立體幾何空間角

空間角專講座題及其求法教材地位分析高考地位分析地位分析（1）立體幾何板塊主要有兩大類型（1）判斷、推理型（2）有關(guān)的幾何量的計(jì)算，其中包括空間角、空間距離、體積的計(jì)算。

空間角及其求法是是立體幾何包括的重要組成部分，是立體幾何板塊的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。（2）在歷屆高考中，空間角及其求法是每年必考的內(nèi)容，與距離的計(jì)算、線面位置關(guān)系論證形成新的熱點(diǎn)，該部分的分值約6-16分，屬于中等難度。立體幾何高考分析

高考中，立體幾何板塊往往有4個(gè)題目：2個(gè)選擇題，一個(gè)填空題和1個(gè)大題。在大題中，一般是論證題和空間角（距離）計(jì)算組成。在選擇題中有時(shí)有一個(gè)題考查空間角的求法。高考要求理解空間角的概念、會(huì)求空間角的大小?？臻g角異面直線所成角直線與平面所成角二面角圖形定義表示范圍要點(diǎn)用什么度量？從一條直線引出的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。在空間任取一點(diǎn)o，分別作a，b的平行線，從而形成的的銳（直）角異面直線a，b所成角斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。線a與平面所成角找適當(dāng)點(diǎn)、找射影、二足作平行線相連空間角的求解步驟：1.作出所求的空間角<定位>2.證明所作的角符合定義<定性>3.構(gòu)造三角形并求出所要求角<定量>簡言之，空間角的求解步驟為：“一作”“二證”“三算”“一作”“二證”“三算”過D1作D1E//AM，再過N作NG//D1E，顯然為異面直線AM與CN所成角。通過解

即可。過D1作D1E//AM，作D1F//CN，顯然為異面直線AM與CN所成角。通過解

即可。途徑一途徑二途徑一途徑二

如圖，正方體，M、N分別為，的中點(diǎn)，求直線AM與CN所成角。例1.典例分析方法提煉例1.典例分析如圖棱長是1的正方體，P、Q分別是棱AB、CC1上的內(nèi)分點(diǎn)，滿足.

（1）求證：A1P⊥平面AQD；（2）求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值.RPQAA1CDBD1C1B1方法提煉（1）易證，略（2）如何作出線面角？過Q作QR平行AD，交BB1與R，連接AR，易知面ADQR即為面AQD

由（1）知A1P

⊥面AQD，設(shè)A1P交AR與S，連接SQ即可。由以上的作法可知即為所求角。S解析只需解△QSP即可。

在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。例2.DPBCAEF典例分析解析1定義法

過D作DE⊥PC于E，過E作EF⊥PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。

解析2PBCADNMQ

垂面法

易證面PAB⊥面PBC，過A作AM⊥BP于M，顯然AM⊥面PBC，從而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC⊥面AMN。設(shè)面AMN交PC于Q，則為二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。

跳轉(zhuǎn)

易證面PEDA⊥PDC，過E作EF⊥PD于F，顯然PF⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，過E作EG⊥PC于G，連接GF，由三垂線得GF⊥PC即角EGF為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可。

由解析3的分析過程知，△PFC為△PEC在面PDC上的射影，由射影面積公式得sin＝，余下的問題比較容易解決！

在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。PBCADEFPBCAD解析3例2.典例分析E利用三垂線求解FG

把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D。解析4射影面積法跳轉(zhuǎn)

在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。DBCAP解析5例3.典例分析利用空間余弦定理求解

在面PDC內(nèi)，分別過D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，連接EF即可。EF

利用平面知識(shí)求BF、EF、DE的長度，再利用空間余弦定理求出即可。復(fù)習(xí)方法提煉針對(duì)訓(xùn)練1

已知二面角－l

－，A為面內(nèi)一點(diǎn)，A到的距離為2，到l的距離為4。求二面角－l

－的大小。A.OlDOABPCEEOP針對(duì)訓(xùn)練2

如圖，三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)O，若PB=AB=1，BC=

，求二面角P-AB-C的正切值。KEY:KEY:針對(duì)訓(xùn)練撤消針對(duì)訓(xùn)練3

如圖P為二面角α–ι–β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。BPAβαιOKEY

120o針對(duì)訓(xùn)練4

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（－2,3）、B（3，－2），沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為的二面角后，，則的值為

。針對(duì)訓(xùn)練化歸專題小結(jié)

本專題主要復(fù)習(xí)空間角（包括異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角）的定義、求法，可總結(jié)為：空間問題技巧“移”、“補(bǔ)”、“換”平面問題線線角，用平移，妙選頂點(diǎn)，線面角，作射影，二足相連。二面角，求法多，空間余弦，用定義，三垂線，射影垂面。熟化歸，解三角，算準(zhǔn)結(jié)果，作證求，三環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣。求解的基本思路為：本專題到此結(jié)束，各位領(lǐng)導(dǎo)、老師、朋友，請批評(píng)、指正！！1.定義

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面上分別引垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。＝?

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。二面角的平面角二面角的平面角必須滿足：（1）角的頂點(diǎn)在棱上。（2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)。（3）角的邊都要垂直于二面角的棱。

返回求兩條異面直線所成的角關(guān)鍵在于妙選點(diǎn)、作平線。常選中點(diǎn)或線端點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)等作出符合要求的平行線。

返回中點(diǎn)方法提煉1方法提煉1

求兩條異面直線所成的角關(guān)鍵在于妙選點(diǎn)、作平行線。常選中點(diǎn)或線端點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)等作出符合要求的平行線。

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求直線和平面所成角要領(lǐng)“找射影，二足相連”。由于平面的一條斜線在這個(gè)平面的射影只有一條，所以關(guān)鍵在于尋該斜線在面上的射影。方法提煉2撤消求二面角的方法比較多，常見的有（1）定義法在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，（3）垂面法在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，（2）利用三垂線求解在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，(1)定義法（點(diǎn)在棱上）(3)垂面法（點(diǎn)在空間內(nèi)）oABoAAoB(2)三垂線定理法（點(diǎn)在面內(nèi)）如例3解析1如例3解析2如例3解析3方法提煉3（4）射影面積法利用射影面積與斜面的關(guān)系求解如圖所示，射影DBC、斜面△ABC與兩面所成的二面角之間有：ABCDHM（5）空間余弦定理運(yùn)用公式求解，如例3解析5返回方法提煉3（續(xù)）推廣EFmndClnmcnmc推廣ｃ2＝ａ2＋ｂ2ｃ2＝ａ