精選材料分析第二三章講義

（優(yōu)選）材料分析第二三章現(xiàn)在是1頁\一共有64頁\編輯于星期四一．正空間點陣二．倒易點陣第二節(jié)晶體學基礎O

xyz現(xiàn)在是2頁\一共有64頁\編輯于星期四

晶體的點陣結構

晶體：物質(zhì)點（原子、離子、分子）在空間周期排列構成固體物質(zhì)。結構基元：在晶體中重復出現(xiàn)的基本單元；在三維空間周期排列；為簡便,可抽象幾何點現(xiàn)在是3頁\一共有64頁\編輯于星期四

晶體是由微觀粒子（原子、離子、分子或原子團）在三維空間中呈周期排列而構成的。為了討論方便，用幾何點代替上述質(zhì)點，稱為結點。

由結點在三維空間有規(guī)律地、周期排列而成，反映晶體結構特征的空間幾何圖形稱為空間點陣。

任取一結點作為座標原點，并在空間三個方向上選取重復周期a,b,c，這三個重復周期矢量稱為基本矢量。一．正空間點陣1基本概念現(xiàn)在是4頁\一共有64頁\編輯于星期四

由基本矢量構成的平行六面體稱為單位晶胞，br在三個方向上重復即可建立整個空間點陣。現(xiàn)在是5頁\一共有64頁\編輯于星期四如將空間點陣中各點陣點換上具體內(nèi)容--結構基元(原子、離子、分子、基團等），即得到具體的晶體結構。晶體結構=空間點陣+結構基元空間點陣僅是晶體結構的幾何抽象，只表示結構基元在空間的分布，無物質(zhì)內(nèi)容?，F(xiàn)在是6頁\一共有64頁\編輯于星期四

按照點陣對稱性,可將自然界的晶體劃分為七大晶系,14種布拉菲格子,其單位格子稱為布拉菲單胞。

每種布拉菲格子用布拉菲單胞的三個基矢作為標志，基矢長度a、b、c和基矢兩兩之間的夾角、、是用來區(qū)別各種布拉菲格子的特征常數(shù),稱為單胞參數(shù)。

如：立方晶系：a=b=c，===90的簡單晶胞，體心晶胞，面心晶胞；四方晶系：a=bc，===90的簡單四方晶胞；六方晶系：a=bc，==90,=120的簡單六方晶胞。2空間點陣的劃分——布拉菲格子現(xiàn)在是7頁\一共有64頁\編輯于星期四1.所選擇的平行六面體的特性應符合整個空間點陣的特征，并應具有盡可能多的相等棱和相等角。2.平行六面體中各棱之間應有盡可能多的直角關系。3.在滿足1,2時,平行六面體的體積應最小。根據(jù)上述原則，證明僅存在14種不同的晶格（或點陣），稱做布拉菲點陣，按對稱性可分為7個晶系。布拉菲（Bravais）規(guī)則現(xiàn)在是8頁\一共有64頁\編輯于星期四(7)面心斜方(F)現(xiàn)在是9頁\一共有64頁\編輯于星期四現(xiàn)在是10頁\一共有64頁\編輯于星期四babcag三斜晶系triclinicabc,a

b

g

901現(xiàn)在是11頁\一共有64頁\編輯于星期四abcabcaa單斜晶系monoclinicabc,b=g=90

aSimpleBase-centered23現(xiàn)在是12頁\一共有64頁\編輯于星期四abab斜方晶系

Orthorhombicabc,a=b=g=90SimpleBase-centeredBody–centeredFace-centered4567C現(xiàn)在是13頁\一共有64頁\編輯于星期四a=bc,a=b=90,g=120六方晶系Hexagonalac8aaaaa三方(菱形)晶系

Rhombohedral9a=b=c,a=b=g

90現(xiàn)在是14頁\一共有64頁\編輯于星期四acaaca1011四方晶系

Tetragonal

a=bc,a=b=g=90Body-centeredSimple現(xiàn)在是15頁\一共有64頁\編輯于星期四aaaaaaaaa立方晶系

(Cubicsystem)a=b=c,a=b=g=90SimpleBody-centeredFace–centered121314現(xiàn)在是16頁\一共有64頁\編輯于星期四七個晶系的晶格參數(shù)a=b=c,a=b=g=90a=bc,a=b=g=90abc,a=b=g=90a=b=c,a=b=g

90a=bc,a=b=90,g=120abc,b=g=90

aabc,a

b

g

90立方六方四方三方斜方單斜三斜現(xiàn)在是17頁\一共有64頁\編輯于星期四7個晶系及其所屬的布拉菲點陣晶系點陣常數(shù)布拉菲點陣點陣符號晶格內(nèi)結點數(shù)結點坐標立方

a=b=cα=β=γ=90o簡單立方體心立方面心立方PIF124000000,1/21/21/2000,1/21/20,1/201/2,01/21/2正方(四方)a=b≠cα=β=γ=90o簡單正方體心正方PI12000000,1/21/21/2斜方a≠b≠c簡單斜方體心斜方底心斜方面心斜方PICF1224000000,1/21/21/2000,1/21/20000,1/21/20,1/201/2,01/21/2簡單晶胞：晶胞內(nèi)僅含1個結點；復雜晶胞：晶胞內(nèi)含1個以上結點。現(xiàn)在是18頁\一共有64頁\編輯于星期四7個晶系及其所屬的布拉菲點陣（續(xù))晶系點陣常數(shù)布拉菲點陣點陣符號晶格內(nèi)結點數(shù)結點坐標菱方(三方)

a=b=cα=β=γ≠90o簡單菱方R1000六方a=b≠cα=β=90oγ=120o簡單六方P1000單斜a≠b≠cα=γ=90o≠β簡單單斜底心單斜PC12000000,1/21/20三斜a≠b≠cα≠β≠γ≠90o簡單三斜P1000現(xiàn)在是19頁\一共有64頁\編輯于星期四簡單立方：僅在單胞的八個頂點上有結點，由于頂點上每個結點分屬于鄰近的八個單胞，每個單胞含結點數(shù)：個，坐標(0,0,0)；體心立方：單胞中心的結點屬于這個單胞所有，單胞所含結點數(shù)：2個，坐標(0,0,0),(1/2,1/2,1/2)；面心立方：六面體的每個面的中心含有一個結點,和相鄰的另一個單胞共有，結點數(shù)：4個，坐標(0,0,0)，(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0)。3結點位置的表示現(xiàn)在是20頁\一共有64頁\編輯于星期四

倒易點陣可以描述衍射波方向在空間的分布，倒易矢量可以同時反映一組衍射晶面的取向和晶面間距的大小。用倒易點陣研究晶體衍射可使問題大為簡化。

1倒易點陣的概念倒易點陣是將空間點陣經(jīng)過一定倒易變換而得到的虛點陣，倒易點陣的基本矢量用a*，b*，c*表示，與正空間點陣的基矢a,b,c之間的關系：a*·a=b*·b=c*·c=1

即同字母倒易基矢與正空間基矢的點積為1;

a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b=0

即不同字母的倒易基矢與正空間基矢的點積為零。二倒易點陣現(xiàn)在是21頁\一共有64頁\編輯于星期四大?。?/p>

方向：a*垂直于b、c所在的平面，b*垂直于a、c所在的平面，c*垂直于a、b所在的平面。對于立方晶系：a*//a

b*//bc*//c，其大小bcac*現(xiàn)在是22頁\一共有64頁\編輯于星期四倒易結點：倒易空間點陣中的陣點。倒易矢量：從倒易點陣原點O*(000)向任一個倒易結點所連接的矢量，用符號r*表示，

r*=Ha*+Kb*+Lc* （H,K,L為整數(shù)）倒易矢量是倒易點陣中的重要參量，也是晶體的X射線和電子衍射中經(jīng)常引用的參量?，F(xiàn)在是23頁\一共有64頁\編輯于星期四根據(jù)倒易點陣的定義來證明倒易矢量的兩個基本性質(zhì)。①倒易矢量的方向垂直于正點陣中的同指數(shù)晶面(HKL)倒易矢量與晶面的關系如圖。2倒易點陣的性質(zhì)倒易矢量與晶面的關系示意圖acBbACc/Lb/Ka/HPr*On(HKL)現(xiàn)在是24頁\一共有64頁\編輯于星期四

兩矢量點積為0,說明r*同時垂直于AB和BC,即倒易矢量垂直于AB和BC所在的平面——正空間晶面(HKL)。ABC為(HKL)晶面組中最靠近原點的晶面,它在坐標軸上的截矩：因而矢量矢量AB與倒易矢量r*的點積：同理nacBbACc/Lb/Ka/HPr*O(HKL)現(xiàn)在是25頁\一共有64頁\編輯于星期四②倒易矢量的長度等于對應晶面(HKL)面間距的倒數(shù)

以n表示r*方向的單位矢量，

OP為面間距dHKL，它等于a/H在n方向的投影，即即(HKL)acBbACc/Lb/Ka/HPr*On(HKL)提示:同字母為1異字母為0現(xiàn)在是26頁\一共有64頁\編輯于星期四從上述討論可見：正點陣中的晶面取向和面間距兩個參量可用倒易點陣中的一個參量——倒易矢量表示；正點陣中的一組晶面和倒易點陣中的一個倒易結點相對應。如：(100)及(200)晶面所對應的倒易結點如圖所示。

面間距和對應倒易矢量的關系現(xiàn)在是27頁\一共有64頁\編輯于星期四例1：求面間距3倒易點陣的應用舉例根據(jù)和有該式為晶面間距的一般表達式，對任何晶系均成立?，F(xiàn)在是28頁\一共有64頁\編輯于星期四代入上述晶面間距的一般表達式立方晶系a=b=c,===90°,根據(jù)倒易點陣的性質(zhì),有故(提示:相互垂直投影為零)現(xiàn)在是29頁\一共有64頁\編輯于星期四例2：求晶面夾角由于倒易矢量的方向垂直于正點陣中的同指數(shù)晶面，所以正空間兩個晶面(H1K1L1),(H2K2L2)之間的夾角就是其對應倒易矢量r*H1K1L1和r*H2K2L2之間的夾角。對于立方晶系，同理現(xiàn)在是30頁\一共有64頁\編輯于星期四代入夾角cos公式化簡上式（提示：注意立方晶系中a*=

b*=c*

）現(xiàn)在是31頁\一共有64頁\編輯于星期四倒易空間.倒易點陣.倒易矢量你沒有被“倒”糊涂吧？acBbACc/Lb/Ka/HPr*On(HKL)現(xiàn)在是32頁\一共有64頁\編輯于星期四1倒易空間與正空間點陣基矢之間的關系：

a*·a=b*·b=c*·c=1a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b=0①方向:垂直于正點陣中的同指數(shù)晶面(HKL)②長度:等于對應晶面的面間距倒數(shù)

2晶面取向和面間距兩個參量可用倒易點陣中的一個參量——倒易矢量

r*=Ha*+Kb*+Lc*表示：r*(HKL)小結現(xiàn)在是33頁\一共有64頁\編輯于星期四3晶體結構是客觀存在，點陣是一個數(shù)學抽象。晶體點陣是將晶體內(nèi)部結構在三維空間周期平移這一客觀事實的抽象，有嚴格的物理意義。4倒易點陣是晶體點陣的倒易，不是客觀實在，沒有特定的物理意義，純粹為數(shù)學模型和工具。現(xiàn)在是34頁\一共有64頁\編輯于星期四晶面晶面——晶體結構中任意三個不在一條直線上等同原子所確定的平面。晶面指數(shù)——將晶面在三個坐標軸上截距的倒數(shù)化為最小整數(shù)比，加圓括號(hkl)表示。一組晶面——一系列面間距d相等，法線方向相同的晶面。用(HKL)表示。同族晶面——在同一晶體點陣中，有若干組晶面可以通過一定的對稱變換重復出現(xiàn)，面間距和晶面上結點的分布完全相同，這些空間位向、性質(zhì)完全相同的晶面屬于同族晶面,用{hkl}

表示。現(xiàn)在是35頁\一共有64頁\編輯于星期四1.確定平面與三個坐標軸上的交點。平面不能通過原點。如果平面通過原點，應移動原點。2.取交點坐標的倒數(shù)（所以平面不能通過原點）。如果平面與某一坐標軸平行，則交點為，倒數(shù)為零。3.消除分數(shù)，但不化簡為最小整數(shù)。負數(shù)用上劃線表示。確定晶體平面Miller指數(shù)的步驟晶面符號現(xiàn)在是36頁\一共有64頁\編輯于星期四A：第一步：確定交點的坐標：

x軸：1,y軸：1/2,z軸：1/3第二步：取倒數(shù)：1，2，3第三步：消除分數(shù)。因無分數(shù)，直接進入下一步。第四步：加圓括號，不加逗號，得到：(123)B：A1,0,00,0,10,1,0B例現(xiàn)在是37頁\一共有64頁\編輯于星期四(?)常見晶面的Miller指數(shù)(?)現(xiàn)在是38頁\一共有64頁\編輯于星期四(100)(001)(001)(111)(110)常見晶面的Miller指數(shù)現(xiàn)在是39頁\一共有64頁\編輯于星期四1.h,k,l三個數(shù)分別對應于a,b,c三晶軸方向。2.其中某一數(shù)為“0”，表示晶面與相應的晶軸平行，例如(hk0)晶面平行于c軸；(h00)平行于b,c軸。3.(hkl）中括號代表一組互相平行、面間距相等的晶面。

4.晶面指數(shù)不允許有公約數(shù)，即hkl三個數(shù)互質(zhì)。5.若某晶面與晶軸相截在負方向，則相應指數(shù)上加一橫。晶面指數(shù)特點現(xiàn)在是40頁\一共有64頁\編輯于星期四晶面間距：一組晶面中兩相鄰晶面之間的垂直距離。由于通過原點的晶面也是晶面組中的一個晶面，因此原點到最靠近原點的晶面的垂直距離，就是該組晶面的面間距。(hkl)例：正交晶系面間距的導出現(xiàn)在是41頁\一共有64頁\編輯于星期四

設ABC為最靠近原點的晶面(hkl)，OP為原點到該面的垂直距離，即面間距d；OP與三個方向的夾角分別為、、，則

(hkl)現(xiàn)在是42頁\一共有64頁\編輯于星期四假設三個基本矢量互相垂直（正交晶系），則對于立方晶系,a=b=c,面間距公式變?yōu)榧凑淼矛F(xiàn)在是43頁\一共有64頁\編輯于星期四正交（斜方）單斜三斜晶面間距的計算現(xiàn)在是44頁\一共有64頁\編輯于星期四例1某斜方晶體的a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,計算d110和d200。d110=4.11?,d200=3.71?現(xiàn)在是45頁\一共有64頁\編輯于星期四通過原點做直線平行于晶向，將這條直線上結點的坐標化為沒有公約數(shù)的整數(shù)UVW，加上方括號[UVW];結點的坐標為負值時，在相應的指數(shù)頂上加負號[];對稱關聯(lián)的等同晶向用<UVW>表示.晶向空間點陣中由結點聯(lián)成的結點線和平行于結點線的方向，不同方向的晶向用晶向指數(shù)來表示:現(xiàn)在是46頁\一共有64頁\編輯于星期四

[100]

[010]

[001]

A(1,2/3,1)

B

(1,1,1)

C

(1,1,0)故圖示的晶向分別表示為

OB

[111]

OA[323]

OC

[110]CA(A點坐標減去C點坐標，再化為整數(shù))用晶向指數(shù)表示晶向由于基矢和A、B、C點的坐標[xyz]分別為CBAO

現(xiàn)在是47頁\一共有64頁\編輯于星期四例：求晶帶軸：定義:晶帶軸指數(shù)[UVW],晶帶軸矢量：R晶帶面指數(shù)（hkl），法向矢量:r*晶面的法線必然垂直于晶帶軸，即R·r*=0hU+kV+lW=0-------晶帶定律表明晶帶軸與所屬晶帶面指數(shù)之間存在的關系

現(xiàn)在是48頁\一共有64頁\編輯于星期四已知兩個晶面的指數(shù)(h1k1l1)(h2k2l2)，可求晶帶軸的指數(shù)(反之亦然)，由

聯(lián)立求解得

現(xiàn)在是49頁\一共有64頁\編輯于星期四

u=k1l2–k2l1v=l1h2–l2h1

由(hkl)求[uvw]w=h1k2–h2k1

h=v1w2–v2w1k=w2u2–w2u1

由[uvw]求(hkl)l=u1v2–u2v1現(xiàn)在是50頁\一共有64頁\編輯于星期四判斷三個晶面(h1k1l1)(h2k2l2)(h3k3l3)是否屬于同一晶帶[UVW]？三元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零：

現(xiàn)在是51頁\一共有64頁\編輯于星期四概述第一節(jié)X射線物理學基礎第二節(jié)晶體學基礎第三節(jié)X射線衍射的概念及幾何理論第四節(jié)衍射儀法第五節(jié)結構因子和消光規(guī)律第六節(jié)衍射指數(shù)的標注第七節(jié)物相分析第一章

X射線衍射(XRD)分析現(xiàn)在是52頁\一共有64頁\編輯于星期四一、衍射現(xiàn)象由于晶體中各原子規(guī)則排列，各原子的相干散射波在同一方向上的位相差恒定，便會發(fā)生相干干涉;在某些方向上散射波互相加強，而在另外的方向上散射波相互抵消，合成波的強度隨方向而改變，形成了一定的干涉花樣，這就是X射線的衍射現(xiàn)象;相干散射是衍射的基礎，衍射是物體對X射線散射的一種特殊表現(xiàn)形式。第三節(jié)X射線的衍射及幾何理論現(xiàn)在是53頁\一共有64頁\編輯于星期四二、衍射幾何理論

晶體產(chǎn)生衍射必須滿足一定的幾何條件，根據(jù)布拉格的證明，可以將晶體的衍射看成是某些晶面的“鏡面反射”結果，這些晶面和入射方向的夾角，面間距d，波長必須符合一定的關系，才能產(chǎn)生衍射。

一束平行的X射線以角照射到原子面上，干涉加強的條件是：晶體中任意兩相鄰原子面上的原子散射波在原子面反射方向的相位差是2的整數(shù)倍，或者波程差等于波長的整數(shù)倍?，F(xiàn)在是54頁\一共有64頁\編輯于星期四相鄰原子面P1，P2，經(jīng)該二原子面反射的反射波的波程差：

=EB+BF=2dsin

1布拉格方程如圖,一束波長為的X射線以角入射到面間距為d的一組平行原子面上，任選兩個現(xiàn)在是55頁\一共有64頁\編輯于星期四干涉加強的條件為：2dsin=n此即著名的布拉格方程。式中，n—為正整數(shù)，稱為反射級數(shù)；

—入射線或反射線與反射面的夾角，稱為掠射角，由于它等于入射線與衍射線的夾角的一半，故又稱為衍射半角，2稱為衍射角。布拉格方程是X射線在晶體中產(chǎn)生衍射必須滿足的基本條件,反映了衍射方向與晶體結構的關系。

布拉格方程是X射線在晶體產(chǎn)生衍射的必要條件而非充分條件。有些情況下晶體雖然滿足布拉格方程，但不一定出現(xiàn)衍射線，即所謂系統(tǒng)消光?，F(xiàn)在是56頁\一共有64頁\編輯于星期四2布拉格方程的討論①選擇反射：將衍射看成是反射，是布拉格方程的基礎，但衍射是實質(zhì)。衍射實質(zhì)：晶體中各原子散射波之間的干涉。衍射方向：相當于原子面對入射線的反射，可以借用鏡面反射規(guī)律來描述X射線的衍射幾何,對衍射方向的確定和應用帶來方便。注：鏡面反射與原子面反射的區(qū)別：可見光的鏡面反射：一束可見光以任意角投射到鏡面上都可產(chǎn)生反射;反射效率接近100%; X射線的原子面反射:不是任意的,只有當,,d之間滿足布拉格方程時才能發(fā)生反射(選擇反射);描述衍射的實質(zhì)問題(所有原子散射波干涉的結果);強度損失80%?，F(xiàn)在是5