高中數(shù)學(xué)：函數(shù)及其性質(zhì)經(jīng)典熱搜題20題詳解

高中數(shù)學(xué)：函數(shù)及其性質(zhì)經(jīng)典熱搜題20題詳解1.設(shè)函數(shù)f(X)=I2X+11+1%-11.(1)畫出J=f(x)的圖像;【答案】(1)見解析(2)當(dāng)%00,+W,f(x)<“X+b，求a+b的最小值.分析：(1)分析：(1)(2)結(jié)合(1)問可得a,b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值5【詳解】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖像即可.C- 1—3x,X<—,f(f(%)=\詳解：(1)%+2,-1<%<1,j=f(X)的圖像如圖所示.乙詳解：(1)3%,%>1.(2)由(1)知，J=/(%)的圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a>3且b>2時，f(x)<ax+b在［0,+r)成立，因此a+b的最小值為5.點睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.2.已知函數(shù)f(x)=|x—2|,g(x)=|2x+3|-12x—1|.y.1Lo(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像；(2)若f(x+a)>g(x)，求a的取值范圍.11【答案】(1)圖像見解析；(2)a>-【解析】【分析】(1)分段去絕對值即可畫出圖像；(2)根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將y=f(x)向左平移可滿足同角，求得y=f(x+a)過Afi,41時a的值可求.127【詳解】12-x,x<2(1)可得f(x)=|x-2|=《 、中畫出圖像如下:Ix-2,x>2

/ 3-4,%<-^?II? 3 1 g(%)=|2%+3-2%-1|={4%+2,--<%<-，回出函數(shù)圖像如下:224,%-22)f(%+a)=1%+a-21,如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出f(%)，g(%)圖像，J=f(%+a)是y=f(%)平移了|a|個單位得到，則要使f(%+a)>g(%)，需將y=f(%)向左平移，即a>0，當(dāng)y=f(%+a)過Af-,4］時，|-+a-21=4，解得a=11或-5(舍去)，12J2 2 2則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=f(%)向左平移?個單位，a>?.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.求函數(shù)解析式(1)已知f(%)是一次函數(shù)，且滿足3f(%+1)-2f(%-1)=2%+17.求f(%).

，、一， 、……、J- ,、(2)已知f(x)滿足2f(x)+f()―3x，求f(x).x【答案】(1)f(x)—2x+7(2)f(x)―2x-Lxw0)x【解析】【分析】⑴由f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)―ax+b(a豐0)，可將3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17.轉(zhuǎn)化為a,b的關(guān)系，由此得到f(x).. 1 . 1 .⑵由2f(x)+f(-)―3x可再得一方程2f—3 3 3 . 一 ，、…+f(x)――,建立二元一次方程組即可求得f(x).x【詳解】f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)―ax+b(a豐0)，貝13f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b—ax+5a+b即ax+5a+b=2x+17不論x為何值都成立a—25a+b-17解得,故f(x)的解析式為f(x)―2x+7/1、kx3—□x□2f(x)+fkx3—□x3□x□一口得3f(x)—6x—-,x故f(x)—2x-Lxw0)x【點睛】1本題主要考查解析式的求法，通常已知函數(shù)名稱采用“待定系數(shù)法”，已知f(x)和“與或f(-x)的關(guān)系通常采用“賦值”x建立二元一次方程組求解.4.已知定義域為R的函數(shù)f(x)— 是奇函數(shù).2x+a(1)求a,b的值;(2)用定義證明f(X)在(-8,+8)上為減函數(shù);(3)若對于任意teR，不等式f(12-21)+f(212-k)<0恒成立，求k的范圍.【答案】(1)a—1,b—1；(2)證明見解析；(3)(-8,-1).【解析】【分析】時，f(x)-f(x)>0，即得函(1)根據(jù)奇函數(shù)定義，利用f(0)—0且f(-D=-f(D,列出關(guān)于a、b的方程組并解之得a—b—1；(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取實數(shù)x1、x2,通過作差因式分解可證出：當(dāng)x1<x2數(shù)f(時，f(x)-f(x)>0，即得函(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式f(t2-2/)+f(2/2-k)<0轉(zhuǎn)化為：k<3t2-21對任意的teR都成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得k的取值范圍.【詳解】解：(1).；f(x)為R上的奇函數(shù)，，f(0)=0，可得b=1又“(-1)=-f(1).??上紅=_上2，解之得a=12-1+a2+a一一一，一 1—2x― 一，一經(jīng)檢驗當(dāng)a=1且b=1時，f(x)=，滿足f(-x)=-f(x)是奇函數(shù).2x+1(2)由(1)得f(x)=1-2l=-1+-^―,2x+1 2x+1任取實數(shù)x1、x2,且x1<x2則f(則f(x1)-f(x2)=2 22x1+12x2+12(2x2-2x)(2x+1)(2x2+1)??飛<x2，可得2x1<2x2，且(2x1+1)(2x2+1)>0「.f(一(x?>0，即f(x1)>f(x?,函數(shù)f(x)在一)上為減函數(shù);(3)根據(jù)(1)(2)知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在(-8,+8)上為減函數(shù).不等式f(12-21)+f(212-k)<0恒成立，即f(12-21)<-f(212-k)=f(-212+k)也就是：12-21>-212+k對任意的teR都成立.變量分離，得k<3t2-21對任意的teR都成立，3t2-21=3(t-3"-3，當(dāng)t=3時有最小值為一;1一，一一I’ 1「.k<-3,即k的范圍是(-?,-3).【點睛】本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，研究了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，并且用之解關(guān)于x的不等式，考查了基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題..已知函數(shù)f(x)=2x2-1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明；(3)解不等式f(x)>4.【答案】(1)R;(2)詳見解析；(3){x|x>石或x<-△}.【解析】【分析】(1)由指數(shù)函數(shù)的定義域可得解;(2)由f(-x)=f(x)可知函數(shù)為偶函數(shù)；(3)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知2x2-1>4=22，得x2-1>2，從而得解.【詳解】(1)易知函數(shù)f(x)=2x2-1,xeR.所以定義域為R.(2)由f(-x)=2(-x)2-i=2x2-i=f(x)，從而知f(x)為偶函數(shù)；(3)由條件得2x2-i>4=22，得x2-1>2，解得x><3或x<-x5.所以不等式的解集為：{xIx>v3或x<f：3}.【點睛】本題主要考查了指數(shù)型函數(shù)的定義域，奇偶性及解指數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題.已知f(x)定義域為R，對任意x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,當(dāng)x>0時，f(x)<1,f(1)=0.(1)求f(-1);(2)試判斷f(x)在r上的單調(diào)性，并證明；(3)解不等式:f(2x2-3x-2)+2f(x)>4.【答案】(1)f(-1)=2(2)f(x)在r上單調(diào)遞減，證明見解析；(3)|xI-2<x<1>【解析】【分析】(1)令x=y=0，得f(0)=1,令x=1,y=-1，得f(0)=f(1)+f(-1)-1,即可求解f(-1)的值；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)為R上單調(diào)遞減函數(shù)，得到結(jié)論.(3)令y=x，得2f(x)=f(2x)+1,進(jìn)而化簡得f(2x2-x-2)>2，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式2x2-x-2<-1，即可求解.【詳解】(1)由題意，令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)-1,解得f(0)=1令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-1,所以f(-1)=2.(2)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，證明如下：任取x1，x2eR,且x1<x2，可得f(x)-f(x)=f(x)-f(x-x+x)=f(x)-[f(x-x)+f(x)-1]=1-f(x2-x),因為x2—x1>0，所以f(x2—x1)<1,所以f(x)—f(x2)〉0即f(x)>f(x)，所以f(x)在R上單調(diào)遞減.1 2(3)令y=x,得f(2x)=f(x)+f(x)-1,口2f(x)=f(2x)+1口f(2x2—3x-2)+2f(x)=f(2x2—3x-2)+f(2x)+1=f(2x2—3x-2+2x)+2>4fQx2-x—2)>2,又f(x)在R上的單調(diào)且f(-1)=2fQx2—x-2)>f(—1),□2x2-x-2<-1.即不等式解集為｛xl-2<x<1>.【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的求值問題，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定與應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用抽象函數(shù)的賦值法求值，以及熟記函數(shù)的單調(diào)性的定義證明及應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題7.已知f(%)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)％>0時,f(x)=1-3x.(1)求函數(shù)f(%)的解析式;(2)當(dāng)％e[2,8]時，不等式f(log2%)+f(5-alog%)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2 2…、、 /\ 1-3%,%>0【答案】(1)f(%)=| °c(2)a>6、-1+3-%,%<0【解析】【詳解】試題分析：(1)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可求得當(dāng)%<0時的解析式，寫成分段函數(shù)的形式可得f(%)的解析式.(2)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可將原不等式化為fGog2%)>f(a10g2%-5),再根據(jù)單調(diào)性可得10g2%-a1og2%+5<0對%e[2,81恒成立，利用換元法求解，即令t=1og2%,%e5,8],則tJ,3],可得12-at+5<0對te11,3]恒成立，由函數(shù)的最大值小于等于0可得結(jié)果.試題解析：(1)當(dāng)%<0時，則-%>0,□f(-%)=1-3-%,□f(%)是奇函數(shù)，口f(%)=-f(%)=-1+3-%.又當(dāng)%;0時，f(0)二0,□f(%)二｛-1：：：：。(2)由fGog2%)+f(5-alog%)>(2)可得fGog2%)>—f(5—a10g2%).口f(%)是奇函數(shù)，口于(og2%)>f(alog%—5).又f(%)是減函數(shù)，所以log2%—a1og2%+5<0對%g[2,8]恒成立.令t=10g2%,%G5,81，則tgI1,3],口12—at+5<0對tel1,3]恒成立.令g(t)=12—at+5, tg[1,3],(1(1)=6—a<0(3)=14—3a<0'解得a>6.□實數(shù)a的取值范圍為瓜+8).一... 2%+1.已知函數(shù)于+D=不(1)求<2),fx)；(2)證明：函數(shù)fx)在［1,17］上為增函數(shù);(3)試求函數(shù)fx)在［1,17］上的最大值和最小值._..一 2%-1【答案】⑴館=Lf(%)=T+T(2)見解析.⑶當(dāng)I時,九x)有最小值2；當(dāng)x=17時，fx)有最大值段.【解析】【分析】(1)令％=1,即可求得f(2)，運用換元法，令t=%+1,則%=t-1,代入即可求得函數(shù)的解析式(2)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可(3)利用(2)的結(jié)論，即可求得最值【詳解】(1)令x=1,則<2)=<1+1)=1.令t=x+1,則x=t—1,2E—1 2a—1所以及t)=..1,即fx)=.11(2)證明：任取1<%4x2<17,12#l1I因為fX])—fx2)=,門一.，口― 3_(用一般) =.I.■■. .,又1<x1<x2，所以x1—x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,所以「「「；<。，即fxj〈f功所以函數(shù)fX)在[1,17]上為增函數(shù).(3)由(2)可知函數(shù)fx)在[1,17]上為增函數(shù)，I所以當(dāng)x=1時，fx)有最小值I；當(dāng)x=17時，fx)有最大值「.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的性質(zhì)及運算，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題，在運用定義法證明單調(diào)性時分五個步驟：一設(shè)，二作差，三化簡，四定號，五結(jié)論..已知f(%)=4x-1-2x+5,%e[—2,2].(1)求f(x)的值域.(2)若f(x)>3m2+am+2對任意ae[-1,1]和xe[-2,2]都成立，求m的取值范圍.2 2【答案】(1)[4,5]; (2)-3<m<—.【解析】【分析】(1)利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)t的取值范圍求得函數(shù)f(x)的值域.(2)根據(jù)恒成立條件，得到關(guān)于m的二次函數(shù)表達(dá)式；利用變換主元法看成關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求得m的取值范圍.【詳解】(1)令2x=txe[-2,2]原函數(shù)變?yōu)椋篻(t)=t2-1+5=(t-2)2+44 444:g(t)e[4,5]:?f(x)的值域為[4,5].(2)3m2+am+2<f(x)=4即3m2+am-2<0對于任意ae[-1,1]恒成立」.令h(a)=3m2+am_2,ag[-1,1],h(a)圖象為線段，Jh(-1)<0]3m2+m_2<0人[h(1)<0 [3m2一m-2<0,2 2解得一-<m<-.【點睛】本題考查了換元法及變換主元法在函數(shù)最值和取值范圍中的綜合應(yīng)用，注意換元后的取值范圍，屬于中檔題..(1)已知函數(shù)f(x)的定義域是[1,5],求函數(shù)f(x2+1)的定義域.(2)已知函數(shù)f(2x2—1)的定義域是[1,5],求f(x)的定義域.【答案】(1)[-2,2]；(2)[1,49].【解析】【詳解】試題分析：(1)由f(x)的定義域是[1,5]得函數(shù)f(x2+1)有1Wx2+1W5,解出即為定義域；(2)函數(shù)f(2x2-1)的定義域是[1,5],有x在[1,5]求出2x2-1的范圍即為f(x)的定義域.試題解析：(1)由f(x)定義域為[1,5],知f(x2+1)中需14x2+1w5,解得一2WxW2.口f(x2+1)的定義域為[-2,2].⑵由f(2x2-1)定義域為[1,5],得1<x2<25,122x2—1*9,故f(x)定義域為[1,49].點睛：求解定義域問題即為求解函數(shù)中自變量％的取值集合，對于復(fù)合函數(shù)依然如此，對于函數(shù)f(g(x))和f(h(x))而言，求解定義域依舊是各自函數(shù)中x的取值集合，特別注意兩函數(shù)中g(shù)(x)和h(x)的范圍一樣，即可以根據(jù)一個函數(shù)的定義域求解括號中整體的范圍，再去求解另一個函數(shù)的定義域即可.設(shè)函數(shù)f(x)=k.2x-2-x是定義R上的奇函數(shù).(1)求k的值；(2)若不等式f(x)>a.2x-1有解，求實數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)g(x)=4x+4-x-4f(x)，求g(x)在U+8)上的最小值，并指出取得最小值時的x的值.【答案】(1)1；(2)a<5；(3)最小值為-2，此時x=10g2(1+<2).【解析】(1)根據(jù)題意可得f(0)=0，即可求得k值，經(jīng)檢驗，符合題意；(1、2(1、一一 一 (2)f(x)>a.2x-1有解，等價為a<-丁+丁+1 ，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可求得答案；V2x/V2x)max

(3)由題意g(%)=4x+4--4(2x-2-J,令t=2x—2-、，可得t的范圍，整理可得g(x)=h(t)=12-41+2,t>3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】(1)因為f(X)=k.2x-2-x是定義域為R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，所以k-1=0，解得k=1，所以f(x)=2x-2-x，當(dāng)k=1時，f(-x)=2-x-2x=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故k=1；(1A-一+一+(1A-一+一+1有解，12x)(2)f(x)>a-2x-1有解，所以a<-一12x(1￥(1A所以只需a<--+-+1_k2x7k2x7_一、，(一、，(1A2因為—-k2x7(x=1時，等號成立)，(3)因為g(x)=4x+4-x-4f(x)，所以g(x)=4x+4-x-4(2x-2-x)，可令t=2x-2-x，可得函數(shù)t在L,+8)遞增，即t>3，3則12=4x+4-x-2，可得函數(shù)g(x)=h(t)=t2—41+2，t>5，由h(t)為開口向上，對稱軸為t=2>3的拋物線，所以t=2時，h(t)取得最小值-2，此時2=2x-2-x，解得x=10gJ1+V2)，所以g(x)在限+s)上的最小值為-2，此時x=1og2(1+①.【點睛】解題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，處理存在性問題時，若a<m(x)，只需a<m(x)皿、，若a>m(x)，只需a>m(x).，處理恒成立問題時，若a<m(x)，只需a<m(x).，若a>m(x)，只需a>m(x)，考查分析理解，計算化簡的能力屬中檔題.12.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，口求。的取值范圍；□若對任意實數(shù)mf(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)f(x)=\【解析】【詳解】(1)當(dāng)x<0時，-x>0，又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)=一f(-x)=-(-x2一2x)=x2一2x(2)□當(dāng)a<0時，對稱軸x=^<0，所以f(x)=-x2+ax在［0,+s)上單調(diào)遞減，由于奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，又在(-8,0)上f(x)>0，在(0,+8)上f(x)<0，所以當(dāng)a<0時，f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)當(dāng)a>0時，f(x)在［0,父上遞增，在fa,+81上遞減，不合題意I27 12 7所以函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù)時，a的范圍為a<0…口因為f(m-1)+f(m2+1)<0，口f(m-1)<-f(m2+1)所以f(x)是奇函數(shù)，口f(m-1)<f(-1-m2)又因為f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以m-1>-1-m2恒成立，一.. 1 5，一,、、 5所以t>-m2-m+1=-(m+—)2+—恒成立，所以t>-2 4 413.已知幕函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)xm-1為偶函數(shù).(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)-ax-3在11,3］上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)f(x)=x2;(2)ae(2,6).【解析】【詳解】試題分析：(1)根據(jù)幕函數(shù)的定義求出m的值，再根據(jù)偶函數(shù)的定義求出f(x)的解析式;

(2)若函數(shù)g(%)=f(Q-4%-3在限31上不是單調(diào)函數(shù)，對稱軸在區(qū)間內(nèi)，即可求出實數(shù)a的取值范圍.解析：(1)由m2一5m+7=1nm2一5m+6=0nm=2或m=3又f(%)為偶函數(shù)，則：m=3此時：f(%)=%2.(2)式%)=f(%)-a%-3在限31上不是單調(diào)函數(shù)，則g(%)的對稱軸%=2滿足1<a<3n2<a<6即：ae(2,6).214已知14已知于(，)=++的定義域為集合A,集合B={%I-a<%<2a-6}.(1)求集合A；(2)若A旦B,求實數(shù)a的取值范圍.一— 一一一 (9 、【答案】(1)A={%I-2<%<3};(2)-,+^V2 /【解析】【分析】(1)求定義域注意：根號下被開方數(shù)大于等于0，分式的分母不為0；(2)由A三B，分別考慮-a與a區(qū)間左端點的大小關(guān)系、2a-6與A區(qū)間右端點的大小關(guān)系，不熟練的情況下，可畫數(shù)軸去比較大小.【詳解】1313-%>0⑴由已知得L+2〉0即-2<%<3口A={%I-2<%<3}口AcB□廠a<2 解得a>9TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"[2a-6>3 2 一(9 、口a的取值范圍亍+8.V2 /【點睛】(1)子集關(guān)系中包含了相等關(guān)系，這一點考慮問題的時候需要注意；(2)兩個集合滿足某種關(guān)系，當(dāng)需要考慮到端點處取等號的情況，若不確定，可利用數(shù)軸直觀進(jìn)行分析(數(shù)形結(jié)合).15.函數(shù)f(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)%>0時，f(%)=%2-%+1.(1)計算f(0),f(-1)；(2)當(dāng)%<0時，求f(%)的解析式.【答案】(1求0)=0<-1)=-1;(2)f(%)=-%2-%-1【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，得到<-X戶fX)，進(jìn)而得到<0),同時利用對稱性得到<-1)的值.(2)令％<0則-％〉0,則f(—x)=x2+x+1,結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論.【詳解】f(0)=-f(0)nf(0)=0,f(-1)=-f⑴=-(12-1+1)=-1(2)令x<0則-x〉0,則f(-x)=x2+x+1,又函數(shù)fx)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x)所以f(x)=-x2-x-1【點睛】本題主要是考查函數(shù)奇偶性和函數(shù)的解析式的運用.解決該試題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)的對稱性得到X<0的解析式，進(jìn)而分析得到特殊的函數(shù)值.屬于基礎(chǔ)題..某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族8中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當(dāng)S中x%(0<x<100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為[30,0<x<30f(x)=L 1800 (單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上2x+ 90,30<x<100、x述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達(dá)式；討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實際意義.【答案】(1)xe(45,100)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間;(2)見解析.【解析】【分析】(1)由題意知求出f(x)>40時x的取值范圍即可；(2)分段求出g(x)的解析式，判斷g(x)的單調(diào)性，再說明其實際意義.【詳解】(1)由題意知，當(dāng)30<x<100時，f(x)=2x+1800-90>40,x即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,□xe(45,100)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；(2)當(dāng)0<x<30時，

g(%)=30?%%+40(1-x%)=40——；10當(dāng)30<%<100時，竺%+58；10g(x)/2%+180-901.%%+40(1-%%)竺%+58；10I% ) 50口g口g(%)=]40-—10當(dāng)0<%<32,5時，g(%)單調(diào)遞減;當(dāng)32,5<%<100時，g(%)單調(diào)遞增;說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞減的；有大于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)為32.5%時，人均通勤時間最少.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與分析問題、解決問題的能力..已知函數(shù)f(%)=lg(%+2)-lg(2-%).(1)求f(%)的定義域； (2)判斷f(%)的奇偶性并予以證明；(3)求不等式f(%)>1的解集.【答案】(1)(-2,2).(2)見解析;(3)[18,2'.111)【解析】【詳解】試題分析：(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，列出關(guān)于自變量X的不等式組，求出f(%)的定義域；(2)由函數(shù)奇偶性的定義，判定f(%)在定義域上的奇偶性；(3)化簡f(%),根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及定義域求出不等式f(%)>1的解集.Q%+2>0有意義.則｛。 22-%>0解得-2<%<2.故所求函數(shù)f(%)的定義域為(-2,2).(2)由(1)知f(%)的定義域為(-2,2)，設(shè)v%式-2,2)，則-%式-2,2).且f(-%)=lg(-%+2)-lg(2+%)=-f(%),故f(%)為奇函數(shù).(3)因為f(%)在定義域(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)，因為"%)>1,所以詈>10，解得%>18.2-% 11/、 (18A所以不等式f(%)>1的解集是-，2.111)18.(1)已知y=f(x)的定義域為[0,1]，求函數(shù)y=f(x2+1)的定義域；(2)已知y=f(2x-1)的定義域為[0,1],求y=f(x)的定義域；(3)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,2],求函數(shù)g(x)=辱?的定義域.2x-1【答案】(1){0}；(2)[-1,1]；(3)[0,|)u(2,1].【解析】【分析】利用抽象函數(shù)的定義域求解.【詳解】(1)口y=f(x2+1)中的x2+1的范圍與y=f(x)中的x的取值范圍相同.口0<x2+1<1,x=0,即y=f(x2+1)的定義域為{0}.(2)由題意知y=f(2x-1)中的xe[0,1],-1<2x-1<1.又y=f(2x-1)中2x-1的取值范圍與y=f(x)中的x的取值范圍相同，y=f(x)的定義域為[-1,1].□函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,2],由2xe[0,2],得0<x<1,□y=f(2x)的定義域為[0,1].又2x-1豐0，即xwL2□函數(shù)y=g(x)的定義域為[0,1)u(1,1]..設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+4x+b.(1)當(dāng)b=2時，若對于xel1,21有f(x)>0恒成立，求a的取值范