2,T3,T4)=span(T1,T2)第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例2

線性空間和零子空間都是上的線性變換的（平凡）不變子空間。例3

線性空間V上的線性變換T的值域Im(T)和核Ker(T)都是V的不變子空間。

第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例4

線性空間V上的線性變換T的對應(yīng)于某個特征值的所有特征向量加上零向量組成的集合也是的子空間，稱為的特征子空間(eigenspace)

。進(jìn)一步，也是的不變子空間。第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理2

線性變換T的不變子空間的交與和仍然是T的不變子空間。定理3

設(shè)線性空間V的子空間W=span{1,2,…,m}，則W是線性變換T的不變子空間的充要條件是T(i)W(i=1,2,…m)第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理4

線性空間V上的線性變換T有非平凡的不變子空間的充要條件是T在V的一組基下的矩陣表示為塊上三角矩陣，即形如有不變子空間的線性變換，其矩陣表示是否有什么特殊形式呢？第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理5

線性空間V上的線性變換T在V的一組基下的矩陣表示為塊對角矩陣的充要條件是V可以分解為T的若干個非平凡不變子空間的直和。不變子空間是特征值的根子空間定理6

n維線性空間V上的線性變換T在V的某個基下的矩陣表示為對角矩陣的充要條件是V可以分解為T的n

個一維特征子空間的直和

V=V1

V2…Vn這里為T的兩兩不同的特征值。第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二線性變換T的矩陣化簡為一個塊對角矩陣（對角矩陣）與線性空間分解為若干個不變子空間的直和是相當(dāng)?shù)摹５?4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定義：設(shè)A

為一個n

階復(fù)矩陣，如果其滿足AAH=AHA=I則稱A是酉矩陣，一般記為AUnn。設(shè)A為一個n階實矩陣，如果其滿足AAT=ATA=I則稱A

是正交矩陣,一般記為AEnn。

§2.7酉變換與酉（正交）矩陣

UnitarytransformationandUnitarymatrix（Orthogonalmatrix）

第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1是一個正交矩陣是一個正交矩陣第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二是一個酉矩陣第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)A,B是酉矩陣，那么設(shè)，那么定理1：設(shè)，A是一個酉矩陣的充分必要條件為A

的

n個列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定義2

設(shè)T是n為酉（歐氏）空間V的線性變換，如果對任意的，V都有則稱T是V的酉（正交）變換。正交變換保持V中的內(nèi)積不變，根據(jù)定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量的長度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。酉（正交）變換第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二定理2

設(shè)是歐氏空間上的一個線性變換，則下列命題是等價的：（1）T是正交變換；（2）T保持向量的長度不變，即||T||=||||;（3）若是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基；（4）T在V的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示

A為正交矩陣。第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二證明：

若線性變換保持長度不變，即展開上式同樣有根據(jù)定義顯然成立。左式=(T,T)+2(T(),T())+(T,

T)=(,)+2(T(),T())+(,)右式=(,)+2(,)+(,)化簡得(T(),T())=(,)#第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二因此則

對任意，令

顯然成立。第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)在下的矩陣為，即由于也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以A是兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣，因此A是正交矩陣。第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)是正交矩陣，則所以也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二注

鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤為重要。Householder變換（即反射變換）和Givens變換（即旋轉(zhuǎn)變換）是兩種最重要的正交變換，它們的作用主要是在數(shù)值算法中構(gòu)造正交基。

補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例1（旋轉(zhuǎn)變換或Givens變換）將線性空間中的所有向量均繞原點順時針旋轉(zhuǎn)角，這時像與原像之間的關(guān)系為第76頁，共84頁，2023年，2月20日，星期二例2（反射變換或Hous