隨機(jī)變量的數(shù)字特征

隨機(jī)變量的數(shù)字特征第1頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問該射手在一次射擊中平均命中的環(huán)數(shù)是多少?它是X的可能取值與對(duì)應(yīng)概率乘積之和.引例1：已知某射手在每次射擊中命中的環(huán)數(shù)X服從分布：從而,在一次射擊中平均命中的環(huán)數(shù)為:X0

12…10P

解:假定該射手進(jìn)行了N次射擊,則約有次命中0環(huán),次命中1環(huán),…,次命中10環(huán).因此,N次射擊中命中的總環(huán)數(shù)為:第2頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

甲的所得X是一個(gè)可能取值為0或100

的隨機(jī)變量，其分布列為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.引例2：分賭本問題。三局中兩勝一負(fù)。因?yàn)樵儋€兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙第3頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義1

設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或該分布的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值.則稱若若不收斂,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.第4頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注:(1)數(shù)學(xué)期望本質(zhì)上為加權(quán)平均,權(quán)就是取值的概率.(2)數(shù)學(xué)期望刻劃了隨機(jī)變量取值的平均位置.(4)當(dāng)X取值只有有限多個(gè)時(shí),一定存在.(3)是一個(gè)確定的量(常數(shù)),不受在級(jí)數(shù)中的排列次序而改變,這在數(shù)學(xué)上就要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第5頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三惠更斯是一個(gè)有多方面成就的、在當(dāng)時(shí)聲名與牛頓相當(dāng)?shù)拇罂茖W(xué)家。他的貢獻(xiàn)之一是單擺周期公式。他在概率論的早期發(fā)展史上也占有重要地位，其主要著作《機(jī)遇的規(guī)律》出版于1657年，出版后得到學(xué)術(shù)界的高度重視，在歐洲作為概率論的標(biāo)準(zhǔn)教本長(zhǎng)達(dá)50年之久。該著作的寫作方式不大像一本書，而更像一篇論文。他從關(guān)于公平賭博(fairgame)的值的一條公理出發(fā)，推出關(guān)于“期望”（這是他首先引進(jìn)的術(shù)語(yǔ)）的3條定理。

惠更斯的《機(jī)遇的規(guī)律》第6頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三命題1若某人在賭博中以1/2等概率得a、b元，則其期望為(a+b)/2元。命題2若某人在賭博中以1/3等概率得a、b和c元，則其期望為(a+b+c)/3元。命題3若某人在賭博中以概率p,q(p+q=1)得a、b元，則其期望為pa+qb元。

這幾個(gè)命題是期望概念的一般化。

第7頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí):

假設(shè)有10只同種電器元件,其中有兩只不合格品.裝配儀器時(shí),從這批元件中任取一只,如是不合格品,則扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,則扔掉再取一只,試求在取到合格品之前,已取出的不合格品只數(shù)的數(shù)學(xué)期望.第8頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1:

設(shè)隨機(jī)變量X具有如下的分布，求E(X).解

雖然有收斂,但發(fā)散,因此E(X)不存在.第9頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),

若積分絕對(duì)收斂，則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為：第10頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解:X的密度函數(shù)為例2:設(shè)X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,求.第11頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解:柯西分布的密度函數(shù)為例3:柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.由于故不存在.第12頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí):某廠推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時(shí)間T是一個(gè)隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為試求平均維修時(shí)間.第13頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.2.3

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理1

設(shè)Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則第14頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4:

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4第15頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5:

某公司經(jīng)銷某種原料，根據(jù)歷史資料表明：這種原料的市場(chǎng)需求量X（單位：噸）服從(300,500)上的均勻分布。每售出1噸該原料，公司可獲利1.5(千元)；若積壓1噸，則公司損失0.5(千元)。問公司應(yīng)該組織多少貨源，可使平均收益最大？解:設(shè)公司組織該貨源a噸，又記Y為在a噸貨源的條件下的收益額，則收益額Y為需求量X的函數(shù)。第16頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))第17頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6：設(shè)X~

求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.第18頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§2

隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差問題的提出：

我們已經(jīng)知道,期望反映了隨機(jī)變量取值的平均位置,在許多問題中,只要知道這個(gè)平均值就可以了.但是,期望僅僅反映了隨機(jī)變量的一個(gè)側(cè)面,有一定的局限性,在某些場(chǎng)合,僅僅知道期望是不夠的.第19頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三引例:

甲乙兩射手，他們每次射擊命中的環(huán)數(shù)分別用Ｘ，Ｙ表示，其分布列為X８９10P0.20.60.2X８９10P0.10.80.1試比較兩人技術(shù)的高低.易見,EX=EY=9(環(huán)數(shù)),即平均命中環(huán)數(shù)相等.但兩人技術(shù)水平不一樣,因?yàn)橐业纳鋼艏夹g(shù)比甲穩(wěn)定些(更集中于平均值的附近).這說明只依據(jù)期望還不能很好地反映出射手的技術(shù).因此,應(yīng)當(dāng)引進(jìn)一個(gè)數(shù)量指標(biāo),用它來衡量隨機(jī)變量離開它的期望值的偏離程度.第20頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三想法:

(1)偏差的平均值,即X與EX的偏差X-EX的平均值:E(X-EX).不行.因?yàn)槠钣姓胸?fù),在總和中出現(xiàn)正負(fù)抵消.由于,故乙的射擊技術(shù)比甲更穩(wěn)定些,即乙的射擊技術(shù)優(yōu)于甲.(2)離差:不行.雖然能克服正負(fù)偏差相互抵消的缺點(diǎn),但絕對(duì)值在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有許多不便之處.(3)X與EX的離差的平方的平均值:第21頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義1

若

E(XE(X))2存在，則稱偏差平方的數(shù)學(xué)期望E(XE(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(XE(X))2第22頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注意點(diǎn)(2)稱X

=

(X)=(1)方差反映了隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度.或隨機(jī)變量取值的分散程度.方差越大,則隨機(jī)變量的取值越分散(遠(yuǎn)離EX);方差越小,X的取值越集中(密集在EX的附近).為X的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機(jī)變量的量綱相同.(3)Var(x)存在E(x)存在,反之未必。即存在E(x)存在.第23頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例1設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為p(x),求D(X).

解:于是,D(X)=E(X2)=1/6第24頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2設(shè)X為擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),試求Var(X).解:第25頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例3設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為p(x),求D(X).

解:于是,D(X)=E(X2)=1/2第26頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第27頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例4某人有一筆資金，可投入兩個(gè)項(xiàng)目：房產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)．若把未來市場(chǎng)劃分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別為０.2,0.7,0.1.通過調(diào)查,該投資者認(rèn)為投資于房產(chǎn)的收益X(萬元)和投資于商業(yè)的收益Y(萬元)的分布分別為

問:該投資者如何投資為好?解:E(X)=4.0,E(Y)=3.9

D(X)=15.4,D(Y)=3.29(風(fēng)險(xiǎn))P0.20.70.1P0.20.70.1X113-3X64-1第28頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.3.2

方差的性質(zhì)性質(zhì)1:Var(c)=0.性質(zhì)2:Var(aX+b)=a2Var(X).性質(zhì)3:E(X)=0,Var(x)=0第29頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三兩點(diǎn)分布貝努利試驗(yàn)：試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：和兩點(diǎn)分布:設(shè)隨機(jī)變量X表示進(jìn)行一次貝努利試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，且P{X=1}=pP(X=0)=(1-p),(0<p<1)則稱X服從兩點(diǎn)分布(0-1分布),記為其中為參數(shù)。第30頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三兩點(diǎn)分布的期望與方差:兩點(diǎn)分布的分布列可以寫成：X01P

第31頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二項(xiàng)分布其中0<p<1,q=1-p

定義：設(shè)X為n重伯努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),且，則X的分布列為這種分布稱為二項(xiàng)分布，記為其中為參數(shù)。第32頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

二項(xiàng)分布的期望與方差：第33頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第34頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義：若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X～P()，其中（>0）參數(shù)。泊松分布第35頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

泊松分布的期望與方差：第36頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總結(jié)：（１）常用離散分布的數(shù)學(xué)期望

0-1分布的數(shù)學(xué)期望=p

二項(xiàng)分布b(n,p)的數(shù)學(xué)期望=np

泊松分布P()的數(shù)學(xué)期望=第37頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總結(jié)：（２）常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1p)

二項(xiàng)分布b(n,p)的方差=np(1p)

泊松分布P()的方差=

第38頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2008年數(shù)學(xué)一填空（14）：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則=_____.

第39頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三均勻分布定義：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為記為X~U(a,b)則稱X服從區(qū)間［a,b］上的均勻分布,第40頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三均勻分布的期望和方差：E(X)=(a+b)/2;Var(X)=(b-a)2/12.第41頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三指數(shù)分布則稱X服從指數(shù)分布，記為X～Exp(),其中>0.定義：若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為第42頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：第43頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則稱X服從正態(tài)分布，記為X~N(,2),其中>0，是任意實(shí)數(shù).是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).正態(tài)分布定義：若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為第44頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第45頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差：

設(shè)，則第46頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總結(jié)：（１）常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望

均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指數(shù)分布Exp():E(X)=1/

正態(tài)分布N(,2):E(X)=第47頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總結(jié)：（２）常用連續(xù)分布的方差

均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指數(shù)分布Exp()的方差=1/2

正態(tài)分布N(,2)的方差=2第48頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三血液檢查中的經(jīng)濟(jì)學(xué)第二次世界大戰(zhàn)期間，必須招募很多人到軍隊(duì)，要檢查申請(qǐng)者中某種罕見的疾病需要對(duì)每一個(gè)人進(jìn)行血液檢查，這無疑是一項(xiàng)巨大的工作。盡管被淘汰的比率很低，但這個(gè)檢驗(yàn)是決定一個(gè)人是否能參軍的關(guān)鍵。如何保證“有問題的”會(huì)被淘汰掉，同時(shí)又減少檢驗(yàn)次數(shù)呢？

混合樣本監(jiān)測(cè)的方法現(xiàn)已廣泛實(shí)踐于環(huán)境保護(hù)研究和其他領(lǐng)域，用于削減實(shí)驗(yàn)檢測(cè)費(fèi)用。第49頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用X表示該人群中每個(gè)人需要的驗(yàn)血次數(shù)，則

X

P

第50頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§3

分布的其它特征數(shù)重點(diǎn)：矩、分位數(shù)的概念.難點(diǎn)：分位數(shù).第51頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

k

階矩

k階原點(diǎn)矩：k

=E(Xk)，k=1,2,….

注意:

1=E(X).

k階中心矩：k

=E[XE(X)]k，k=1,2,….

注意:

2=Var(X).

定義1：第52頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變異系數(shù)定義2

設(shè)隨機(jī)變量X的二階矩存在，

為X的變異系數(shù).作用：則稱CV是無量綱的量,用于比較量綱不同的兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小.第53頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

分位數(shù)P(Xxp)=F(xp)=p定義2.7.3

設(shè)0<p<1，若xp滿足則稱xp

為此分布的p-分位數(shù)，亦稱xp

為下側(cè)

p-分位數(shù).第54頁(yè)，共60頁(yè)，2023年，2