全國(guó)通用版講義第一章 立體幾何初步1-1-4

投影與直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)理解直觀圖的斜二測(cè)畫法規(guī)則，會(huì)畫常見幾何體的直觀圖．知識(shí)點(diǎn)直觀圖與斜二測(cè)畫法(1)直觀圖用來表示空間圖形的平面圖形．(2)斜二測(cè)畫法的規(guī)則①在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy軸，再作Oz軸，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②畫直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面．③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同．④已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的一半．⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖．1．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(×)2．用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長(zhǎng)度不變．(×)3．在斜二測(cè)畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變．(×)類型一直觀圖的畫法例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖．解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫出相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2)．(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)．引申探究若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．(2)畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．反思與感悟(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡(jiǎn)便．(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對(duì)應(yīng)線段．關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)用斜二測(cè)畫法畫邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖．解①如圖a所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．②畫出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA＝eq\r(3)cm，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖b所示．(2)畫一個(gè)正四棱錐的直觀圖(尺寸自定)．解①畫軸．如圖c，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②畫底面．以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD.③畫頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OS，使OS等于已知正四棱錐的高．④畫棱．連接SA，SB，SC，SD，擦去輔助線(坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐S－ABCD的直觀圖，如圖d所示．類型二直觀圖的還原與計(jì)算命題角度1由直觀圖還原平面圖形例2如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其還原成平面圖形．解①畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，得△ABC.則△ABC即為△A′B′C′對(duì)應(yīng)的平面圖形，如圖所示．反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵(1)平行于x′軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍．(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形是________形．答案菱解析如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計(jì)算例3如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積．解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，即得到了原圖形．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長(zhǎng)度AD＝2，所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.反思與感悟(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫法，明確原來實(shí)際圖形中的高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45°(或135°)角且長(zhǎng)度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高．(2)若一個(gè)平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S′，則S′＝eq\f(\r(2),4)S.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，因此面積為eq\f(1,2)，又直觀圖與原平面圖形面積比為eq\r(2)∶4，所以原圖形的面積為eq\r(2)，故選C.1．已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積為()A．16B．64C．16或64D．無法確定答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.2．利用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()答案C解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2∶1.3．有一個(gè)長(zhǎng)為5cm，寬為4cm的矩形，則其用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖的面積為________cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案5eq\r(2)解析該矩形直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×5×4＝5eq\r(2).4.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．解(1)過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示．(2)如圖②所示，在x′軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點(diǎn)D，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.連接D′C′，B′C′.(3)擦去坐標(biāo)軸及B′E′，E′C′，則所求四邊形OBCD的直觀圖如圖③所示．1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn)．確定點(diǎn)的位置，可采用直角坐標(biāo)系．建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上．2．用斜二測(cè)畫法畫圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍薄?、“二測(cè)”兩點(diǎn)：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′、O′y′軸，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二測(cè)：在直觀圖中平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度取一半，記為“橫不變，縱折半”．3．中心投影的投射線相交于一點(diǎn)，中心投影后，圖形與原圖形相比雖然相差較大，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致．若一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后得到的圖形與原圖形相似．一、選擇題1．給出以下說法，其中不正確的是________．①水平放置的矩形的直觀圖可能是梯形；②水平放置的梯形的直觀圖可能是平行四邊形；③水平放置的平行四邊形的直觀圖可能是矩形；④水平放置的菱形的直觀圖可能是平行四邊形．A．①②B．②③C．③④D．①④答案A解析由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知①②不正確，故選A.2．根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則畫直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz軸畫成對(duì)應(yīng)的O′x′，O′y′，O′z′，則∠x′O′y′與∠x′O′z′的度數(shù)分別為()A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案D解析根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，∠x′O′y′的度數(shù)應(yīng)為45°或135°，∠x′O′z′指的是畫立體圖形時(shí)的橫軸與縱軸的夾角，所以度數(shù)為90°.3．下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論．4．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()答案C解析設(shè)直觀圖中與x′軸和y′軸的交點(diǎn)分別為A′和B′，根據(jù)斜二測(cè)畫法在直角坐標(biāo)系中先做出對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)和B點(diǎn)，再由平行于x′軸的線段在原圖中平行于x軸，且長(zhǎng)度不變，作出原圖可得C.5．已知一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺寸一樣，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20m,5m,10m，四棱錐的高為8m．如果按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmC．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmD．4cm,0.5cm,1cm,0.8cm答案B解析由比例尺可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm，再結(jié)合直觀圖，圖形的尺寸應(yīng)為4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.6．關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖，以下說法正確的是()A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B解析由直觀圖的性質(zhì)知B正確．7．如圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來圖形的形狀是()考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案A解析直觀圖中正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，故在平面圖形中平行四邊形的高為2eq\r(2)，只有A項(xiàng)滿足條件，故A正確．8.用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，邊BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形A′B′C′D′的面積為()A．4cm2B．4eq\r(2)cm2C．8cm2D．8eq\r(2)cm2答案C解析依題意可知，∠BAD＝45°，則原平面圖形A′B′C′D′為直角梯形，上，下底邊分別為B′C′，A′D′，且長(zhǎng)度分別與BC，AD相等，高為A′B′，且長(zhǎng)度為梯形ABCD高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.二、填空題9．在斜二測(cè)畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為________．答案(4,2)解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半”可得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,2)．10．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)梯形的直觀圖O′A′B′C′，則直觀圖梯形的高為________cm.答案eq\f(\r(2),2)解析作CD，BE⊥OA于點(diǎn)D，E，則OD＝EA＝eq\f(OA－BC,2)＝2，∴OD＝CD＝2，∴直觀圖中梯形的高為eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)(cm)．11.如圖所示，四邊形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(2,4)，B(4,0)，C(4，－2)，則該圖形直觀圖的面積為________．答案3eq\r(2)解析由S原＝eq\f(1,2)×4×(4＋2)＝12，則S直＝eq\f(\r(2),4)S原＝eq\f(\r(2),4)×12＝3eq\r(2).三、解答題12．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，試畫出它的直觀圖．解畫法：(1)如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖b所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.(2)在圖a中，過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在圖b中，在x′軸上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f(3,2)eq\r(3)≈2.598cm；過點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝eq\f(1,2)ED＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝0.75cm，再過點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2cm.(3)連接A′D′、B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖c所示，則四邊形A′B′