全國通用版講義第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)

章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、深化所學(xué)知識(shí).2.會(huì)畫幾何體的直觀圖，并能計(jì)算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關(guān)系．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截而成的．這三種幾何體都是多面體．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體．在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問題時(shí)，常需作它們的軸截面或截面．(3)由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體．2．空間幾何體的直觀圖斜二測畫法為：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算(1)常見幾何體的側(cè)面積和體積的計(jì)算公式面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)直棱柱S側(cè)＝chV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3(2)求幾何體體積常用技巧①等體積法；②割補(bǔ)法．4．平行關(guān)系(1)基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線平行．即如果直線a∥b，c∥b，那么a∥c.(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理?xiàng)l件結(jié)論符號(hào)語言判定如果不在一個(gè)平面的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行這條直線和這個(gè)平面平行l(wèi)?α，m?α，l∥m?l∥α性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交這條直線和兩平面的交線平行l(wèi)∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m(3)平面與平面平行的判定①文字語言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．②符號(hào)語言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.③圖形語言：如圖所示．(4)平面與平面平行的性質(zhì)定理①文字語言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．②符號(hào)語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.③圖形語言：如圖所示．④作用：證明兩直線平行．5．垂直關(guān)系(1)直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直．推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．(2)直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b.性質(zhì)2：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．(3)面面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．(4)面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．6．共面與異面直線(1)共面：空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，如果都在同一平面內(nèi)，我們就說它們共面．(2)異面直線：既不平行又不相交的直線．1．菱形的直觀圖仍是菱形．(×)2．簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(√)3．夾在兩平行平面的平行線段相等．(√)類型一空間幾何體的表面積與體積例1如圖，從底面半徑為2a，高為eq\r(3)a的圓柱中，挖去一個(gè)底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比．解由題意知，S1＝2π×2a×eq\r(3)a＋2π×(2a)2＝(4eq\r(3)＋8)πa2，S2＝S1＋πaeq\r(\r(3)a2＋a2)－πa2＝(4eq\r(3)＋9)πa2，∴S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8)∶(4eq\r(3)＋9)．反思與感悟空間幾何體的體積與表面積的計(jì)算方法(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可作底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解．(2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體體積的一個(gè)重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個(gè)熟悉的柱、錐、臺(tái)體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體．總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決．(3)展開法：把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點(diǎn)間的距離問題．(4)構(gòu)造法：當(dāng)探究某些幾何體性質(zhì)較困難時(shí)，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對(duì)稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，求三棱錐A1－AB1D1的高．解設(shè)三棱錐A1－AB1D1的高為h，則＝eq\f(1,3)h×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝eq\f(\r(3)a2h,6).又＝＝eq\f(1,3)a×eq\f(1,2)a2＝eq\f(a3,6)，所以eq\f(\r(3)a2h,6)＝eq\f(a3,6)，所以h＝eq\f(\r(3),3)a.所以三棱錐A1－AB1D1的高為eq\f(\r(3),3)a.類型二空間中的平行問題例2如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明(1)取B1D1中點(diǎn)O，連接GO，OB，易證OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形．∴OB∥GE.∵OB?平面BB1D1D，GE?平面BB1D1D，∴GE∥平面BB1D1D.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連接HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.反思與感悟(1)判斷線線平行的方法①利用定義：證明線線共面且無公共點(diǎn)．②利用平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線．③利用線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.④利用面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.⑤利用線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(2)判定線面平行的方法①利用定義：證明直線a與平面α沒有公共點(diǎn)，往往借助反證法．②利用直線和平面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.③利用面面平行的性質(zhì)的推廣：α∥β，a?β?a∥α.(3)判定面面平行的方法①利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)．②利用面面平行的判定定理：a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β.③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β.④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.跟蹤訓(xùn)練2如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMN∥平面ABC.證明∵M(jìn)，N分別是EA與EC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N為EC中點(diǎn)，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四邊形BCND為矩形，∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵M(jìn)N∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.類型三空間中的垂直關(guān)系例3如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求證：AE⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由．(1)證明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)證明取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC.∵GH?平面BCD，BD?平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理，F(xiàn)H∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF?平面FHG，∴GF∥平面BCD.(3)解取線段AE的中點(diǎn)R，DC的中點(diǎn)M，DB的中點(diǎn)S，連接MS，RS，BR，DR，EM，則MS綊eq\f(1,2)BC.又RE綊eq\f(1,2)BC，∴MS綊RE，∴四邊形MERS是平行四邊形，∴RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點(diǎn)，∴EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE.∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC.∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS?平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.反思與感悟空間中垂直關(guān)系的判定方法(1)判定線線垂直的方法利用線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性)．②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)．③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)．④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)．⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)求證：平面EBC⊥平面ACD；(3)求幾何體A－DEBC的體積V.(1)證明如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HG∥BC，HF∥DE.又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以DE∥AB，從而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又因?yàn)镚H∩HF＝H，所以平面HGF∥平面ABC，又GF?平面HGF，所以GF∥平面ABC.(2)證明因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以EB⊥AB.又因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC.又因?yàn)镃A2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又因?yàn)锽E∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.又因?yàn)锳C?平面ACD，從而平面EBC⊥平面ACD.(3)解取AB的中點(diǎn)N，連接CN，因?yàn)锳C＝BC，所以CN⊥AB，且CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a.又平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，所以CN⊥平面ABED.因?yàn)镃－ABED是四棱錐，所以VC－ABED＝eq\f(1,3)SABED·CN＝eq\f(1,3)a2·eq\f(1,2)a＝eq\f(1,6)a3.即幾何體A－DEBC的體積V＝eq\f(1,6)a3.1．已知圓錐的母線長為10cm，側(cè)面積為60πcm2，則此圓錐的體積為()A．96πcm3B．48πcm3C．96eq\r(2)πcm3D．48eq\r(2)πcm3答案A解析圓錐的側(cè)面積為πrl＝10πr＝60π，得r＝6.則h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(102－62)＝8，所以圓錐的體積為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×62×8＝96π.2．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A錯(cuò)；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D錯(cuò)．3．設(shè)有不同的直線m，n和不同的平面α，β，下列四個(gè)命題中，正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α答案D解析選項(xiàng)A中當(dāng)m∥α，n∥α?xí)r，m與n可以平行、相交、異面；選項(xiàng)B中滿足條件的α與β可以平行，也可以相交；選項(xiàng)C中，當(dāng)α⊥β，m?α?xí)r，m與β可以垂直，也可以平行等．故選項(xiàng)A、B、C均不正確．4.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析∵M(jìn)N∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).5.如圖，在棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA.又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4.又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.1．研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過作截面把空間幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題來解決．另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．2．轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為一、選擇題1.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則()A．EF與GH互相平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上答案D解析因?yàn)镕，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，所以GF∥BD，并且GF＝eq\f(2,3)BD，因?yàn)辄c(diǎn)E，H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，所以EH∥BD，并且EH＝eq\f(1,2)BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF與GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M，所以M∈面ABC，同理M∈面ACD，又面ABC∩面DAC＝AC，所以M在直線AC上．故選D.2．下列命題中假命題是()A．垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直B．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行C．若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直D．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面相互平行答案A解析垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；選A.3．如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：①有水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE＋BF是定值．其中正確的說法是()A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③答案C解析①有水的部分始終呈棱柱狀：從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷①正確；②水面四邊形EFGH的面積不改變：EF是可以變化的，EH不變的，所以面積是改變的，②不正確；③棱A1D1始終與水面EFGH平行：由直線與平面平行的判定定理及A1D1∥EH，可判斷③正確；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE＋BF是定值：水的體積是定值，底面面積不變，所以④正確．故選C.4．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；②若m?α，n?β，m∥n，則α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；④若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β.其中真命題是()A．①③B．①②C．③④D．①④答案D解析對(duì)于①，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，正確；對(duì)于②，不滿足平面與平面平行的判斷定理，錯(cuò)誤；對(duì)于③，平面α，β可能相交，錯(cuò)誤；對(duì)于④，滿足平面α與平面β平行，正確．5．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)冰面直徑為24cm，深為8cm的空穴，則這個(gè)球的半徑為()A．13cmB．26cmC．13eq\r(2)cmD．2eq\r(3)cm答案A解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為O，冰面圓的圓心為O1，球半徑為R，由圖知OB＝R，O1B＝eq\f(1,2)AB＝12，OO1＝OC－O1C＝R－8，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13(cm)．6．過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比值為()A.eq\f(3,16)B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8)D.eq\f(5,8)答案A解析如圖所示是過球心的截面圖，r＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R，eq\f(S圓,S球)＝eq\f(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2,4πR2)＝eq\f(3,16).7.如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為1，高為8，則一質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路徑的長為()A．10B．9C．8D．7答案A解析8．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCE答案C解析由AB是底面圓的直徑，則∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正確．而DE⊥平面CEB不正確．故選C.二、填空題9．一個(gè)正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)P是棱VA的中點(diǎn)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，若木塊的棱長為a，則截面面積為________．答案eq\f(a2,4)解析在平面VAC內(nèi)作直線PD∥AC，交VC于D，在平面VBA內(nèi)作直線PF∥VB，交AB于F，過點(diǎn)D作直線DE∥VB，交BC于E，連接EF.∵PF∥DE，∴P，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且面PDEF與VB和AC都平行，則四邊形PDEF為邊長為eq\f(a,2)的正方形，故其面積為eq\f(a2,4).10.一個(gè)水平放置的圓柱形儲(chǔ)油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的eq\f(1,4)，則當(dāng)油桶直立時(shí)，油的高度與桶的高度的比值是________．答案eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)解析設(shè)圓柱桶的底面半徑為R，高為h，油桶直立時(shí)油面的高度為x，由題意知，油部分所在圓弧對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為eq\f(π,2)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h＝πR2x，所以eq\f(x,h)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).11．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________．考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問題答案144π解析如圖所示，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－AOB，而△AOB的面積為定值，∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，三棱錐O－ABC的體積最大，∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O－ABC的體積最大，此時(shí)V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，解得R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π.三、解答題12．已知三棱錐O—ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí)，求三棱錐O—ABC的體積．解設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時(shí)，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時(shí)OA⊥OC.OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB，所以O(shè)C⊥平面AOB，所以V三棱錐O—ABC＝V三棱錐C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),3).13．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC＝1，AA1＝AC＝2，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：C1F∥平面EAB；(2)求三棱錐A－BCE的體積．(1)證明方法一取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.∵G，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC.又∵AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E為A1C1的中點(diǎn)，∴FG∥EC1，且FG＝EC1，∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F∥EG.又∵EG?平面ABE，C1F?平面ABE，∴C1F∥平面ABE.方法二取AC中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H，則C1E∥AH，且C1E＝AH，∴四邊形C1EAH為平行四邊形，∴C1H∥EA.又∵EA?平面ABE，C1H?平面ABE，∴C1H∥平面ABE，∵H、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴HF∥AB