2023年江蘇省宿遷市沭陽高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果

兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）

407080

A.-----B.-----C.------

243243243

2.已知復(fù)數(shù)〃++〃為純虛數(shù)（，為虛數(shù)單位），則實數(shù)。=（

A.-1B.1C.0

3.總體由編號01,,02,…，19,20的20個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1

行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

4.已知數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，若。6+%+。8=26,且&?%=36,則V+V+()

o

5.已知△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=a),BD=2DC,AE=EC9則苞.礪=()

A

/WE

DC

6.設(shè)M是AABC邊BC上任意一點，N為AM的中點，若鋼=4通+〃/，則4+〃的值為（）

111

A.1B.—C.-D.一

234

7.已知。，。，c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊，a=},4csinA=3cosC,AABC的面積為之，貝（Jc=（）

2

A.272B.4C.5D.3正

8.已知正方體ABC。-A&GA的棱長為2,E,F,G分別是棱A￡>,CC,,G。的中點，給出下列四個命題:

①所_LB|C；

②直線FG與直線4。所成角為600;

③過￡,F,G三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形；

④三棱錐B—EEG的體積為

6

其中，正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知向量￡與Z+B的夾角為60。，同=1,忖=百，則￡出=（）

A.--B.0C.0或-9D.--

222

10.已知i為虛數(shù)單位，實數(shù)MN滿足（x+2）=y-i,貝！||x—克|=（）

A.1B.y[2C.V3D.V5

11.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機(jī)票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價

格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）

六個城市春運往返機(jī)票的平均價格和超幅

300010.00H

2SOO

2000

1500

1OOO

500

北I室上W右r州豪圳天*i蟲慶l

?a平均價幡——塢帽

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高

B.天津的往返機(jī)票平均價格變化最大

C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng)

D.相比于上一年同期，其中四個城市的往返機(jī)票平均價格在增加

12.設(shè)〃x)=|lnx|,若函數(shù)g(x)=/(x)-這在區(qū)間(0,/)上有三個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)='一，若關(guān)于x的方程/(x)==x+a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a

/(x-2),x>02

的取值范圍是.

y<x

m

14.若實數(shù)X，)’滿足約束條件x+yN4,設(shè)Z=3x—2y的最大值與最小值分別為以〃，貝|J—=.

n

x<3

15.設(shè)〃、夕為互不重合的平面，m,〃是互不重合的直線，給出下列四個命題：

①若m//n,則m//a；

②若mua,nua,tn//flf〃〃小貝！|a〃4；

③若〃〃夕，mua,nafl9則〃z〃〃；

④若aJ_夕，aC\fl=m9nc.a,/〃_!_〃，貝!j

其中正確命題的序號為.

2x

16.已知函數(shù)“x)=aln(2x)_e工有且只有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=；|x—a|(aeR).

(1)當(dāng)a=2時，解不等式x-；+/(x)Nl；

(2)設(shè)不等式苫-；+/(尤)(工的解集為〃，若;u",求實數(shù)”的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|-14-2x|.

(1)求不等式/(x)…;(》—1)的解集；

21

(2)若函數(shù)/(x)的最大值為團(tuán)，且2。+〃=加(a>0,力>0),求一+7的最小值.

ab

,)121

19.(12分)已知數(shù)列｛a“｝滿足——=一且4=彳

an+\an2

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列」-+2成的前〃項和S”.

UJ

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=%2-5x+21nx.

(1)求f(x)的極值；

(2)若/(玉)=/(%2)=/(毛)，且玉<々<了3，證明：X]+當(dāng)>1.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=a+21nx,f(x)<ax.

(1)求”的值；

⑵令g(x)=更立在3”)上最小值為加，證明：6</(加)<7.

x-a

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABC。中底面ABC。是菱形，ZSW=60°,△24。是邊長為2的正三角形,

PC=y/1O.E為線段的中點.

(1)求證：平面P8C1■平面P3E；

______3

(2)是否存在滿足而=4記(％>0)的點尸，使得匕21AE=[%.PFB?若存在，求出入的值；若不存在，請說明理

由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復(fù)試驗的公式得

到結(jié)果.

【詳解】

從6個球中摸出2個，共有猿=15種結(jié)果，

兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)

，摸一次中獎的概率是自=:，

153

5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是g,

O1QA

,有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是C；?(早3,(I)2=券，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了〃次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生攵次的概率，考查獨立重復(fù)試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次,

相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題.

2.B

【解析】

化簡得到z=a-/+Q+/)/,根據(jù)純虛數(shù)概念計算得到答案.

【詳解】

z=(1+i)(a+/)=a-7+(?+為純虛數(shù)，故"-1=。且a+1*0,即a=7.

故選：瓦

【點睛】

本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.

3.D

【解析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.

考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運用能力.

4.A

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得%?佝=4?%=齒=36,通分化簡即可.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)歹U,則%?%=4?/=@=36,

又。6+。7+。8=26,即。6+々8=26-%,

,、?11_36+%.（4+4）_36+%.（26一%）

a，aa

a6%%6i's36?%36?%

_36+%?（26-/_36+26?%-_36+26?%-36_26?%_13

36?%36?%36?%36918

故選：A.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

以麗，羽為基底，將而，而用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.

【詳解】

___2____________2_____.

BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,

33

AE=EC,：.BE=-BC+-BA,

22

ADBE=（-BC-BA）（-BC+-BA）

322

」前一前麗」蕭

362

=,1——1x2cx3.x—1=—1.

622

故選:C.

【點睛】

本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.

6.B

【解析】

設(shè)的=/比，通過麗=；麗，再利用向量的加減運算可得麗=子通+；衣，結(jié)合條件即可得解.

【詳解】

設(shè)麗=辰,

則有麗=g麗=g（麗+兩）=g麗+gf覺=：通+；（而—荏）=子而+；而.

2七］l-tt1

所以t，有，+〃=萬+5=嗟

I"5

故選B.

【點睛】

本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向

量表示法唯一來解決問題.

7.D

【解析】

341.3

由正弦定理可知4。5出4=445也。=385。,從而可求出sinC=-,cosC=—.通過S48c--absinC=一可求出

55422

b=5,結(jié)合余弦定理即可求出。的值.

【詳解】

解：v4csinA=3cosC,即4c,sinA=3acosC

.1.4sinAsinC=3sinAcosC>即4sinC=3cosC.

34

,.?sin2C+cos2C=1,貝！|sinC=g,cosC=g.

3

■q=—absinC=—xlxbx-==,解得匕=5.

2252

2222

:.c=a+b-2abcosC=l+5-2xlx5x^=18,c=3>/2

故選:D.

【點睛】

本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過

正弦定理結(jié)合已知條件，得到角C的正弦值余弦值.

8.C

【解析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.

【詳解】

如圖;

連接相關(guān)點的線段，。為8。的中點，連接ER9,因為尸是中點，可知EOJ.BC，可知平面ER7,

即可證明線C_LEF,所以①正確

直線FG與直線A。所成角就是直線\B與直線所成角為60°；正確;

過E,b，G三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖:

是五邊形EHFGI.所以③不正確;

如圖：

三棱錐8-￡FG的體積為:

由條件易知尸是GM中點,

所以^B-EFG=VB-EFM=^F-BEM，

2+3,1,1,5

---x2—x2xl—x3xl=—,

而SREM=S梯形ABMO-S^BE-S、EDM

2222

xl=

Vf.￡fiM=1xI7-所以三棱錐EFG的體積為3,④正確;

32O6

故選：c.

【點睛】

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中

檔題.

9.B

【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量￡與￡+5的夾角為60°,再由片=忖,分2=|彳代入表達(dá)式中即可求出7人

【詳解】

由向量”與￡+各的夾角為60°,

得+=a+a-B=|a||a+月cos60。，

又M=1,W=豆，/=忖,b>2-|b|,

所以1+。-/?=5乂1乂Jl+2a.3+3,解得a-b=0?

故選：B

【點睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

,\X=—1

,.?(x+2i)i=y-i,-2+xi=y—i,:.s,

[y=-2

則|尤-=|-1+2i\=75.

故選D.

11.D

【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.

【詳解】

對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.

對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.

對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng)，所以C選項敘述正確.

對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機(jī)票平均價格在增加，故D選項

敘述錯誤.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

令g(x)=,f(x)-公=0,可得/(x)=ov.

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/(x)=|lnx|的圖象(如圖所示).

當(dāng)x>l時，/(力=欣.由丁=扇得了=1

設(shè)過原點的直線y=內(nèi)與函數(shù)y=//X的圖象切于點A(x0,\nx0),

\nx0^ax0卜0=e

則有1,解得1.

ci=-a=—

所以當(dāng)直線丫=以與函數(shù)y=/〃x的圖象切時a=L.

e

又當(dāng)直線丫="經(jīng)過點B(/,2)時，有2=℃2,解得

結(jié)合圖象可得當(dāng)直線y=◎與函數(shù)/(X)=|lnx|的圖象有3個交點時，實數(shù)a的取值范圍是

即函數(shù)g(x)=/(x)-or在區(qū)間(01)上有三個零點時，實數(shù)”的取值范圍是選D.

點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)

雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-?,3)

【解析】

3

畫出函數(shù)/(x)的圖象，再畫y=]X+a的圖象，求出一個交點時的”的值，然后平行移動可得有兩個交點時的。的范

圍.

【詳解】

3

所以y=/(x)圖象與直線y=有且只有兩個交點即可，

3

當(dāng)過(0,3)點時兩個函數(shù)有一個交點，即。=3時，y=+a與函數(shù)/(X)有一個交點，

由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點，

可得a<3,

故答案為：(F,3).

【點睛】

本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

7

14.-

2

【解析】

YY]

畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線3x-2y=0到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得一的比值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線z=3x-2），過點（3,1）時，二取得最大值7；過點（2,2）時，z取得最小值

本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫

出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行

域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.

15.④

【解析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

對于①，當(dāng)機(jī)〃〃時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出機(jī)〃a,①錯誤；

對于②，當(dāng)機(jī)ua,”ua,且小〃時，由兩平面平行的判定定理，不能得出a〃人②錯誤；

對于③，當(dāng)G〃“，且mU",〃U/時，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出機(jī)〃小③錯誤；

對于④，當(dāng)a工0,且公。?=如nca,機(jī)_1_〃時，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出④正確；

綜上知，正確命題的序號是④.

故答案為：④.

【點睛】

本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.

16.(-℃,0)U{e}

【解析】

2x

當(dāng)X*:時，轉(zhuǎn)化條件得a=有唯一實數(shù)根，令G)=._e:通過求導(dǎo)得到g(x)的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即

2In(2x)v7ln(2x)

可得解.

【詳解】

當(dāng)無」時,11

f^x)=-ee^09故％=5不是函數(shù)的零點;

2

2x

當(dāng)xwg時,"。即"忌

2x

令<式、)=向,+8,

2

2"1—2x

ee?ln(2x)---eeee-[—ln(2x)--

:二且-------------1——=-x

[ln(2<[ln(2x)了

時，g<x)<0；當(dāng)工名

,+8時，g'(x)>0,

g(x)的單調(diào)減區(qū)間為I],增區(qū)間為仁,+8

e

又g[f]=W=e，可作出g(x)的草圖，如圖：

'12JIne

則要使a=g(%)有唯一實數(shù)根，則ae(—,0)U{e}.

故答案為：(e,O)U{e}.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

「14一

17.(1){x|x<0或x2}；(2)

【解析】

(1)使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.

(2)利用等價轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-。區(qū)3x在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)

系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)。=2時，

原不等式可化為|3x-l|+|x—2|23.

①當(dāng)時，

則一3x+l+2—3=,所以x<0；

②當(dāng)1<工<2時，

3

則3%—1-2+xN3=x21,所以

⑧當(dāng)xN2時，

3

則3x—1—2+xN3xN—所以九之2.

29

綜上所述：

當(dāng)。=2時，不等式的解集為{x|x<0或工21}.

(2)由|x-；|+/(x)Wx,

貝！J|3x-l|+|x-a區(qū)3x,

由題可知：

13x—11+1x-a區(qū)3x在—恒成立,

所以3x-l+|x-a|〈3x,即

即a-\<x<a+\,

,,1

4Z-1<-,.

314

所以<=>一一<a<-

,、123

a+1>—

I2

「141

故所求實數(shù)。的取值范圍是-.

【點睛】

本題考查零點分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應(yīng)用，同時掌握等價轉(zhuǎn)化的思想,

屬中檔題.

18.(1)[1,4](2)3

【解析】

x—5,x<—1,

(1)化簡得到/*)=3%-3,-掇/2,,分類解不等式得到答案.

-x+5,x>2.

(2)/(x)的最大值機(jī)=/(2)=3,2a+b=3(a>Q,b>Q),利用均值不等式計算得到答案.

【詳解】

x~5,x<—1,

(1)/(》)=,+1|—|4-2耳=<3》—3,—掇?2,

-x+5,x>2.

XV—1,口瓢2,x>2,

因為/(x)…g(x-l),故<

1或,1或<

x-5>-(x-l)3x-3...-(x-l)-x+52§(x-1),

I3

解得1效k2或2<%,4,故不等式/(x)…g(x—1)的解集為[1,4].

(2)畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知/(x)的最大值機(jī)=/(2)=3.

因為2。+。=3(。>0,b>0),所以—I—=—(2。+/?)—I—I=—|---1----F51…—x(2x2+5)=3,

ab3\ab)ba)3

本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

(1\n

+2

19.(1)a?=-；(2)Sn=2"'+n+n-2

、2)

【解析】

(1)根據(jù)已知可得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，即可求解;

(2)由(1)可得>為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前八項和公式，即可求解.

【詳解】

12a.11

(1)因為——=一,所以‘出=彳，又

2

%+I??2

所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且首項為:，公比為;?故q=(;)

(2)由(1)知，=2",所以，+2〃=2"+2〃

4??

所以S,，=T-30+7

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的定義及通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前“項和，屬于基礎(chǔ)題.

9

20.(1)/(x)極大值為-乙-21n2；極小值為-6+21n2；(2)見解析

4

【解析】

(D對函數(shù)fM求導(dǎo)，進(jìn)而可求出單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的極值；

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-/(l-x),xe(0,，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得F(x)<0,從而/(x)</(I-x)在(0,上

恒成立，再結(jié)合王e(0,g),/(W)=/(玉)</(1一百)，可得到%>1一匕,即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)的定義域為((),+。),/(x)=2x-5+：=(2D(±2)a>0),

所以當(dāng)xd0,￡|u(2,+8)時"，(x)>0；當(dāng)時，八x)<0,

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,31和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(J,2).

故/(刈的極大值為—M+21n:=-g—21n2；/(x)的極小值為/(2)=4-10+21n2=-6+21n2.

<2)4224

(2)證明:由(1)知0<%<；<々<2<工3，

設(shè)函數(shù)尸(x)=/'(X)-/(l-x),xe(0,g),

貝！JF(x)=爐-5x+21nx-(1-x)'-5(l-x)+21n(l-x),

=(21)*-2)+(21)(x+l)=2(21>

x1-xx(l-x)'

則E'(x)>0在(o,上恒成立，即F(x)在(o,《上單調(diào)遞增，

故尸(%)<嗚),

又。'則，(，，?，(?—/。—，，,。'"右!?'!)'

即/(X)</(I-X)在1o,II上恒成立.

因為玉所以/(玉)</(1一%)，

又f(動=〃％)，則一石),

因為々,1-玉G(g,2),且/(A-)在(；，2)上單調(diào)遞減，

所以毛>1一%,故XI+9>1.

【點睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

21.(l)a=2；⑵見解析.

【解析】

(1)將/(x)〈以轉(zhuǎn)化為。一ar+21nx4()對任意x>0恒成立，令〃(x)=a-ax+21nx,故只需〃甕",、《。，即可求

出a的值；

⑵由(1)知g(x)=---------(x>2),可得g(x)=--------—---,令s(x)=x-21nx-4,可證+G(8,9),

x-2(x-2)0

使得S(X°)=0,從而可確定g(X)在(2,%)上單調(diào)遞減，在(*0,+00)上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得gOOmin=g(Xo)=X°，即

m=x0,即可證出2+21nx0=%-2e(6,7).

【詳解】

函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8),因為/(X)<ax對任意X〉o恒成立，

即a-ax+21nxW0對任意x〉0恒成立,

令"(x)=Q-ox+21nx,則“⑺=_〃+2=，^+2,

xx

當(dāng)a40時，/。)>0,故〃。)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/1)=0,所以當(dāng)時,h(x)>h(l)=09不符合題意；

當(dāng)。>0時，令/(幻=0得%=*,

a

29

當(dāng)0<x<—時，〃(元)>0；當(dāng)x〉*時，A\x)<0,

aa

所以人Q)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

(2、22

所以力(x)max=川一=。一。?一+21n—=a-2+21n2-21n。,

\a)aa

所以要使人(X)wo在x>0時恒成立，則只需"(x)max<0,即。一2+