第2章光波導(dǎo)理論基礎(chǔ)

第2章光波導(dǎo)理論基礎(chǔ)第一頁(yè)，共137頁(yè)。2.5折射率突變波導(dǎo)的基本解

2.6折射率漸變波導(dǎo)的基本解2.7條形波導(dǎo)的基本解2.8圓柱形介質(zhì)光波導(dǎo)的基本解

第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二頁(yè)，共137頁(yè)。2.1光波導(dǎo)種類

按光波導(dǎo)的形狀、折射率分布，可分成不同的種類

2.1.1按形狀分

按形狀可以將光波導(dǎo)分成平面（板）波導(dǎo)、柱形波導(dǎo)和條形波導(dǎo)，而條形光波導(dǎo)又可以分為脊形、鑲?cè)胄魏吐袢胄危鐖D2.1所示。第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三頁(yè)，共137頁(yè)。第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四頁(yè)，共137頁(yè)。2.1.2按折射率分布分

按折射率分布可以將光波導(dǎo)分成折射率突變波導(dǎo)和折射率漸變波導(dǎo)，如圖2.2所示

第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五頁(yè)，共137頁(yè)。1、折射率突變波導(dǎo)：折射率突變波導(dǎo)指光波導(dǎo)各個(gè)區(qū)的光學(xué)性質(zhì)是均勻的，只在各層交界面處發(fā)生光學(xué)性質(zhì)突變。圖2.2a)當(dāng)中，在區(qū)域折射率為，在區(qū)域折射率為2、折射率漸變波導(dǎo)：折射率漸變波導(dǎo)指波導(dǎo)層介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)是逐漸變化的，其折射率分布一般為拋物線形和雙曲線形。圖2.2a)當(dāng)中，在區(qū)域折射率為，在區(qū)域折射率為光波導(dǎo)種類第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六頁(yè)，共137頁(yè)。要點(diǎn)與習(xí)題什么是平面波導(dǎo)？什么是條形波導(dǎo)？什么是柱形波導(dǎo)？什么是突變波導(dǎo)？什么是漸變波導(dǎo)？第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七頁(yè)，共137頁(yè)。第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)2.1光波導(dǎo)種類

2.2光波導(dǎo)的射線光學(xué)理論

2.3古斯-漢欣線移和有效厚度原理

2.4光波導(dǎo)的電磁理論

長(zhǎng)春理工大學(xué)第八頁(yè)，共137頁(yè)。2.2光波導(dǎo)的射線光學(xué)理論利用射線光學(xué)理論對(duì)平面波導(dǎo)進(jìn)行分析，其過(guò)程簡(jiǎn)單直觀，對(duì)某些物理概念能給出直觀的物理意義，容易理解。但是對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多層波導(dǎo)射線光學(xué)理論不便于應(yīng)用，或只能得出粗糙的結(jié)果。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.1平面（板）波導(dǎo)簡(jiǎn)介1、平面（板）波導(dǎo)結(jié)構(gòu)：平板光波導(dǎo)一般為三層結(jié)構(gòu)，即襯底層，導(dǎo)光薄膜層和覆蓋層。如圖2.3所示。2、制作平面（板）波導(dǎo)的基本原則：3、制作平面（板）波導(dǎo)的目的：要在μm量級(jí)介質(zhì)薄膜上完成光的發(fā)射，傳輸，調(diào)制和探測(cè)等功能。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十頁(yè)，共137頁(yè)。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十一頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.2射線光學(xué)模型射線光學(xué)模型就是光線在薄膜-襯底和薄膜-覆蓋層分界面上發(fā)生全內(nèi)反射，沿z字形路徑在薄膜中傳播，如圖2.4所示。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十二頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.3光入射到介質(zhì)界面處的基本定律長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十三頁(yè)，共137頁(yè)。

(2.2-2)

(2.2-3)上面的三個(gè)式子給出了反射波和透射波的傳播方向以及它們與入射波的振幅關(guān)系。

(2.2-1)1、斯涅爾定律（Snell’slaw）。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十四頁(yè)，共137頁(yè)。利用Snell’slaw，可以將上面的四個(gè)表達(dá)式改寫為

(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)(2.2-7)2、菲涅爾公式(Frensnel’sformula)。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十五頁(yè)，共137頁(yè)。對(duì)于TE模，其電場(chǎng)垂直于波陣面法線和分界面法線構(gòu)成的入射面，相當(dāng)于S波；對(duì)于TM模，其電場(chǎng)平行于波陣面法線和分界面法線構(gòu)成的入射面，相當(dāng)于P波。(2.2-8)(2.2-9)(2.2-10)(2.2-11)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十六頁(yè)，共137頁(yè)。3、全反射（Totalreflection）。(2.2-12)和(2.2-13)應(yīng)當(dāng)改寫為(2.2-12)(2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十七頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.4全反射時(shí)的相移由式(2.2-14)和(2.2-15)可知，當(dāng)取復(fù)數(shù)時(shí)，其模值為1，因此，可以表示為：，則在反射時(shí)，TE模和TM模的位相滿足

(2.2-16)(2.2-17)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十八頁(yè)，共137頁(yè)。圖2.6示出了對(duì)入射角的依賴關(guān)系。對(duì)于固定與比值，隨入射角增大而增大。(2.2-18)(2.2-19)若令則長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第十九頁(yè)，共137頁(yè)。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.5平面波導(dǎo)的導(dǎo)模1、波導(dǎo)中的平面波。平面波的表達(dá)式為：

波矢量的標(biāo)量形式由圖2.4可知，若入射角為，則波矢量的x分量和z分量可寫為：

(2.2-20)(2.2-21)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十一頁(yè)，共137頁(yè)。由此，薄膜中的波動(dòng)場(chǎng)空間部分可寫為：

前面的正負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)斜向上和斜向下。如圖2.7所示。(2.2-22)(2.2-23)(2.2-24)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十二頁(yè)，共137頁(yè)。在襯底層和覆蓋層處發(fā)生全反射的臨界角分別滿足當(dāng)時(shí)，則平面光波在襯底和覆蓋層與波導(dǎo)層的交界面處都得不到全反射，而只有部分反射，因此，會(huì)有一部分光將輻射到襯底和覆蓋層里去，稱它們?yōu)檩椛淠Ｊ?，如圖2.7a）所示。此時(shí)又稱為空氣模式。

。

當(dāng)時(shí)，則平面光波在覆蓋層與波導(dǎo)層的交界面處發(fā)生全反射，但在襯底和波導(dǎo)層的交界面處只發(fā)生部分反射，因此，一部分光波將輻射到襯底里去，如圖2.7b）所示。此時(shí)，稱為襯底模式。

長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十三頁(yè)，共137頁(yè)。當(dāng)時(shí)，則平面光波在襯底和覆蓋層與波導(dǎo)層的交界面處都會(huì)全反射，此時(shí)光波被限制在波導(dǎo)層當(dāng)中傳播，如圖2.7c）所示。此時(shí)，稱為導(dǎo)波模式或?qū)бＪ剑?jiǎn)稱導(dǎo)模。

2、模式本征方程。要形成導(dǎo)模，則在波導(dǎo)中傳播的光波必須滿足相干條件，即一個(gè)周期后，相移的總和必須是的整數(shù)倍。因?yàn)楸∧ぶ邢嘁茷椋采w層當(dāng)中的相移為，襯底當(dāng)中的相移為。因此，形成導(dǎo)模的條件為：

(2.2-25)

即(2.2-26)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十四頁(yè)，共137頁(yè)。式(2.2-25)和(2.2-26)稱為模式本征方程。對(duì)于TE模，由式（2.2-18）知在襯底層和覆蓋層因反射而形成的相移滿足(2.2-27)因?yàn)槿袅睿?2.2-28)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十五頁(yè)，共137頁(yè)。則(2.2-27)式可以改寫為因此，襯底層和覆蓋層中相移為

上式代入(2.2-26)式當(dāng)中，得到TE模的模式本征方程(2.2-29)(2.2-30)(2.2-31)同樣可以得到TM模的模式本征方程。(2.2-32)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十六頁(yè)，共137頁(yè)。下面對(duì)TE/TM模的模式本征方程進(jìn)行討論：

2）在式(2.2-31)和(2.2-32)當(dāng)中，在厚度h確定的情況下，平板波導(dǎo)所能維持的導(dǎo)模數(shù)量是有限的，對(duì)于給定的m，就有確定的，由式(2.2-23)可以得到，稱為m階導(dǎo)模的模角，即形成m階導(dǎo)模的入射角，稱為m階導(dǎo)模的傳播常數(shù)。

1）在式(2.2-31)和(2.2-32)當(dāng)中，由于m只能取有限個(gè)正整數(shù)，而，又是的函數(shù)，由此可看出，只有滿足方程(2.2-26)的人射角，才為波導(dǎo)所接受。所以導(dǎo)模對(duì)入射角有選擇性，因此，導(dǎo)模數(shù)量也是有限的。

長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十七頁(yè)，共137頁(yè)。，考慮全反射時(shí)有：3、有效折射率（模折射率）。由于，可知的變化范圍為

即導(dǎo)模的傳播常數(shù)介于平面波在襯底和薄膜的波數(shù)之間。定義有效折射率根據(jù)式(2.2-33)可以知道，有效折射率變化范圍為(2.2-33)(2.2-34)(2.2-35)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十八頁(yè)，共137頁(yè)。利用式(2.2-34)，可將式(2.2-31)和(2.2-32)表示的TE模和TM模的模式本征方程改寫為這些不同形式的平面波導(dǎo)模式本征方程可以用來(lái)研究波導(dǎo)的各種不同性質(zhì)。

(2.2-36)(2.2-37)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第二十九頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.6模式本征方程的圖解對(duì)于平面波導(dǎo)的基模（m=0），由式(2.2-26)得其本征方程變?yōu)閷?duì)于對(duì)稱波導(dǎo)，即，式(2.2-38)又可以寫為

將滿足式(2.2-38)和式(2.2-39)的方程作在同一張圖上，如圖2.8所示。圖2.8表示對(duì)稱和非對(duì)稱波導(dǎo)基模的模式本征方程圖解。圖中畫(huà)出了關(guān)于入射角的兩種相移曲線。(2.2-38)或(2.2-39)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十頁(yè)，共137頁(yè)。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十一頁(yè)，共137頁(yè)。即光在波導(dǎo)層中的橫向穿越相移

(圖中的點(diǎn)線畫(huà)出)和光在襯底層和覆蓋層的全反射相移和。

下面就對(duì)稱波導(dǎo)和非對(duì)稱波導(dǎo)的兩種情況分別加以分析。1）對(duì)于對(duì)稱光波導(dǎo)，點(diǎn)線與實(shí)線交點(diǎn)給出了基模的入射角值，表明，對(duì)稱平面波導(dǎo)的基模是不會(huì)截止的。2）對(duì)于非對(duì)稱光波導(dǎo)，點(diǎn)線與點(diǎn)劃線交點(diǎn)給出基模的入射角值，可以看到，非對(duì)稱平板波導(dǎo)并不總能維持導(dǎo)模，也就是說(shuō)，即使是基模也會(huì)截止。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十二頁(yè)，共137頁(yè)。截止條件

即時(shí)不會(huì)有導(dǎo)模存在。

如果將光波導(dǎo)的歸一化角頻率表示為在導(dǎo)模截止時(shí)，有效折射率

。

(2.2-40)(2.2-41)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十三頁(yè)，共137頁(yè)。光波導(dǎo)的歸一化有效折射率表示為由式(2.2-35)可知，0<n<l。光波導(dǎo)的非對(duì)稱參量表示為a描述波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱性。波導(dǎo)完全對(duì)稱，即時(shí)，a=0；而波導(dǎo)極不對(duì)稱，即時(shí)，a→∞。通過(guò)定義以上歸一化參量，平板波導(dǎo)TE導(dǎo)模的模式本征方程(2.2-36)可改寫成如下形式

(2.2-42)(2.2-43)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十四頁(yè)，共137頁(yè)。而TM模的模式本征方程（2.2-37）可改寫為通過(guò)數(shù)值計(jì)算，TE模的歸一化有效折射率n隨歸一化頻率的變化關(guān)系，被稱為歸一化色散曲線，如圖2.9所示，曲線以a為參數(shù)。由圖可見(jiàn)，在對(duì)稱波導(dǎo)(a=0)情況下，TE0模不會(huì)截止。而非對(duì)稱波導(dǎo)，存在截止頻率。(2.2-44)(2.2-45)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十五頁(yè)，共137頁(yè)。TE模和TM模的色散曲線如圖2.10所示。由圖可以看出，對(duì)于同一個(gè)歸一化頻率，TE模的歸一化有效折射率略大于TM模的歸一化有效折射率。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十六頁(yè)，共137頁(yè)。2.2.7應(yīng)用實(shí)例圖2.11表示ZnS波導(dǎo)的模式方程曲線，圖中每一條曲線表示一個(gè)模式，實(shí)線和虛線分別表示TE模和TM模。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十七頁(yè)，共137頁(yè)。1、從波導(dǎo)層厚度h的任一給定值上畫(huà)一水平線，此水平線與模式曲線的交點(diǎn)給出模折射率N和入射角θi的值?？梢钥吹絤=0的模式具有最大的N和θi，而對(duì)較高模序的模式來(lái)說(shuō)，N和θi的數(shù)值較小。2、隨著波導(dǎo)層厚度h的增加，水平線將向上移動(dòng)，這時(shí)將相交更多的模式曲線，表示波導(dǎo)將容納更多的導(dǎo)模3、所有的模式曲線在左邊始于N=n2，在右邊終于N=n1而且它們是單調(diào)遞增的函數(shù)。因此，模式曲線在N=n2處所對(duì)應(yīng)的薄膜厚度是為了讓該導(dǎo)模在波導(dǎo)中傳播所要求的最小厚度，稱為“截止厚度”。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十八頁(yè)，共137頁(yè)。4、在N=n2處，θi=θSC，這就是薄膜－襯底分界面上的全反射臨界角。當(dāng)θi小于此臨界角時(shí)，所有的導(dǎo)模都截止。5、從圖2.11中同樣可以看出，同一模序數(shù)的TM模的模折射率小于TE模的模折射率。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第三十九頁(yè)，共137頁(yè)。要點(diǎn)與習(xí)題1、平面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)2、制作平面波導(dǎo)的基本原則3、制作平面波導(dǎo)的目的4、射線光學(xué)模型5、全反射時(shí)的相移6、空氣模式7、襯底模式8、導(dǎo)波模式或?qū)бＪ?、模式本征方程10、有效折射率長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十頁(yè)，共137頁(yè)。第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)2.1光波導(dǎo)種類

2.2光波導(dǎo)的射線光學(xué)理論

2.3古斯-漢欣線移和有效厚度原理

2.4光波導(dǎo)的電磁理論

長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十一頁(yè)，共137頁(yè)。2.3古斯-漢欣線移和有效厚度原理

光在光波導(dǎo)中傳輸時(shí)，傳播路徑如圖2.12所示。從圖中可以看出入射點(diǎn)和反射點(diǎn)不再在同一點(diǎn)，而是發(fā)生了一個(gè)位移，該位移稱為古斯－漢欣線移。光也不是在兩種介質(zhì)的交界面處反射，而是存在一個(gè)穿透深度。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十二頁(yè)，共137頁(yè)。2.3.1古斯-漢欣線移古斯-漢欣線移是理想反射點(diǎn)和實(shí)際反射點(diǎn)之間的距離。若全反射時(shí)相移為

，則光束位移對(duì)于TE波，根據(jù)式(2.2-27)可得對(duì)式(2.3-2)微分可得

(2.3-1)(2.3-2)(2.3-3)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十三頁(yè)，共137頁(yè)。因此，得到同理又因?yàn)椋怨鈴牟▽?dǎo)層到覆蓋層產(chǎn)生的橫向位移為=(2.3-4)=(2.3-5)(2.3-6)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十四頁(yè)，共137頁(yè)。光從波導(dǎo)層到襯底層產(chǎn)生的橫向位移為兩條基本的結(jié)論1、由于的存在，表明入射點(diǎn)和反射點(diǎn)不再在同一點(diǎn)，和稱為Goos-Hanchen線移。2、由于的存在，表明波導(dǎo)層以外存在電磁場(chǎng)。即入射波在波導(dǎo)層表面不僅有反射而且有透射。(2.3-7)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十五頁(yè)，共137頁(yè)。2.3.2有效厚度對(duì)于平面波，其從波導(dǎo)層到覆蓋層的透射波分量可寫成式中，是折射角。因?yàn)?/p>

這樣，式(2.3-8)可以改寫為(2.3-8)(2.3-9)(2.3-10)得到長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十六頁(yè)，共137頁(yè)。同理，從波導(dǎo)層到襯底層的透射波分量得到兩條結(jié)論1、透射波為衰減波，在覆蓋層和襯底層的穿透深度分別為和。2、由于存在穿透深度，使波導(dǎo)層具有比h大的有效厚度：。(2.3-11)

(2.3-12)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十七頁(yè)，共137頁(yè)。要點(diǎn)與習(xí)題1、什么是古斯－漢欣線移2、什么是有效厚度3、推導(dǎo)古斯－漢欣線移4、推導(dǎo)有效厚度長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十八頁(yè)，共137頁(yè)。第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)2.1光波導(dǎo)種類

2.2光波導(dǎo)的射線光學(xué)理論

2.3古斯-漢欣線移和有效厚度原理

2.4光波導(dǎo)的電磁理論

長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第四十九頁(yè)，共137頁(yè)。2.4光波導(dǎo)的電磁理論

電磁理論即波動(dòng)光學(xué)理論從電磁場(chǎng)的基本方程出發(fā)，通過(guò)一系列的理論推導(dǎo)和計(jì)算，得到光在光波導(dǎo)中傳播的波動(dòng)方程，從而為光波導(dǎo)中光傳輸模式的討論提供理論基礎(chǔ)。本節(jié)在介紹電磁過(guò)程的基本方程之后，推導(dǎo)平面波導(dǎo)中的波動(dòng)方程，并對(duì)平面波導(dǎo)中可能存在的模式進(jìn)行分析和討論。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十頁(yè)，共137頁(yè)。2.4.1電磁過(guò)程的基本方程

1、麥克斯韋方程組（Maxwell’sequations）。對(duì)于有源場(chǎng)微分形式的麥克斯韋方程為：(2.4-1)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十一頁(yè)，共137頁(yè)。對(duì)于有源場(chǎng)，其邊界條件為：(2.4-2)對(duì)于無(wú)源場(chǎng)微分形式的麥克斯韋方程為：(2.4-3)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十二頁(yè)，共137頁(yè)。對(duì)于無(wú)源場(chǎng)，其邊界條件為：上式表明，在兩種介質(zhì)的分界面上電磁場(chǎng)整個(gè)地是不連續(xù)的，但在界面沒(méi)有自由電荷和面電流的情況下，和的法向分量及和的切向分量則是連續(xù)的。電磁場(chǎng)的物質(zhì)方程為：(2.4-4)

(2.4-5)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十三頁(yè)，共137頁(yè)。2、波動(dòng)方程（Waveequation）對(duì)式(2.4-3)第三式兩邊取旋度，并利用(2.4-5)式，并把(2.4-3)式第四式代入其中，可得：

(2.4-6)利用旋度公式將上式左邊展開(kāi)得到：利用式(2.4-3)第一式，則有

(2.4-7)(2.4-8)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十四頁(yè)，共137頁(yè)。同理可以得到把和代入上兩式得(2.4-9)(2.4-10)(2.4-11)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十五頁(yè)，共137頁(yè)。上兩式可以寫為(2.4-12)式和(2.4-13)式稱為電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，它們反映了電磁場(chǎng)隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。

(2.4-12)

(2.4-13)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十六頁(yè)，共137頁(yè)。3、亥姆霍茲方程（Helmholtzequation）設(shè)場(chǎng)隨時(shí)間變化，角頻率為，則電磁場(chǎng)矢量寫為代入波動(dòng)方程(2.4-12)和(2.4-13)，(2.4-16)和(2.4-17)稱為電磁場(chǎng)的亥姆霍茲方程，它們反映了電磁場(chǎng)隨空間變化的基本規(guī)律。(2.4-14)

(2.4-15)(2.4-16)

(2.4-17)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十七頁(yè)，共137頁(yè)。2.4.2平面波導(dǎo)中的亥姆霍茲方程1、平面波導(dǎo)中折射率分布。為了使討論方便，假設(shè)光波導(dǎo)中的折射率沿x方向變化。即2、平面波導(dǎo)解的基本模式。按前面假設(shè)，麥?zhǔn)戏匠探馀cy無(wú)關(guān)，且可分離變量，則電磁場(chǎng)的標(biāo)量形式可以寫為(2.4-18)(2.4-19)(2.4-20)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十八頁(yè)，共137頁(yè)。代入Helmholtz方程得：上式兩邊除以得令式(2.4-22)等于，則有(2.4-21)(2.4-22)(2.4-23)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第五十九頁(yè)，共137頁(yè)。即，，積分可以求得第一項(xiàng)無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)窮大，屬非正常波，因此只保留第二項(xiàng)，代回場(chǎng)方程式(2.4-19)和(2.4-20)，得（1）是電磁場(chǎng)沿z方向的傳播常數(shù)，因此。(2.4-24)(2.4-25)

(2.4-26)兩個(gè)基本結(jié)論：（2）相速度長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十頁(yè)，共137頁(yè)。3、平面波導(dǎo)中亥姆霍茲方程。根據(jù)式(2.4-3)，無(wú)源場(chǎng)微分形式的麥?zhǔn)戏匠虨殡姶艌?chǎng)滿足的物質(zhì)方程為將式(2.4-19)和(2.4-20)表示的電磁場(chǎng)方程可以改寫為(2.4-27)

(2.4-28)(2.4-29)(2.4-30)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十一頁(yè)，共137頁(yè)。將(2.4-32)代入(2.4-29)，再代入(2.4-27)；(2.4-31)代入(2.4-30)，再代入(2.4-28)，得把(2.4-25)和(2.4-26)式代入以上兩式，注意：；；；可以得到(2.4-31)

(2.4-32)(2.4-33)(2.4-34)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十二頁(yè)，共137頁(yè)。整理后，可得到兩組獨(dú)立的方程(2.4-35)(2.4-36)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十三頁(yè)，共137頁(yè)。式(2.4-37)中含，稱為TE波。

(2.4-37)

(2.4-38)式(2.4-38)中含，稱為TM波。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十四頁(yè)，共137頁(yè)。將TE波和TM波方程組的前兩式代入第三式當(dāng)中，就可以求得TE模中的和TM模中的所滿足的方程。下面以TE波為例來(lái)求解所滿足的方程。由(2.4-37)第一式可以得到由(2.4-37)第二式可以得到(2.4-39)(2.4-40)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十五頁(yè)，共137頁(yè)。將以上兩式得到的代入(2.4-37)第三式得(2.4-41)式兩邊同乘，得利用得到(2.4-41)(2.4-42)(2.4-43)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十六頁(yè)，共137頁(yè)。則式(2.4-42)可以改寫為因此，得到光波導(dǎo)各層TE波標(biāo)量亥姆霍茲方程為：同樣，可以得到光波導(dǎo)各層TM波標(biāo)量亥姆霍茲方程為：(2.4-44)

(2.4-45)

(2.4-46)注意：(2.4-45)和(2.4-46)適用于無(wú)源、無(wú)損耗、各向同性和非磁性的介質(zhì)平面波導(dǎo)。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十七頁(yè)，共137頁(yè)。4、平面波導(dǎo)中模式的定性討論。波導(dǎo)的亥姆霍茲方程是二階常系數(shù)線性齊次微分方程，特征方程為：即：，當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。(2.4-47)則平面波導(dǎo)的亥姆霍茲方程的通解取為指數(shù)形式：(2.4-48)(2.4-49)(2.4-50)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十八頁(yè)，共137頁(yè)。當(dāng)時(shí)，特征方程有復(fù)根。此時(shí)，平面波導(dǎo)的亥姆霍茲方程的通解取為簡(jiǎn)諧形式：(2.4-51)(2.4-52)

(2.4-53)因此，根據(jù)與的關(guān)系，可以得到不同形式的解。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第六十九頁(yè)，共137頁(yè)。以TE波為例，討論式(2.4-45)，由于在波導(dǎo)的不同區(qū)域有著不同的折射率，根據(jù)傳播常數(shù)的不同取值范圍，使得方程(2.4-45)具有不同形式的解：1）當(dāng)時(shí)，由于，因此在覆蓋層、波導(dǎo)層和襯底層中的解均為式(2.4-50)所表示的形式，即為指數(shù)形式。

(2.4-54)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十頁(yè)，共137頁(yè)。2）當(dāng)時(shí)，在覆蓋層和襯底層中，的解為式(2.4-50)，即指數(shù)形式。而在波導(dǎo)層中，的解為式(2.4-53)，即簡(jiǎn)諧形式。(2.4-55)3）當(dāng)時(shí)，在覆蓋層中，的解為式(2.4-50)，即指數(shù)形式；而在波導(dǎo)層和襯底層中解為式(2.4-53)，即簡(jiǎn)諧形式。(2.4-56)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十一頁(yè)，共137頁(yè)。4）當(dāng)時(shí)，在覆蓋層、波導(dǎo)層和襯底層中，的解均為式(2.4-53)，即簡(jiǎn)諧形式。此時(shí)，方程的解對(duì)應(yīng)于圖2.13的空氣模式。光能量將流入上、下限制層，即覆蓋層和襯底層內(nèi)，形成輻射模式，此時(shí)又稱空氣模式。(2.4-57)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十二頁(yè)，共137頁(yè)。導(dǎo)波模式空氣模式襯底模式輻射模式hn1n2n3x=0x=-h圖2.13光波導(dǎo)中可能存在的模式長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十三頁(yè)，共137頁(yè)。要點(diǎn)與習(xí)題1、什么是光波導(dǎo)的電磁理論？

2、電磁過(guò)程的基本方程有哪些？

3、什么是波動(dòng)方程4、什么是亥姆霍茲方程5、突變平面波導(dǎo)中折射率分布6、對(duì)平面波導(dǎo)中模式進(jìn)行定性討論長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十四頁(yè)，共137頁(yè)。2.5折射率突變光波導(dǎo)的基本解

2.6折射率漸變光波導(dǎo)的基本解2.7條形光波導(dǎo)的基本解2.8圓柱形介質(zhì)光波導(dǎo)的基本解

第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十五頁(yè)，共137頁(yè)。2.5折射率突變光波導(dǎo)的基本解

折射率突變光波導(dǎo)在平面波導(dǎo)、條形波導(dǎo)和柱形波導(dǎo)當(dāng)中都占有相當(dāng)多的比重。本節(jié)將討論折射率突變光波導(dǎo)中TE導(dǎo)模的場(chǎng)分布和它的模式本征方程。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十六頁(yè)，共137頁(yè)。2.5.1TE導(dǎo)模的場(chǎng)分布以三層平面波導(dǎo)的TE模為例。平面波導(dǎo)三層電場(chǎng)分布可寫為：

(2.5-1)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十七頁(yè)，共137頁(yè)。于是，B，C，D都可用A表示。因此，電場(chǎng)分布可寫成如下形式：時(shí)即(2.5-2)時(shí)即(2.5-3)時(shí)即(2.5-4)利用場(chǎng)及其導(dǎo)數(shù)在薄膜－襯底和薄膜－覆蓋層界面處連續(xù)邊界條件，可得：長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十八頁(yè)，共137頁(yè)。A可以通過(guò)對(duì)場(chǎng)的功率的歸一化消去。各層的磁場(chǎng)分量，可根據(jù)式（2.4-37）求得(2.5-5)

(2.5-6)和(2.5-7)這樣就解決了TE導(dǎo)模的場(chǎng)分布，即突變光波導(dǎo)的基本解。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第七十九頁(yè)，共137頁(yè)。2.5.2模式本征方程利用(2.5-5)式，并由場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)在薄膜和襯底界面上連續(xù)的條件可得:(2.5-8)兩邊除以，并整理得(2.5-9)上式即是TE模的模式本征方程。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十頁(yè)，共137頁(yè)。討論1、是按指數(shù)衰減的。衰減快慢分別由衰減系數(shù)q和p其確定。2、p和q越大，衰減越快，穿透深度1/p和1/q就淺。說(shuō)明波導(dǎo)束縛場(chǎng)的能力強(qiáng)，有效厚度小。3、p和q越小，衰減越慢，穿透深度1/p和1/q就深。說(shuō)明波導(dǎo)束縛場(chǎng)的能力差，有效厚度大。4、p和q大小與襯底和覆蓋層的折射率有關(guān)，還與模序數(shù)m相關(guān)。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十一頁(yè)，共137頁(yè)。5、m越大，則越小，從而p和q越小，有效厚度大，表明高階模的電磁場(chǎng)可延伸到薄膜外比較遠(yuǎn)的地方。6、m越小，則越大，從而p和q越大，有效厚度小，表明低階模的電磁場(chǎng)可延伸到薄膜外比較近的地方。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十二頁(yè)，共137頁(yè)。要點(diǎn)與習(xí)題1、什么是折射率突變光波導(dǎo)2、推導(dǎo)TE導(dǎo)模的場(chǎng)分布3、推導(dǎo)模式本征方程長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十三頁(yè)，共137頁(yè)。2.5折射率突變光波導(dǎo)的基本解

2.6折射率漸變光波導(dǎo)的基本解2.7條形光波導(dǎo)的基本解2.8圓柱形介質(zhì)光波導(dǎo)的基本解

第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十四頁(yè)，共137頁(yè)。2.6折射率漸變光波導(dǎo)的基本解折射率漸變波導(dǎo)在平面波導(dǎo)、條形波導(dǎo)和柱形波導(dǎo)當(dāng)中同樣占有相當(dāng)多的比重。本節(jié)將討論平方律折射率分布和指數(shù)律折射率分布漸變波導(dǎo)中TE導(dǎo)模的場(chǎng)分布和它的模式本征方程。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十五頁(yè)，共137頁(yè)。2.6.1平方律折射率分布平方律分布是薄膜里的折射率對(duì)稱于中線作拋物線分布。如圖2.14所示，但是在覆蓋層及襯底里n是均勻的，如虛線所示。由圖可見(jiàn)，沿軸線的。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十六頁(yè)，共137頁(yè)。對(duì)于平方律折射率分布的表示式為：

(2.6-1)將(2.6-1)式波動(dòng)方程中，得

(2.6-2)整理得

這是一個(gè)變參量的微分方程。

(2.6-3)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十七頁(yè)，共137頁(yè)。(2.6-4)稱為光束半徑。則(2.6-5)把它轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程。令再令(2.6-6)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十八頁(yè)，共137頁(yè)。則(2.6-7)這個(gè)方程稱為Weber方程。m為正整數(shù)情況下，Weber方程解為

(2.6-8)式中為Hermite多項(xiàng)式。如果以代替，則

(2.6-9)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第八十九頁(yè)，共137頁(yè)。當(dāng)時(shí)，有(2.6-10)它們對(duì)應(yīng)于正規(guī)模。用，可分別求出分量。由(2.6-6)式得(2.6-11)則(2.6-12)為特征值。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十頁(yè)，共137頁(yè)。2.6.2指數(shù)律折射率分布

分析對(duì)稱型波導(dǎo)。代表波導(dǎo)的軸或中心。的分布如圖2.15所示。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十一頁(yè)，共137頁(yè)。，即襯底的折射率與覆蓋層的相同，在外，(2.6-13)即(2.6-14)的表達(dá)式為：(2.6-15)把它代入波動(dòng)方程得：(2.6-16)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十二頁(yè)，共137頁(yè)。方程(2.6-16)仍是一個(gè)變參量微分方程，也要進(jìn)行變量變換，得到標(biāo)準(zhǔn)的微分方程。令(2.6-17)則(2.6-18)因此(2.6-19)這樣方程(2.6-16)變?yōu)殚L(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十三頁(yè)，共137頁(yè)。(2.6-20)式中，利用(2.6-17)式，(2.6-20)可改寫為(2.6-21)再令(2.6-22)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十四頁(yè)，共137頁(yè)。則得到標(biāo)準(zhǔn)的Bessel方程。即(2.6-23)如果m為整數(shù)，它的解為一般的Bessel函數(shù)。(2.6-24)，代表由(2.6-22)式求出，(2.6-25)為特征值。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十五頁(yè)，共137頁(yè)。要點(diǎn)與習(xí)題1、什么是折射率漸變光波導(dǎo)2、推導(dǎo)平方律折射率分布3、推導(dǎo)指數(shù)律折射率分布長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十六頁(yè)，共137頁(yè)。2.5折射率突變光波導(dǎo)的基本解

2.6折射率漸變光波導(dǎo)的基本解2.7條形光波導(dǎo)的基本解2.8圓柱形介質(zhì)光波導(dǎo)的基本解

第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十七頁(yè)，共137頁(yè)。2.7.3模式分析2.7.2模式分析2.7.1馬卡提里近似2.7.4有效折射律法2.7條形光波導(dǎo)的基本解長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十八頁(yè)，共137頁(yè)。平面光波導(dǎo)的電磁場(chǎng)僅在一個(gè)方向受到限制，而光場(chǎng)在另一方向不受限制，因而，光場(chǎng)在介質(zhì)平面光波導(dǎo)中傳播時(shí)，要沿非束縛方向發(fā)散。可以利用薄膜透鏡使發(fā)散光束聚焦，但仍然受到衍射極限的限制，難以構(gòu)成好的光路系統(tǒng)。在實(shí)際的集成光路中，經(jīng)常使用的是能在橫截面的二維方向上限制光場(chǎng)能量的條形（矩形）介質(zhì)波導(dǎo)。由于矩形介質(zhì)波導(dǎo)牽涉到復(fù)雜的二維電磁場(chǎng)問(wèn)題，要得到嚴(yán)格的解析解十分困難。本節(jié)只介紹幾種近似的解析法。

長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第九十九頁(yè)，共137頁(yè)。2.7.1馬卡提里近似

馬卡提里（Marcatili）分析的是一種普通的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)允許矩形芯子四周的材料都不相同，如圖2.16所示。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百頁(yè)，共137頁(yè)。

(2.7-1)每個(gè)區(qū)域的波數(shù)用表示，它們與各分量的關(guān)系由下式確定：Marcatili近似分析的關(guān)鍵假設(shè)有兩條1）假設(shè)矩形介質(zhì)波導(dǎo)中傳播的模式處于遠(yuǎn)離截止的條件。即導(dǎo)模的大部分功率將只在波導(dǎo)芯子中傳播。漏出芯子外面的功率很少，而進(jìn)入四個(gè)陰影區(qū)的功率更弱。得到下列關(guān)系：(2.7-2)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零一頁(yè)，共137頁(yè)。2）假設(shè)四個(gè)包層區(qū)域的折射率n2、n1、n4和n5僅比芯子的折射率n1略小一些。這個(gè)假設(shè)也稱為弱導(dǎo)條件。于是存在下屬關(guān)系：(2.7-3)這個(gè)條件保證了在波導(dǎo)芯子中傳播的是掠射光線，即入射角非常大。入射光線幾乎與傳播軸平行。由于這個(gè)弱導(dǎo)條件，矩形介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播模式可分為兩種類型，即和，上角標(biāo)表示電場(chǎng)的主要偏振方向，下標(biāo)中的模序數(shù)m、n分別代表電磁場(chǎng)沿x軸和y軸變化而具有極值的數(shù)量。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零二頁(yè)，共137頁(yè)。類似于平面光波導(dǎo)波動(dòng)理論的方法，設(shè)電磁場(chǎng)隨時(shí)間t和空間軸z的變化仍為，對(duì)于導(dǎo)模有(2.7-4)根據(jù)麥?zhǔn)戏匠炭梢詫?dǎo)出矩形波導(dǎo)中電磁場(chǎng)直角坐標(biāo)分量所滿足的波動(dòng)方程為：

(2.7-5)根據(jù)近似條件可寫出各個(gè)區(qū)域中電磁場(chǎng)分量的函數(shù)形式，因是模的主要橫場(chǎng)分量。故有2.7.2模式分析長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零三頁(yè)，共137頁(yè)。

(2.7-6)式中均為常數(shù)振幅因子，為任意位相因子。代入到波動(dòng)方程可得到以下幾個(gè)關(guān)系式：(2.7-7)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零四頁(yè)，共137頁(yè)。對(duì)于導(dǎo)模，參量和都是正整數(shù)。利用麥克斯韋方程可以得到

(2.7-8)和(2.7-9)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零五頁(yè)，共137頁(yè)。由式(2.7-8)和式(2.7-9)可以得到以下兩個(gè)方程組(2.7-10)和

(2.7-11)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零六頁(yè)，共137頁(yè)。由(2.7-11)式的第三式得(2.7-12)將上式再代入(2.7-10)式的第二式得(2.7-13)利用，可以得到(2.7-14)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零七頁(yè)，共137頁(yè)。因此，得到(2.7-15)根據(jù)麥?zhǔn)戏匠?，并設(shè)?？赏频煤推渌姶艌?chǎng)分量與的關(guān)系式：(2.7-16)

(2.7-17)由第二條假設(shè)可知，，因此，不難驗(yàn)證屬于模的主要電磁場(chǎng)分量是和。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零八頁(yè)，共137頁(yè)。利用處，和的切向連續(xù)的條件，可得(2.7-18)(2.7-19)由以上兩式相除可以得到(2.7-20)

同理，在處，可得

(2.7-21)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百零九頁(yè)，共137頁(yè)。

(2.7-22)利用三角函數(shù)的周期性，可將上式改寫為如下形式

(2.7-23)由(2.7-1)、(2.7-2)、(2.7-4)可知

(2.7-24)可見(jiàn)(2.7-23)式實(shí)際上是關(guān)于的方程。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十頁(yè)，共137頁(yè)。在處，利用和在邊界上連續(xù)的條件，可得(2.7-25)式中(2.7-26)可見(jiàn)(2.7-25)式是關(guān)于的方程。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十一頁(yè)，共137頁(yè)。由(2.7-23)和(2.7-25)構(gòu)成的方程組，稱為矩形介質(zhì)波導(dǎo)模的本征方程。它們是超越方程，可利用計(jì)算機(jī)求解。由于電磁場(chǎng)功率大部分集中在波導(dǎo)芯子區(qū)域，只有極少量功率漏出芯區(qū)。這說(shuō)明、、、四個(gè)衰減系數(shù)都比較大。因而，由(2.7-24)、(2.7-26)得，(2.7-27)即，(2.7-28)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十二頁(yè)，共137頁(yè)。式中(2.7-29)有了上述近似條件，可把超越方程(2.7-23)、(2.7-25)改寫成近似封閉的形式，這是因?yàn)椋?/p>

(2.7-30)(2.7-31)同樣，長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十三頁(yè)，共137頁(yè)。把以上兩式代入(2.7-23)式得(2.7-32)按同樣步驟，可得(2.7-33)再由波矢量的定義，可得矩形介質(zhì)波導(dǎo)中傳播常數(shù)：

(2.7-34)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十四頁(yè)，共137頁(yè)。因?yàn)?，是模的主要橫場(chǎng)分量，故有：2.7.3模式分析

(2.7-35)代入到波動(dòng)方程得到：(2.7-36)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十五頁(yè)，共137頁(yè)。(2.7-37)(2.7-38)(2.7-39)(2.7-40)(2.7-41)注意到可推得其它電磁場(chǎng)分量：長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十六頁(yè)，共137頁(yè)。利用處，和連續(xù)和處，和連續(xù)，就可以求出矩形介質(zhì)波導(dǎo)模的本征方程。(2.7-42)和(2.7-43)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十七頁(yè)，共137頁(yè)。2.7.4有效折射律法有效折射律法是將矩形光波導(dǎo)看作是兩個(gè)一維介質(zhì)平面光波導(dǎo)的組合，如圖2.17所示。長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十八頁(yè)，共137頁(yè)。這兩個(gè)平面波導(dǎo)并不是完全獨(dú)立的，其中a）所示的介質(zhì)平面波導(dǎo)薄膜層的折射率與矩形介質(zhì)波導(dǎo)芯子的折射率相同，均為，而b）所示的介質(zhì)平面波導(dǎo)薄膜層的折射率為a）所示波導(dǎo)的有效折射率。值由下式?jīng)Q定：

(2.7-44)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百一十九頁(yè)，共137頁(yè)。1、模式本征方程。對(duì)于，主要電磁場(chǎng)分量是和，從圖2.17可以看出，這種場(chǎng)相當(dāng)于TM橫波。則兩平面波導(dǎo)的模式本征方程：(2.7-45)和(2.7-46)式中(2.7-47)長(zhǎng)春理工大學(xué)第2章光波導(dǎo)的理論基礎(chǔ)第一百二十頁(yè)，共137頁(yè)。值得注意的是，在馬卡提里近似分析中，兩個(gè)介質(zhì)平面波導(dǎo)是同等重要的，它們的作用視為介質(zhì)波導(dǎo)提供各自的橫向傳播常數(shù)和。而在有效折射律法中，兩個(gè)平面波導(dǎo)所處的地位是不同的。（a）所示的平面波導(dǎo)的作用是為（b）所示的平面波導(dǎo)提供薄膜層的折射率。一旦確定，（b）所示的平面波導(dǎo)的傳播常數(shù)為(2.7-