專升本(國(guó)家)-專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬28

專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬28一、選擇題1～10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1、函數(shù)等于(

)．

A．0

B．1

C．2

D．不存在2、函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，則曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)(

)．

A．單調(diào)增加且為凹

B．單調(diào)增加且為凸

C．單調(diào)減少且為凹

D．單調(diào)減少且為凸3、當(dāng)x→0時(shí)，x2是x-ln(1+x)的(

)．

A．較高階的無(wú)窮小

B．等價(jià)無(wú)窮小

C．同階但不等價(jià)無(wú)窮小

D．較低階的無(wú)窮小4、函數(shù)y=x2-x+1在區(qū)間[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理的ξ等于(

)．

A．

B．0

C．

D．15、設(shè)x=1為y=x3-ax的極小值點(diǎn)，則a等于(

)．

A．3

B．

C．1

D．6、設(shè)函數(shù)f(x)=arcsinx，則f'(x)等于(

)．

7、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為x2，則f'(x)等于(

)．

A．

B．x2

C．2x

D．28、等于(

)．

9、設(shè)有直線

當(dāng)直線l1與l2平行時(shí)，λ等于(

)．

A．1

B．0

C．

D．-110、下列命題中正確的有(

)．

二、填空題11、12、13、14、15、設(shè)y=y(x)由方程x2+xy2+2y=1確定，則dy=______．16、微分方程y"=y的通解為_(kāi)_____．17、二元函數(shù)z=x2+y2+1的極小值為_(kāi)______．18、二元函數(shù)z=xy2+arcsiny2，則19、設(shè)區(qū)域D為y=x2，x=y2圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域，則20、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_____．三、解答題21～28小題，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出推理、演算步驟．21、求22、設(shè)y=x+arctanx，求y'．23、計(jì)算24、計(jì)算25、求y"+4y'+4y=e-x的通解．26、求∫sinxdx．27、計(jì)算其中D是由y=x,x=0，y=1圍成的平面區(qū)域．28、求由曲線y=x，y=lnx及y=0，y=1圍成的平面圖形的面積S及此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積．答案:一、選擇題1、C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為左極限、右極限與極限的關(guān)系．

由于

可知

從而，應(yīng)選C．2、B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性和利用二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定曲線的凹凸性．

由于在(a，b)內(nèi)f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加，又由于f"(x)＜0，可知曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)為凹，可知應(yīng)選B．3、C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無(wú)窮小階的比較．

由于

可知當(dāng)x→0時(shí)，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價(jià)無(wú)窮?。蕬?yīng)選C．4、D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論．

由于y=x2-x+1在[-1，3]上連續(xù)，在(-1，3)內(nèi)可導(dǎo)，可知y在[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理，又由于y'=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使

可知應(yīng)選D．5、A

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為判定極值的必要條件．

由于y=x3-ax，y'=3x2-a，令y'=0，可得

由于x=1為y的極小值點(diǎn)，因此y'|x=1=0，從而知

故應(yīng)選A．6、C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為基本導(dǎo)數(shù)公式．

可知應(yīng)選C．7、D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為原函數(shù)的概念．

由于x2為f(x)的原函數(shù)，因此

f(x)=(x2)'=2x，

因此

f'(x)=2．

可知應(yīng)選D．8、D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法．

因此選D．9、C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為直線問(wèn)的關(guān)系．

直線

其方向向量

l1∥l2，則

從而，可知應(yīng)選C．10、B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)的性質(zhì)．

由級(jí)數(shù)的性質(zhì)：若收斂，則必定收斂．

利用反證法可知，若收斂，發(fā)散，則必定發(fā)散．

可知應(yīng)選B．通?？梢詫⑵渥鳛榕卸?jí)數(shù)發(fā)散的充分條件使用．二、填空題11、[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的運(yùn)算．

注意：可以變形，化為形式的極限．但所給極限通?？梢韵茸冃危?/p>

12、[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．

13、x-arctanx+C[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的運(yùn)算．

14、了1+ili．[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分運(yùn)算．

15、[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為一元隱函數(shù)的微分．

解法1

將所給表達(dá)式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得

從而

解法2

16、y'=C1e-x+C2ex[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為

r2-1=0；

特征根為

r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為

y=C1e-x+C2ex．17、[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的極值．

可知點(diǎn)(0，0)為z的極小值點(diǎn)，極小值為1．18、y2[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．

只需將y，arcsiny2認(rèn)作為常數(shù)，則19、[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的計(jì)算．

20、[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

所給級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形，

可知當(dāng)，即時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，因此收斂半徑為．三、解答題21、解法1

解法2

[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限運(yùn)算．

在極限運(yùn)算中，先進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小代換，這是首要問(wèn)題．應(yīng)引起注意．22、

23、設(shè)，則x=t2-1，dx=2tdt．當(dāng)x=0時(shí)，t=1；當(dāng)x=3時(shí)，t=2．則

[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法．

比較典型的錯(cuò)誤是利用換元計(jì)算時(shí)，一些考生忘記將積分限也隨之變化．24、

[解析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算廣義積分．

計(jì)算廣義積分應(yīng)依廣義積分收斂性定義，將其轉(zhuǎn)化為定積分與極限兩種運(yùn)算．即

25、相應(yīng)的齊次方程為y"+4y'+4y=0，

特征方程為

r2+4r+4=0，即(r+2)2=0．

特征根為

r=-2(二重根)．

齊次方程的通解

Y=(C1+C2x)e-2x．

設(shè)所給方程的特解y*=Ae-x，代入所給方程可得A=1，從而y*=e-x．

故原方程的通解為

y=(C1+C2x)e-2x+e-x．26、

設(shè)u=x，v'=sinx，則u'=1，v=-cosx，

27、