隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量的數(shù)字特征第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三問該射手在一次射擊中平均命中的環(huán)數(shù)是多少?它是X的可能取值與對應概率乘積之和.引例1：已知某射手在每次射擊中命中的環(huán)數(shù)X服從分布：從而,在一次射擊中平均命中的環(huán)數(shù)為:X0

12…10P

解:假定該射手進行了N次射擊,則約有次命中0環(huán),次命中1環(huán),…,次命中10環(huán).因此,N次射擊中命中的總環(huán)數(shù)為:第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

甲的所得X是一個可能取值為0或100

的隨機變量，其分布列為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.引例2：分賭本問題。三局中兩勝一負。因為再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三定義1

設離散隨機變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...為隨機變量X的數(shù)學期望，或該分布的數(shù)學期望,簡稱期望或均值.則稱若若不收斂,則稱X的數(shù)學期望不存在.第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三注:(1)數(shù)學期望本質上為加權平均,權就是取值的概率.(2)數(shù)學期望刻劃了隨機變量取值的平均位置.(4)當X取值只有有限多個時,一定存在.(3)是一個確定的量(常數(shù)),不受在級數(shù)中的排列次序而改變,這在數(shù)學上就要求級數(shù)絕對收斂.第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三惠更斯是一個有多方面成就的、在當時聲名與牛頓相當?shù)拇罂茖W家。他的貢獻之一是單擺周期公式。他在概率論的早期發(fā)展史上也占有重要地位，其主要著作《機遇的規(guī)律》出版于1657年，出版后得到學術界的高度重視，在歐洲作為概率論的標準教本長達50年之久。該著作的寫作方式不大像一本書，而更像一篇論文。他從關于公平賭博(fairgame)的值的一條公理出發(fā)，推出關于“期望”（這是他首先引進的術語）的3條定理。

惠更斯的《機遇的規(guī)律》第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三命題1若某人在賭博中以1/2等概率得a、b元，則其期望為(a+b)/2元。命題2若某人在賭博中以1/3等概率得a、b和c元，則其期望為(a+b+c)/3元。命題3若某人在賭博中以概率p,q(p+q=1)得a、b元，則其期望為pa+qb元。

這幾個命題是期望概念的一般化。

第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三練習:

假設有10只同種電器元件,其中有兩只不合格品.裝配儀器時,從這批元件中任取一只,如是不合格品,則扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,則扔掉再取一只,試求在取到合格品之前,已取出的不合格品只數(shù)的數(shù)學期望.第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三例1:

設隨機變量X具有如下的分布，求E(X).解

雖然有收斂,但發(fā)散,因此E(X)不存在.第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望定義2

設連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x),

若積分絕對收斂，則稱該積分為X的數(shù)學期望，記為：第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三解:X的密度函數(shù)為例2:設X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,求.第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三解:柯西分布的密度函數(shù)為例3:柯西分布的數(shù)學期望不存在.由于故不存在.第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三練習:某廠推土機發(fā)生故障后的維修時間T是一個隨機變量,其密度函數(shù)為試求平均維修時間.第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3

數(shù)學期望的性質定理1

設Y=g(X)是隨機變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三例4:

設隨機變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三例5:

某公司經銷某種原料，根據(jù)歷史資料表明：這種原料的市場需求量X（單位：噸）服從(300,500)上的均勻分布。每售出1噸該原料，公司可獲利1.5(千元)；若積壓1噸，則公司損失0.5(千元)。問公司應該組織多少貨源，可使平均收益最大？解:設公司組織該貨源a噸，又記Y為在a噸貨源的條件下的收益額，則收益額Y為需求量X的函數(shù)。第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)學期望的性質(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三例6：設X~

求下列X的函數(shù)的數(shù)學期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三§2

隨機變量的方差與標準差問題的提出：

我們已經知道,期望反映了隨機變量取值的平均位置,在許多問題中,只要知道這個平均值就可以了.但是,期望僅僅反映了隨機變量的一個側面,有一定的局限性,在某些場合,僅僅知道期望是不夠的.第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三引例:

甲乙兩射手，他們每次射擊命中的環(huán)數(shù)分別用Ｘ，Ｙ表示，其分布列為X８９10P0.20.60.2X８９10P0.10.80.1試比較兩人技術的高低.易見,EX=EY=9(環(huán)數(shù)),即平均命中環(huán)數(shù)相等.但兩人技術水平不一樣,因為乙的射擊技術比甲穩(wěn)定些(更集中于平均值的附近).這說明只依據(jù)期望還不能很好地反映出射手的技術.因此,應當引進一個數(shù)量指標,用它來衡量隨機變量離開它的期望值的偏離程度.第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三想法:

(1)偏差的平均值,即X與EX的偏差X-EX的平均值:E(X-EX).不行.因為偏差有正有負,在總和中出現(xiàn)正負抵消.由于,故乙的射擊技術比甲更穩(wěn)定些,即乙的射擊技術優(yōu)于甲.(2)離差:不行.雖然能克服正負偏差相互抵消的缺點,但絕對值在數(shù)學運算中有許多不便之處.(3)X與EX的離差的平方的平均值:第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三定義1

若

E(XE(X))2存在，則稱偏差平方的數(shù)學期望E(XE(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(XE(X))2第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三注意點(2)稱X

=

(X)=(1)方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.或隨機變量取值的分散程度.方差越大,則隨機變量的取值越分散(遠離EX);方差越小,X的取值越集中(密集在EX的附近).為X的標準差.標準差的量綱與隨機變量的量綱相同.(3)Var(x)存在E(x)存在,反之未必。即存在E(x)存在.第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

例1設隨機變量X概率密度為p(x),求D(X).

解:于是,D(X)=E(X2)=1/6第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三例2設X為擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù),試求Var(X).解:第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

例3設隨機變量X概率密度為p(x),求D(X).

解:于是,D(X)=E(X2)=1/2第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

例4某人有一筆資金，可投入兩個項目：房產和商業(yè)，其收益都與市場狀態(tài)有關．若把未來市場劃分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別為０.2,0.7,0.1.通過調查,該投資者認為投資于房產的收益X(萬元)和投資于商業(yè)的收益Y(萬元)的分布分別為

問:該投資者如何投資為好?解:E(X)=4.0,E(Y)=3.9

D(X)=15.4,D(Y)=3.29(風險)P0.20.70.1P0.20.70.1X113-3X64-1第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三2.3.2

方差的性質性質1:Var(c)=0.性質2:Var(aX+b)=a2Var(X).性質3:E(X)=0,Var(x)=0第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三兩點分布貝努利試驗：試驗只有兩種結果：和兩點分布:設隨機變量X表示進行一次貝努利試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，且P{X=1}=pP(X=0)=(1-p),(0<p<1)則稱X服從兩點分布(0-1分布),記為其中為參數(shù)。第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三兩點分布的期望與方差:兩點分布的分布列可以寫成：X01P

第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三二項分布其中0<p<1,q=1-p

定義：設X為n重伯努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),且，則X的分布列為這種分布稱為二項分布，記為其中為參數(shù)。第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

二項分布的期望與方差：第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三定義：若隨機變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X～P()，其中（>0）參數(shù)。泊松分布第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

泊松分布的期望與方差：第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三總結：（１）常用離散分布的數(shù)學期望

0-1分布的數(shù)學期望=p

二項分布b(n,p)的數(shù)學期望=np

泊松分布P()的數(shù)學期望=第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三總結：（２）常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1p)

二項分布b(n,p)的方差=np(1p)

泊松分布P()的方差=

第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三2008年數(shù)學一填空（14）：設隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則=_____.

第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三均勻分布定義：設隨機變量X的密度函數(shù)為記為X~U(a,b)則稱X服從區(qū)間［a,b］上的均勻分布,第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三均勻分布的期望和方差：E(X)=(a+b)/2;Var(X)=(b-a)2/12.第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三指數(shù)分布則稱X服從指數(shù)分布，記為X～Exp(),其中>0.定義：若隨機變量X的密度函數(shù)為第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三指數(shù)分布的數(shù)學期望和方差：第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三則稱X服從正態(tài)分布，記為X~N(,2),其中>0，是任意實數(shù).是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).正態(tài)分布定義：若隨機變量X的密度函數(shù)為第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三正態(tài)分布的數(shù)學期望與方差：

設，則第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三總結：（１）常用連續(xù)分布的數(shù)學期望

均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指數(shù)分布Exp():E(X)=1/

正態(tài)分布N(,2):E(X)=第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三總結：（２）常用連續(xù)分布的方差

均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指數(shù)分布Exp()的方差=1/2

正態(tài)分布N(,2)的方差=2第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三血液檢查中的經濟學第二次世界大戰(zhàn)期間，必須招募很多人到軍隊，要檢查申請者中某種罕見的疾病需要對每一個人進行血液檢查，這無疑是一項巨大的工作。盡管被淘汰的比率很低，但這個檢驗是決定一個人是否能參軍的關鍵。如何保證“有問題的”會被淘汰掉，同時又減少檢驗次數(shù)呢？

混合樣本監(jiān)測的方法現(xiàn)已廣泛實踐于環(huán)境保護研究和其他領域，用于削減實驗檢測費用。第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三用X表示該人群中每個人需要的驗血次數(shù)，則

X

P

第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三§3

分布的其它特征數(shù)重點：矩、分位數(shù)的概念.難點：分位數(shù).第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

k

階矩

k階原點矩：k

=E(Xk)，k=1,2,….

注意:

1=E(X).

k階中心矩：k

=E[XE(X)]k，k=1,2,….

注意:

2=Var(X).

定義1：第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三變異系數(shù)定義2

設隨機變量X的二階矩存在，

為X的變異系數(shù).作用：則稱CV是無量綱的量,用于比較量綱不同的兩個隨機變量的波動大小.第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期三

分位數(shù)P(Xxp)=F(xp)=p定義2.7.3

設0<p<1，若xp滿足則稱xp

為此分布的p-分位數(shù)，亦稱xp

為下側

p-分位數(shù).第54頁，共60頁，2023年，2