常微分方程(1,2章)

常微分方程(1,2章)第一頁，共71頁。第一章緒論§1.1微分方程過程的數(shù)學模型§1.2微分方程的基本概念第二頁，共71頁?！?.1微分方程–變化過程的數(shù)學模型函數(shù)是反映事物變化過程中的量與量之間的關系，但是現(xiàn)實中稍微復雜一點的關系，一般都是很難直接找到的，而卻比較容易找到這些量和這些量與量之間的導數(shù)（變化率）的關系式.這種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)和它的導數(shù)（微分）的關系式稱為微分方程.微分方程是反映事物變化過程的最常用也是最重要的數(shù)學模型之一.第三頁，共71頁。例1物體冷卻過程的數(shù)學模型將某物體置于空氣中，在時刻t=0時，它的溫度u0=150°C，10分鐘后測得溫度為u1=100°C，求決定此物體的溫度u和t的關系，并計算20分鐘后物體的溫度.假定空氣的溫度保持為ua=

24°C由牛頓冷卻定律：解：設時刻t時物體的溫度為u，則此時溫差為u–ua,所以將t=0時u

=u0代入得將u0=150，ua=

24，t=10時,u=100代入得熱量總從高溫物體向低溫物體傳導，溫度冷卻的速度與二物體溫差成正比.第四頁，共71頁。例2R–L電路右圖的電路中R為電阻，L為電感，E為電源，設t=0時，電路中沒有電流.要求建立：當開關K合上后，電流I應該滿足的微分方程.設R、L、E都是常數(shù).由基爾霍夫定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零.有求出的I=I(t)應該滿足I(0)=0若合上K后某時刻t=t0時，I=I0，電源E突然短路（即E=0），此后一直保持為零，這時電流I滿足的方程應為求出的I=I(t)應該滿足I(t0)=I

0解：第五頁，共71頁。例3R–L–C電路如右下圖設電感L、電容C和電阻R都是常數(shù)，電源e(t)是時間的t的函數(shù)，試建立：當K合上時電流I滿足的微分方程.解：由基爾霍夫定律有其中Q為電量.注意將上式對t求導得即若e(t)是常數(shù)，則若又加上R=0，則第六頁，共71頁。例4數(shù)學擺數(shù)學擺是系在一根長度為l，質量可忽略不計的細線上，質量為m的質點M，在重力作用下，在垂直于地面的平面上沿圓周運動，試確定擺的運動方程解：取反時針方向為計算擺與鉛垂線所成的角的正方向.質點M沿圓周的切向速度為v.質點所受重力的切向分力為注意，若擺只作微小振動時重力的縱向分力與所受細線的拉力抵消，所以由牛頓第二定律得第七頁，共71頁。要確定擺的某一特定運動時，還應該給出擺的初始狀態(tài)，即當t=0時，它們分別代表擺的初始位置和初始角速度.如果單擺是在粘性介質中運動，受到與運動速度成正比的阻力，則阻尼振動若單擺還受到一個始終與運動方向相同的力F(t)，則單擺的運動微分方程為強迫微小振動初始狀態(tài)第八頁，共71頁。例5人口模型（Malthus）人口模型的基本假設是：人口在自然增長條件下，凈相對增長率（單位時間內人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，設為r（生命系數(shù)）.即設t=0時，N(t)=N0，代入(1.21)求出：所以方程(1.20)的滿足上述初值條件的解為設人口數(shù)量為N=N(t)，由基本假設有在上述模型中，人口呈指數(shù)增長.如以一年或十年把它離散化，則人口是以er為公比的幾何級數(shù)增長.荷蘭生物學家Verhulst對它進行了改進，得到著名的logistic模型.第九頁，共71頁。logistic模型人類的生存空間是有限的，自然資源、環(huán)境條件只能提供一定數(shù)量人口的生活，因此Verhulst引入了環(huán)境最大容納量Nm這個常數(shù)，并認為人口的凈增長率為（r為生命系數(shù)，即自然增長率）所以人口關于時間的微分方程為第十頁，共71頁。例5傳染病模型設傳染病傳播期間其地區(qū)總人數(shù)不變，為常數(shù)n，開始時染病人數(shù)為x0，在時刻t時健康人數(shù)為y(t)，染病人數(shù)為x(t).

上述模型稱為SI模型，即易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)模型如傳染病為無免疫性疾病，則病人治愈后還可能感染.設單位時間治愈率為μ（1/μ也稱為平均傳染期），則(1.24)式應修正為基本假設:單位時間內一個病人能傳染的人數(shù)與當時的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k，稱為傳染系數(shù).由此假設可得以下微分方程此模型稱為SIS模型，σ稱為稱為每個病人的有效接觸人數(shù).第十一頁，共71頁。如一些有很強免疫性的傳染病，病人治愈后不會再被感染.設在時刻t時的愈后免疫人數(shù)為r(t)(稱為移出人數(shù)）,而治愈率l為常數(shù)，即則（1.31）消掉r(t)可得上式稱為SIR模型.第十二頁，共71頁。例6兩種生物種群生態(tài)模型其中a為常數(shù).叫做自然凈增長率.但由于捕食魚的存在，使其增長率降低.設單位時間內捕食魚與被食魚相遇次數(shù)為bxy(b>0,為某個常數(shù))，并設相遇被食魚即被吃掉.則類似地，捕食魚因缺少被食魚的自然減少率與它們本身的存在y成正比,即為–cy(c>0，為某個常數(shù)).自然增長率與它們本身的數(shù)目和被食魚的數(shù)目成正比，即為exy（e>0，為某個常數(shù)，稱為被食魚對捕食魚的供養(yǎng)能力），于是得到Volterra被捕食–捕食模型:(1.32）Volterra被捕食–捕食模型:意大利數(shù)學家Volterra把魚分成被食魚和捕食魚，設時刻t時被食魚的總數(shù)為x(t),而捕食魚的總數(shù)為y(t).由于被食魚的食物很豐富，因此種類斗爭并不激烈，所以在不存在捕食魚的情況下被食魚的增長應成指數(shù)增長，即第十三頁，共71頁。兩種種群競爭模型設競爭同一資源的兩種生物種群甲、乙的數(shù)目分別為x、y，則兩種生物的生長情況為當a、b、c、e均為正數(shù)時，稱為競爭模型，當b、e為負數(shù)時稱共生模型.一般Volterra模型其中a,b,c,d,e,f為常數(shù)，可正、可負或為0，視兩種生物的關系而定，一般可分成競爭、共生、捕食–被捕食等情況。當x=0,或y=0種群內存在密度制約關系時，上式就成為一維的Logistic模型.第十四頁，共71頁。例7Lorenz混沌模型由美國氣象學家Lorenz建立其中a=10,b=8/3,c=28.Lorenz發(fā)現(xiàn)，此方程的解對初值非常敏感.是關于所謂混沌現(xiàn)象的第一例微分方程.第十五頁，共71頁。

1.常微分方程與偏微分方程(1)只有一個自變量的微分方程叫做常微分方程；(2)自變量的個數(shù)有兩個或兩個以上的微分方程叫做偏微分方程.微分方程中未知函數(shù)最高導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.2.微分方程的階例下列方程是常微分還是偏微分方程，并指出它們的階：2階常微分方程2階偏微分方程一階常微分方程一階偏微分方程2階偏微分方程一階常微分方程一微分方程的分類§1.2基本概念第十六頁，共71頁。3.線性微分方程和非線性微分方程一般n階常微分方程的形式為若上式左端為的一次有理整式，則稱方程為n階線性微分方程，即n階線性微分方程具有形式為x的已知函數(shù).不是線性方程的微分方程稱為非線性微分方程.例如分別為一階線性微分方程和二階非線性微分方程.第十七頁，共71頁。二微分方程的解設有微分方程若函數(shù)y=f(x)代入能使它成恒等式，則稱y=f(x)為上面的微分方程的一個解.如果關系式Φ(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)是(1.21)的解,則稱它為方程(1.21）的隱式解.例：微分方程有解關系式是它的隱式解.微分方程的顯式解和隱式解都稱為微分方程的解.1.微分方程的解解和隱式解第十八頁，共71頁。通常把特解必需滿足的條件稱為定解條件.常見的定解條件為初始條件，即當x=x0時，2.通解和特解

n階微分方程的含有n個獨立的任意常數(shù)的解稱為它的通解.不含任何任意常數(shù)的解稱為微分方程的一個特解.定解條件例如可以驗證微分方程的通解為設初始條件為將它們代入通解得所以微分方程滿足上述初始條件的特解為第十九頁，共71頁。關于通解的注：1.從命名來看，人們希望通解包含方程的全部解.但從定義上看，通解并不需要包含方程的全部解.例如y=ecex和y=cex

都是微分方程y'=y的通解，但前者只包含它的部分解，后者才是它的全部解.2.僅管通解并不要求是方程的全部解，但是我們在求通解時還是讓它盡可能多地包含方程的解.3.通解確實包含了方程在一定范圍內的全部解.4.當通解中的所有任意常數(shù)都成了確定的值時，就是方程的一個特解.第二十頁，共71頁。設y=φ(x)是微分方程(1.23)的解，它是xy平面上的一條曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線.因而微分方程(1.23)的通解y=φ(x,c)對應于xy平面上的一族曲線，稱為積分曲線族.顯然，y=φ(x)是微分方程(1.23)的解的充要條件是曲線上每一點(x,y)處的斜率則好等于f(x,y).3.解的幾何意義設有一階微分方程(1)積分曲線與積分曲線族(2)微分方程的方向場（線素場）顯然，過區(qū)域D上每一點(x,y)斜率為f(x,y)的一小段直線段(線素)，代表過該點的積分曲線在該點的切線方向，并且過該點的積分曲線在該點附近可以用這條小線段近似地表示.區(qū)域D上的全體線素稱為微分方程(1.23)的方向場（或線素場）.利用方向場右以畫出積分曲線的大致形狀.第二十一頁，共71頁。右下圖是微分方程的向量場第二十二頁，共71頁。第二章§2.1變量分離方程與變量變換

2.1.1變量分離方程 2.1.2可化為分離變量的方程 2.1.3應用舉例§2.2線性微分方程與常數(shù)變異法§2.3恰當微分方程與積分因子

2.3.1恰當微分方程 2.3.2積分因子§2.4一階隱式微分方程與參數(shù)表示

2.4.1可以解出y（或x）的方程 2.4.2不顯含y

（或x）的方程第二十三頁，共71頁?！?.1變量分離方程和變量變換2.1.1變量分離方程形如的微分方程稱為變量分離方程.這里f(x),g(y)分別是x,y的連續(xù)函數(shù).變量分離方程的解法如果g(y)≠0，則(2.1)式可寫為這樣變量就分離出來了，兩邊分別積分得方程(2.1)的通解：上面的積分式看成某個確定的函數(shù)，以后也這樣理解.一般還應該檢驗g(y)=0是否原方程的解.第二十四頁，共71頁。解變量分離方程的例例1求解方程解：分離變量兩邊分別積分得方程的通解也可寫成顯式解：或寫成第二十五頁，共71頁。例2解方程解：分離變量兩邊分別積分方程的通解為：注意

y=0也是方程的解，但它并未包含在通解內.第二十六頁，共71頁。例3解方程解：分離變量即所以方程的通解為若則所以方程的解為(2)÷(1)得積分得第二十七頁，共71頁。例4求解Logistic方程解：分離變量兩邊分別積分為左邊化成部分分式所以方程的通解為將初始條件代入得所以方程的解為：即第二十八頁，共71頁。例5求方程解：分離變量得積分得顯然y=0也是方程的解，所以上述的c也可以等于0,即方程的全部解為其中c為任意常數(shù).第二十九頁，共71頁。課外作業(yè)第三十頁，共71頁?！?.12可化成變量分離方程的類型(1)齊次微分方程形如的微分方程叫做齊次微分方程，這里g(u)是u的連續(xù)函數(shù).解法：作變換則y=ux,微分得分離變量為兩端積分就得到方程(2.3)的通解公式：第三十一頁，共71頁。例6求解方程解：這是齊次微分方程，作變換則y=ux,dy=udx+xdu方程（2.4)還有解tanu=0，即sinu=0.因此上式中允許c=0.所以方程的通解為：也可以直接代通解公式求得.第三十二頁，共71頁。用公式求解例6解：這是齊次微分方程，作變換所以方程的通解為余下與前同第三十三頁，共71頁。例7求解方程解：這是齊次微分方程，作變換兩端同除以x得則所以原方程的通解為：注意u=0也是方程的解，但這個解不包含在通解中.將u=y/x代回，則原方程的通解為同時y=0也是方程的解.第三十四頁，共71頁。(2)形如的微分方程分以下三種情況討論其中k為常數(shù)上述討論中的解法也可以解決形如的微分方程問題：討論下列微分方程的解法其中M(x,y),N(x,y)分別是x,y的齊次（次數(shù)可以不同）函數(shù)第三十五頁，共71頁。例8求解微分方程解：求方程組得x=1,y=2,作變換代入原方程為令則可以驗證也是方程（2.4)的解，所以原方程的全部解為（c為任意常數(shù)）第三十六頁，共71頁。2.1.3應用舉例例9電容器的充電和放電如右圖所示，電路斷開時電容器C兩端電壓uC=0.將開關S合上“1”后，電池E對電容充電，電容器兩端電壓uC逐漸升高，充電完畢后，再把開關S合上“2”，電容器C開始放電，求充、放電過程中電壓uC隨時間t的變化規(guī)律.只研究充電過程由基爾霍夫定律有代入(1)，得充電時uC

的微分方程分離變量得將t=0時，uC=

0

代入得故（2）的通解為解：所以充電時uC隨時間t的變化規(guī)律為所以充電結果為uC=E第三十七頁，共71頁。例10探照燈反向鏡面的形狀要求從點光源射出的光線從鏡面反射要沿同一方向平行地反射出去.求反射鏡面的形狀解：由對稱性知鏡面一定是一個旋轉面.設點光源在原點，設這個旋轉面由曲線繞x軸旋轉而成，問題變成求y=f(x)，如右上圖過曲線y=f(x)上任一點M(x,y)作曲線的切線MT，交x軸于N，這是一個齊次微分方程.也可以寫成由題意，由O點射向點M的光線應沿平行于x軸的方向反射.由反射定律，應有ON=OM，并注意到第三十八頁，共71頁。令則微分方程為即分離變量得積分得將代回，并整理得所以所求反射鏡面為旋轉拋物面第三十九頁，共71頁。是可分離變量的微分方程，前面已知其解為：稱為一階線性微分方程.當Q(x)=0時，稱為一階齊次線性微分方程，否則稱為一階非齊次線性微分方程§2.2一階線性微分方程和常數(shù)變易法一階線性微分方程微分方程一階齊次線性微分方程非齊次一階線性微分方程的解法常數(shù)變易法設一階非齊次線性微分方程的解為代入原方程得所以非齊次一階微分方程的通解為第四十頁，共71頁。例1求微分方程的通解.解：先求對應的齊次方程的解.方程變形為這是一階線性微分方程分離變量得所以齊次方程的通解為用常數(shù)變易法，設代入方程(1)得所以原方程的通解為第四十一頁，共71頁。例2求微分方程的通解.解：方程變形為即對應的齊次方程為分離變量為(2)的通解為設(1)的通解為代入(1)得所以原方程的通解為第四十二頁，共71頁。貝努利微分方程形如的微分方程叫貝努利微分方程.它可以化成線性微分方程.解：作變量代換z=y

1–n

，則由復合函數(shù)求導法則這是線性微分方程.注意：當n>0時，y=0也是原方程的解.即第四十三頁，共71頁。例3求方程的通解解：這是n=2的貝努利微分方程，令則這是線性微分方程，求得它的通解為所以原方程的通解為y=0也是方程的解.第四十四頁，共71頁?！?.3恰當微分方程積分因子2.3.1恰當微分方程如果微分方程的M(x,y)dx+N(x,y)dy恰好是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分,則稱(1)為恰當微分方程.設M(x,y)、N(x,y)

在矩形區(qū)域D連續(xù)且具有連續(xù)一階偏導數(shù)顯然上述恰當微分方程方程的通解為u(x,y)=c恰當微分方程的充要條件由數(shù)學分析知，(1)是恰當微分方程的充要條件是在區(qū)域D內恰當微分方程的求解由數(shù)學分析知積分路徑為點(x0,y0)到點（x,y）的任意按段光滑曲線.第四十五頁，共71頁。例1求微分方程的通解解：所以上述方程為恰當微分方程.所以微分方程的通解為第四十六頁，共71頁。恰當微分方程的“分項組合”解法下面以例1說明求微分方程的通解把形如f(x)dx、g(y)dy分別積分求和，再把剩余的形如

M1(x,y)dx+N1(x,y)dy部分求積分，然后求和，即所以微分方程的通解為第四十七頁，共71頁。例3求解微分方程解：(容易驗證這是恰當微分方程，用分項組合辦法求解)所以原方程的通解為第四十八頁，共71頁。2.3.2積分因子如果存在函數(shù)μ(x,y)，使得成為恰當微分方程，則稱函數(shù)μ(x,y)為方程(1)的積分因子.可以證明，只要微分方程有解，就一定存在積分因子,而且不是唯一的.由恰當微分方程的充要條件可得μ(x,y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的充要條件是這是一個關于μ(x,y)的偏微分方程，通過它來求方程的積分因子，比求解方程本身更困難，因此是不足取的.但是在特殊情況下，通過找積分因子求解微分方程仍然不失為一種方法.第四十九頁，共71頁。特殊條件下的積分因子設有微分方程1.微分方程(1)存在微分因子μ(x)的充要條件因為是恰當微分方程等價于由此可知方程(1)有只與x有關的積分因子的充要條件是并且由(3)可求出(1)的一個積分因子第五十頁，共71頁。前面得到方程(1)有只與x有關的積分因子的充要條件是是積分因子類似的方法得到方程(1)有只與y有關的積分因子的充要條件是是積分因子第五十一頁，共71頁。例4用積分因子法求線性微分方程解：將方程變形為所以原方程存在積分因子是恰當微分方程，故積分所以所以方程的通解為第五十二頁，共71頁。例5求解微分方程解：將方程變形顯然它有積分因子兩邊同乘以它得所以原方程的通解為：兩邊同乘以ydx第五十三頁，共71頁。例6求解方程解法1：積分因子法設M=y,N=y–x,則所以方程有積分因子：原方程兩端乘以積分因子分項組合所以原方程的通解為第五十四頁，共71頁。例6求解方程解法2分項組合觀察法顯然左邊有積分因子因右邊只是關于y的微分，故后者為方程的積分因子.剩下與方法1同.第五十五頁，共71頁。例6求解方程解法3將方程變形為這是齊次微分方程令則兩邊積分得代回原來的變量得方程的通解為：第五十六頁，共71頁。解法4將方程變形為這也是齊次微分方程令則方程為代回原來的變量得方程的通解為：例6求解方程兩邊積分得第五十七頁，共71頁?！?.4一階隱式微分方程與參數(shù)表示一階隱式微分方程的解法探究如果從(1)中可以解出則原則上可以按以前討論過的方法求解.但是很多情況下存在如困難：(i)無法從(1)中解出y＇;(ii)解出的y＇表達式復雜難于求解針對上述問題，下面介紹可以采用參數(shù)方法將導數(shù)變成已解出的類型：第五十八頁，共71頁。2.4.1可以解出y或x的方程1.形如（f(u,v)關于u,v有連續(xù)的偏導數(shù)）的解法令代入(1)得兩邊對x求導得這是一個關于未知函數(shù)p的微分方程，且p的導數(shù)已求出.則(1)的通解為若(3)的通解為：若(3)的通解為：則(1)的通解為(其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù))則(1)的通解為若(3)的通解為：(其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù))第五十九頁，共71頁。例1求解微分方程解：方程變形為則方程為兩邊對x求導當p≠0時，兩邊同乘以p，得積分得解出x

代入（1）得所以方程的通解為p=0是方程(1),的解，從而y=0也是原方程的解.第六十頁，共71頁。例2求解微分方程解：則方程為兩邊對x求導得的通解為代入(1)得方程的通解代入(1)得原方程的又一個解將(3)代入(2)得即(3)的積分曲線與(2)的每