2023年高考第一次模擬卷數(shù)學(xué)（甲卷文科）（全解全析）

2023年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷

數(shù)學(xué)全解全橋

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、單選題

1.已知集合。={123,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4,5},則(C(/A)n(QB)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6}

【答案】A

【詳解】解：由題意,QA={4,5,6},QB={l,6},(CuA)n(QC={6},

故選：A.

2.若署=—l+2i(aeR,i為虛數(shù)單位)，則|a-i|=()

A.2V2B.VioC.5/5D.V2

【答案】B

【詳解】因?yàn)閙=-l+2i,故a+i=(l+i)(—l+2i)=-3+i,故a=-3,

貝ij-i|=卜3_i|=強(qiáng)71=廂.

故選:B.

3.北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古

是我國(guó)人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天磯、天權(quán)、玉衡、開陽(yáng)、搖光,

其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測(cè)，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中

的概率為()

21214221

【答案】B

【詳解】因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為尸=尋=當(dāng)，

所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為1-2=苗.

故選：B.

4.若平面向量￡與■的夾角為60。，問=2煙=1,則歸-洱=

A.73B.2也.C.1D.2

【答案】D

【詳解】忸-2同=心2-4無(wú)5+4戶=,4x2xlxg+4xl=2,故選D.

考點(diǎn)：向量的模

5.已知A（0,2）,B（f,0）（t<0）,動(dòng)點(diǎn)C在曲線7：/=4x（O<x<l）±,若△ABC面積的最小值為1,貝V

不可能為（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】D

【詳解】設(shè)C,因?yàn)閤e[0,l],所以問一2,2].即為?-2,2].

直線AB的方程為y+j=l,即2x+)-2f=0(fV0).

因?yàn)榱帷闧-2,2],，<0,所以￡++一2)/>0.

y2

則點(diǎn)C到直線A3的距離為"萬(wàn)+"。-"y+%-2?

4+44+4

因?yàn)锳（0,2）,所以以用=爐）.

^+ty0-2ty+%-2r

所以S》8C=gx"Mx

J*+42

2

%-4%+8

當(dāng)t=-4時(shí),

SAABC=2--%w[-2,2]

可得當(dāng)%=2時(shí)，（§△?）而0=1,符合題意;

2

比-3%+6

當(dāng)/=—3時(shí),

S^BC=-~2----，%e12,2]'

可得當(dāng)%=2時(shí)，（S.）1nhi=1,符合題意：

2

當(dāng)￡2H寸9-2%+4

“-2時(shí)，S&L——-yo<-2,2]）

可得當(dāng)先=2時(shí)，（Sfc）mM=1,符合題意;

2

弓一%+2,

SMBC=2，%G[-2,2]

3

可得當(dāng)%=1時(shí)，(^c)min=^,不符合題意.

故方不可能為-1.

故選:D.

6.定義域?yàn)椋?,兀］的函數(shù)/(力=(65汕5-853)853+13＞0),其值域?yàn)?;』，則①的取值范圍

是()

fo,-

A.[o,rB.-,3C.D.1i

(2」[2Jl3J_353_

【答案】D

【詳解】因?yàn)?(x)=6sin①xcoscox-cos2cox+—=sin2cox-'+8s+—=sinf2cox--

222216

由一;W可得_g?sin(20x_E卜1,

7Tjr7TjrIT7冗12

-.-0<x<7i,則一二423-夕42兀3—，由題意可得：42n0-24二，解得七

66626633

故選：D.

7.函數(shù)“x)=(x2-2x)e，的圖象大致是()

【詳解】由〃力=0得x=0或x=2,故C錯(cuò);

又r(x)=(/_2)e，，

當(dāng)x＜-夜或x＞近時(shí)，＞0；

當(dāng)-夜＜x＜亞時(shí)，/'(x)＜0,

所以/(x)在(ro,_應(yīng))和(應(yīng),上單調(diào)遞增，在卜立，應(yīng))上單調(diào)遞減，則/(X)在x=_0處取得極大

值，在》=夜處取得極小值，故AD錯(cuò)；

故選：B.

8.已知數(shù)列｛q｝滿足：V/?2,MeN\勺+〃=4+?！?若。2022=2022,則《=()

A.1B.2C.3D.2022

【答案】A

【詳解】令"2=1,則an+l=q+an

故凡+「a〃=q，??.丹為常數(shù)，

故數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列

?-an+l~an=ai=^

Wo，。=4+(2022—l)d=2022q=2022

4=1

故選：A.

9.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,Sib2+c2=a2+bc,若sin8sinC=sin?A,則

的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

I+，一/be1

【詳解】AABC中，廿+d=a2+be,則cos4=----------------=------=—

2bc2bc2

又0<A<兀，則A=三

由sin3sinC=sin2A,可得〃？=bc,^A/?2+c2=a2+bc

則有從+c“2=bc+Z?c=2Z?c,則(。一c)2=。，則。=c

又A=W，則△ABC的形狀是等邊三角形

故選：C

10.已知函數(shù)/(x)=sin(s+w)(o>0，M<9與函數(shù)y=g(x)的部分圖象如圖所示，且函數(shù)“X)的圖象可由

函數(shù)g(x)的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則g(O)=()

九

片g(x)y=f(x)

A1R1「退n+百

D.J.--------L/.±1

222

【答案】C

【詳解】由題意可知，將函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)（-9,0）向右平移]個(gè)單位長(zhǎng)度,

可得y=〃x）的圖象與x軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為，

X軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為（詈，0）,

因?yàn)閥=/（x）的圖象與

所以7=2x(5)乃)—24

n+n)=了，得幻=2,則“X）二=sin(2x+,

又，性卜sin(q+e)=0,所以@=^+k兀,kwZ,由同《知，(p=三,

J萬(wàn)、71=cos(2x+?),故g(o)=亭

則/(X)=sing(x)=sin2

L1x+—4；+—6J

故選：C.

222

11.已知雙曲線夕-方=1（〃>0,6>0）的兩條漸近線與直線x=?分別相交于A,8兩點(diǎn)，且線段AB的長(zhǎng)

等于它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=土也xC.y=±^-xD.y=+\[2x

【答案】B

【詳解】解：雙曲線[-[■=1（。>0*>0）的兩條漸近線方程為》=±2X,則焦點(diǎn)（士c,0）到漸近線的距離

土如

a

為-b

a2

2/2rA/21

又兩條漸近線與直線x=2分別相交于4,B兩點(diǎn)，所以A幺,毀,B—

c\Cc）\cc

則c=2a，所以匕=后=7=點(diǎn)口，故漸近線方程為y=±缶.

故選:B.

12.4=處。0力=1,。=塔，則4,h,C的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

小e3

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【詳解】令八*）=叱，則"=/（4）=二"，b=f（e）=—,c=f（3）=塔，

x3e_e3

J

而[（x）=±*且x>0,即0<x<e時(shí)/3）單調(diào)增，x>e時(shí)/。）單調(diào)減，Xl<—<^<3,

K3

**.b>C,b>a.

Zft=---有兩個(gè)解％,也，則1<%<e<X）,tG（0,—）,

xe

日1”_由工2-1nxiInxw

工2-玉t

令gO）=lnx—2（',則g'（x）=即g。）在。,行）上遞增，

x+ix（x+\y

八一.2（x-l）-x9Inx7-Inx,L2,2t-9

「.^（x）>^（l）=0,即在（l,y）h,若工=一即一----->-----，故”——，有中2>/

x+1X,x2-x1x2+xiInxxx2

22

.?.當(dāng)”3時(shí)，e>x,吟，故/5）<〃%）=/（3）,

綜上：h>c>a.

故選：A

二、填空題

13.已知向量：=（4,一1）/=（機(jī),3），若則"=__________.

【答案】5

【詳解】解:由題可知,a=（4,-l）,ft=（/n,3）>

—

則。一0=（4,—1）一（加,3）=（4—機(jī),一4），

由于（4一辦）_1,〃，則（4一]}Q=0，

即：4x（4—加）+4=0,解得：m=5.

故答案為：5.

14.若圓G：?！狹?+（y—】）2=10（機(jī)>0）平分圓。2：。+1）2+。+1）2=2的周長(zhǎng),則直線3工+4〉，一2=。被圓

G所截得的弦長(zhǎng)為___________.

【答案】6

【詳解】?jī)蓤A相減得公共弦所在的直線方程為（m+1）（2%-機(jī)+1）+4=-8

由題知兩圓的公共弦過(guò)圓C2的圓心，所以（m+1）（-6-1）-4=-8

即（w+1）2=4,又相>0,所以a=1

|3+4-2|

G(LI)到直線3x+4y_2=0的總目離”=

出2+4

所以直線3x+4y-2=0被圓G所截得的弦長(zhǎng)為2g于=6

故答案為：6

15.若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)g(x)滿足〃x)+g(x)=e',則g(x)的解析式為

g("=.

【答案]三:

【詳解】由題意得：.〃T)+g(—x)=eL即〃x)—g(x)=eT①，〃x)+g(x)=e，②，②-①得：

2g(x)=e'-e-\解得：g(x)=￡l土

故答案為：三:

在點(diǎn)m處的切線與直線—k1=0平行，則’的值為

16.已知函數(shù)/(x)=sinx+x,

【答案】-1

【詳解】因?yàn)?(x)=sinx+x,所以/'(x)=cosx+l,

所以/(5)=c°s]+l=l，即函數(shù)/(x)在點(diǎn)處切線的斜率為1,

因?yàn)榍芯€與直線/平行，所以-==1,即2=-i.

ba

故答案為：-1

三、解答題

17.芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國(guó)家現(xiàn)代

工業(yè)的重要因素.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x(億元)與收益y

(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

收益y億元

70

(13,58)

60

50------------------------------------------------

___________Y^(8,50)

40

”(6,42)一

30

/(4,31)一

20

Z(3,22)

10

0

2345678910111213

一研發(fā)投入I億元

⑴根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分)；

(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，預(yù)測(cè)當(dāng)芯片的研發(fā)投入為

17億元時(shí)公司的實(shí)際收益.

一(占一一(以-刃

附:其回歸方程?=占+bx的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為族=,a=y-bx.參考數(shù)

1=1

據(jù)￡(%-可(1一刃a400,X(x,.-可晨98.

/=|

【答案】⑴y=4x+12

(2)85億元

146

【詳解】(1)由折線圖中數(shù)據(jù)知/='x(2+3+4+6+8+10+13)=十,

1,272

y=-x(13+22+31+42+50+56+58)=—,

,,z與(―)回一刃4。。200，

因?yàn)锽―7------------------?-----=?4,

)29849

<=1

,_27220046

所cri以>a=y-6x=-^--—xy?12

所以)，關(guān)于X的線性回歸方程為y=4x+12

(2)當(dāng)x=17時(shí),y=4xl7+I2=80億元，

此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為80+5=85億元.

18.已知數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和S“滿足S?=2a?-2(weN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵令a=a,,-4〃，求數(shù)列九］的前"項(xiàng)和T?.

【答案】⑴凡=2"

(2)4=答+〃-8

【詳解】(1)當(dāng)"=1,St=at=2a,-2,故q=2,

因?yàn)镾“=2a”-2,當(dāng)“N2時(shí),S?_(=2a,,..-2,

兩式相減得：S“-S,,.!=an=2a?-2a,,.,,即a“=2a?,],

故數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，公比q=2,

所以a“=2x2"T=2".

(2)bn=an-4n=2"-4n,

人”〃，三1+矛2+33+…+產(chǎn)〃①g'

=/+最+,+…+會(huì)②'

①-②得

19.如圖①，在菱形ABCQ中，A=1,AB=2,E為A。的中點(diǎn)，將AABE折起至AABE使4￡>=0,

如圖②所示.

⑴求證：平面A8E，平面4/C；

(2)若P為AC上一點(diǎn)，且AE〃平面BPD求三棱錐A-BPE的體積.

【答案】⑴證明見解析

喏

【詳解】(1),/A。=,AfE=DE—l,..AtD~=AtE+ED~

DELATE,

又BC〃DE,：.BC±A,E,

,,n

?：AE=1,AB=21NA=—，

BE=y/3,即3C_LBE,乂AEcBE=E

.?.BC_L平面ABE,又8Cu平面ABC,

平面ABEJ.平面ABC.

(2)連接CE,得平面AECn平面BPD=OP,如圖，

c

又AE||平面BPD,

:.A,E//OP,

由LDOEs^BOC知OE=；EC,

即AP=；AC,

：.Vr=-x—x>/3xlx2=—.

C323

?v.-Ly.=—,

*P—AyBE=3C—>4|BE9

即kE=《.

20.已知函數(shù)/(x)=aex-x(aeR).

⑴討論/(X)的單調(diào)性;

(2)若”e(O,l),證明：

【答案】(1)答案見解析

⑵證明見解析

【詳解】(1)f\x)=ae-\,

若HO,aev-1<0.即/'(x)<0,此時(shí)〃x)在R上單調(diào)遞減.

若a>0,解/qx)>0得x>ln1

解/'(x)<0得x<ln,，

a

：./(x)在匕單調(diào)遞減，在jin，,+8］匕單調(diào)遞增.

設(shè)〃(x)=e”-f,(x>l)/?r(x)=ev-2x,

設(shè)夕(x)=ev-2x(x>1)(f>(x)=eA-2>0,

「?°(x)在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，x>\,°(x)>0(l)=e-2>0.

”(x)〉0,〃(x)在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增.

,A(x)>A(l)=e-l>0.

Y撲

21.如圖，已知點(diǎn)P(2,2)是焦點(diǎn)為歹的拋物線C：9=2*(0>0)上一點(diǎn)，A)8是拋物線C上異于P的

兩點(diǎn)，且直線上4,，陽(yáng)的傾斜角互補(bǔ)，若直線上4的斜率為

⑴證明：直線A3的斜率為定值；

(2)在中，記=NFBA=0,求sina-sin/?最大值.

【答案】⑴證明見解析

⑵苧

【詳解】（1）將點(diǎn)P（2,2）代入拋物線方程可得：。=1,拋物線C：丁=2彳

設(shè)宜線R4方程為：y-2=Z（x-2）/>l）,與拋物線方程聯(lián)立可得：

4-4&2.22

ky2-2y+4-4k=0,所以力丫”---=%=—;—，

kk

用—I弋％可得：%=—￡；絲，

k

k2_1

因此，,一X.F一區(qū)_2r%+%-2

22

即原8=-；，故直線AB的斜率為定值.

（2）由（1）可知，*=:，將以帶入直線B4方程二"一2=k（x—2）,解得4=2（—）-

2%k2

（2（—）22-2k}（2（1+療2+2。

則A-4^-,^—,用TH弋女可得：B..A,

k~kk-k

\/\7

小2—2k2（1-^）21-2-2攵2

因止匕直線A5力程：y---：—=——x-------及nx+2y-----萬(wàn)—=0,

k2kk

門)12。/

F不0到直線A8的距離」2k15r_4

V52y/5k2

所以如…走向一向=d（向扁）

JL=-—|網(wǎng)=4-4=4一-八

因?yàn)楦骄W(wǎng)|叫閥值+升工）…X…

2(l+k)22(1-Jt)2

下^一公_32k3

20-4)22(i+&y](2(1-42(1+425/4-24^+16

------O----,------；------1-----------Z------1------------+—

k22k2k24

7

所以

5")_165k--

sini二對(duì)32&3__16(5._4快_16_______k

2顯225A4-24r+16—忑'25/-24^+16-忑'(5嶗)+16

4

令t=5k],易得此函數(shù)在女>1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，則01,

K

當(dāng)且僅當(dāng)f=4