高速粒子運(yùn)動學(xué)

第二章高速2.1洛倫茲變換（一）空間，時(shí)間四維洛倫茲變換在進(jìn)行反復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)光速在不同慣性系統(tǒng)中都相同，種種事實(shí)表明，經(jīng)典力學(xué)和伽利略變換不能適用于高速（接近光速C）運(yùn)動的現(xiàn)象。愛因斯坦的相對論解決了這個(gè)問題。狹義相對論認(rèn)為：相對作高速運(yùn)動的慣性系統(tǒng)之間，需要洛倫茲變換關(guān)系，這樣才能符合光速在不同慣性系統(tǒng)中相同的基本事實(shí)，同時(shí)。也能保證在不同慣性系統(tǒng)中，物理規(guī)律形式是一樣的這一基本要求。對于平行慣性系統(tǒng)之間，適用的洛倫茲時(shí)間一一空間變換的具體形式為：x-vt（1）為了簡單，通常記P小1Y=:\:1-P2從（1）式可見，在洛倫茲變換中（1）具有相對運(yùn)動的兩慣性系中，時(shí)間并不一樣（t4'）。（2）時(shí)間和空間不可分割的密切聯(lián)系著。洛倫茲變換符合不同慣性系中光速相同的事實(shí)：設(shè)一個(gè)粒子，在x-^y-z-t系統(tǒng)中速度為u，在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量分別為u，u，u。根據(jù)xyz洛倫茲變換關(guān)系（1）式，可以算出相應(yīng)的速度變換關(guān)系，即在X',y,z',t'系統(tǒng)中測到這個(gè)粒子的速度是：

u'xu'yu'zu一Vx1-uVc2x設(shè)uu一Vx1-uVc2x1一CVc2即無論在x,y,z,t系統(tǒng)或x,y,z',t'系統(tǒng)中，光的傳播速度同樣為c。采用自然單位制，把（1）式寫成矩陣形式為："x'「(Y00fx)y=0100yz'0010z<t'/1-yP00YJ11J00可以定義:反過來，若用。,坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來表示。坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，平行洛倫茲變換的矩陣形式為:00可以定義:,x,x,x)=(x,y,z,it)1234u=1,2,3,4xu構(gòu)成閔可夫斯基空間的四矢量，這樣可將平行洛倫茲變換寫成:xu=auvxvrY00i”(a)=0100uv0010—Viyp00Y/矩陣cp是一個(gè)幺正矩陣，滿足幺正性條件:aa=5uXvXuv四矢量如果任何一組量A,A,A,A，在洛倫茲變換下的性質(zhì)和x相同，那么這四個(gè)量就可以構(gòu)1234u（）（）-4成一個(gè)四矢量A=A,A/=A,其中A是空間分量，第四分量A4是純虛的，而A0是實(shí)的。洛倫茲不變量（洛倫茲標(biāo)量）:在洛倫茲變換下不變的量。兩個(gè)四矢量氣,Bu的標(biāo)量積是洛倫茲不變量。'A-'B=AB=AB+AB+AB+AB=A-B-ABuu1122334400A^B'=avAaB=5AB=ABuuuvvXuXXvXvXvv特例，四矢量七和它自身的標(biāo)量積：xx=x2+y2+z2-12=s2根據(jù)洛倫茲變換關(guān)系，雖然在同一坐標(biāo)系內(nèi)各坐標(biāo)點(diǎn)上，時(shí)間間隔At=ti-12是相同的，但在兩相對運(yùn)動的慣性坐標(biāo)系上看同一時(shí)間間隔，卻會得到不同的結(jié)論。時(shí)間的洛倫茲膨脹運(yùn)動坐標(biāo)系中時(shí)間間隔G）比靜止坐標(biāo)系中的時(shí)間間隔U‘）變長的現(xiàn)象。（二）動量一能量四維矢量洛倫茲變換關(guān)系x，py,p,iE)一個(gè)系統(tǒng)中動量Pp,Py,P/和能量E組成另一個(gè)四矢量Pu速度P的兩平行慣性系統(tǒng)G,y,z,t）和（x',y,z',t）間的洛倫茲變換關(guān)系為:在具有相對p'=y（p-Pe）P'=pE'=PE-Pp）x由（2）式可導(dǎo)出洛倫茲不變式：（2）E2-p2=E'2-p'2=常量（一）系統(tǒng)為單一粒子，其靜質(zhì)量為m，我們將x‘,y,z系統(tǒng)固定在m0上，x，y，z‘系內(nèi)是靜止的，其動量p=。，則此時(shí)不變時(shí)的常量應(yīng)等于"E2-p2=E'2=m2（3a）（二）多粒子系統(tǒng)，其總能量和總動量組成四矢量。這時(shí)有洛倫茲不變量：、2=、2=常量(3b)相對于x相對于x,y,z系統(tǒng)(6)在一般情況下，此常量并不等于系統(tǒng)的總質(zhì)量M。但若這個(gè)多粒子系統(tǒng)由單一母粒子M0衰變產(chǎn)生的，則這一常量等于母粒子總靜止能量的平方Mj），M0稱為這個(gè)多粒子系統(tǒng)的不變質(zhì)量。從X，y，Z系統(tǒng)觀察固定在x，y，z系統(tǒng)中的粒子m0，由于x，y，z'以速度P運(yùn)動，根據(jù)（2）式可寫出:p=陽=m0。=ymp=mpv1-P2V1-P20Em-E=j==；,o==ym=m故對運(yùn)動著的粒子mo有關(guān)系式:E

y=一

m

0如果定義粒子動能T是粒子總能量E減去粒子靜質(zhì)量m0。則有:T=E-m=ym-m=（y-1m在低能時(shí)，P2m0，將（3a）式展開成級數(shù)：E=Q2+m2）2=m++（7）oP2即在低能的情況下，粒子總能量是粒子靜止能量加粒子的經(jīng)典動能S。2m0粒子運(yùn)動方向在兩平行慣性系之間的變換關(guān)系。設(shè)某粒子的運(yùn)動方向在慣性系。中為虹。），在以速度P沿x軸方向運(yùn)動的另一慣性系°，中為G，平）方位角在兩平行慣性坐標(biāo)系中是相等的tg^=p=乙=tg^'pypy極角。和0‘之間y"+&0ku'cosU'其中u，=E是粒子在。逐中的速度。（三）洛倫茲變換的快度描寫（1）快度的定義快度Y的定義為：shY=—?！猠-v）=—°=y&2<1-P2chY=—Cv+e—v）=—]=V2<1-P2在此定義P與Y是一一對應(yīng)：P:—1T0T1Y:一8—0—8討論速度和問題設(shè)s'坐標(biāo)系相對s系以速度P'沿X方向運(yùn)動，s''系相對s'系以速度P”沿x'方向運(yùn)動，則根據(jù)相對論速度相加公式，s''系相對s系的速度P為P=L+L"1+P'P''公式就變得簡單Y=Y'+Y''快度在洛倫茲變換下可以簡單地相加，這給計(jì)算帶來了很大方便。近年來在研究高能多重產(chǎn)生反應(yīng)時(shí)，常利用快度來代替速度。（2）能量和動量變換的快度描寫動量和能量在兩個(gè)平行運(yùn)動的慣性坐標(biāo)系之間的洛倫茲變換用快度表示為：p'=pchY-EshYp'=ppz=pE'=-pshY+EchY（3兩粒子的相對快度如果兩粒子在s系中沿某一方向（例如x方向）運(yùn)動，其快度分別為《和七，在一個(gè)相對與s系以快度Y沿x方向運(yùn)動的s'系看來，它們的快度分別為：01Y'=Y-YY'=Y-Y2201兩粒子的快度之差為：AY'=「Y2=