第06章機(jī)械波振動(dòng)波動(dòng)復(fù)習(xí)

振動(dòng)、波動(dòng)復(fù)習(xí)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程kmω=彈簧振子的角頻率j=t+cos()xAωTπ2mk==π21kmndxdtω22=+2x0微分形式一般形式振動(dòng)的周期振動(dòng)的頻率振幅A

和初相

由初始條件決定A=x0ωv0+222=ωjv0x0arctg()旋轉(zhuǎn)矢量A與參考方向x的夾角：相位

M點(diǎn)在x軸上投影點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

旋轉(zhuǎn)矢量xt)(cos=+ωAjAx0ωMPxω(t)+jA的長(zhǎng)度：振幅AA的旋轉(zhuǎn)角速度：A的旋轉(zhuǎn)的方向：角頻率ω逆時(shí)針?lè)较騿螖[在角位移很小的時(shí)候，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。單擺結(jié)論當(dāng)時(shí)角頻率、振動(dòng)的周期分別為：二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度Ax+=cos()tωjA+=sin()tωωjv)ωA+=cos2(ωtja簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位置簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度三、

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量動(dòng)能：勢(shì)能：機(jī)械能：三、

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量動(dòng)能：勢(shì)能：機(jī)械能：應(yīng)用2.已知初始條件和振動(dòng)頻率（周期），求振動(dòng)方程，并作出振動(dòng)曲線。3.已知振動(dòng)曲線，求振動(dòng)方程。1.已知振動(dòng)方程，求振動(dòng)周期、振動(dòng)初相和任意時(shí)刻的位置、相位、振動(dòng)速度、加速度等。4.證明某種物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并根據(jù)初始條件寫(xiě)出振動(dòng)方程。四、振動(dòng)的合成——同方向同頻率振動(dòng)的合成物體同時(shí)參與兩分振動(dòng)：cosx222=+A()tjωcosx111=+A()tjω合成后仍為一諧振動(dòng)：=+xx12x=cosω+A()tj=

若2k12πjj合振動(dòng)加強(qiáng)12=AAA+(2k+1)12=π若jj合振動(dòng)減弱12=AAA一般情況：=

若2k12πjj合振動(dòng)加強(qiáng)12=AAA+(2k+1)12=π若jj合振動(dòng)減弱12=AAA五、波動(dòng)波源和媒質(zhì)1.產(chǎn)生機(jī)械波的條件2.機(jī)械波的分類(lèi)橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行=Tuln=ul1=Tn3.周期、頻率、波長(zhǎng)、波速之間的關(guān)系頻率和周期只決定于波源，和媒質(zhì)無(wú)關(guān)。六、波動(dòng)方程1、寫(xiě)出波源的振動(dòng)方程：ωcosy0=tAj+)(xxuyoB2、寫(xiě)出波動(dòng)方程：正向傳播=tωcosyxuA)(j+反向傳播x=tωcosyuA)(j+波動(dòng)方程的其他形式：txTA=cosπ()2lj+ykx=Acostω)(j+ytxA=cosπ()2lj+ny表示x1

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程1）.=x1(常數(shù))x3、波函數(shù)的物理意義uyAωxt=cos)(1j+yto=tωcosyxuA)(j+表示在時(shí)刻的波形t1tt=(常數(shù))12）.=txAωcos()1uyj+yxoytOxx=+uΔt′3.

t

與x都發(fā)生變化y1x.yutx′.

這表示相應(yīng)于位移y1的相位，向前傳播了uΔt的距離。任意兩點(diǎn)間的位相差：x2xuyoBx1AuyAωxt=cos)(1j+AuyAωxt=cos)(2j+B應(yīng)用1.已知波動(dòng)方程，求振幅、周期、頻率、波長(zhǎng)以及波傳播路徑上各點(diǎn)的振動(dòng)速度、相位、運(yùn)動(dòng)方向等量。2.已知波傳播路徑上某點(diǎn)的振動(dòng)曲線（或振動(dòng)方程）以及波長(zhǎng)（或波速），求波動(dòng)方程。3.

已知某時(shí)刻的波形圖和波速，求波動(dòng)方程。七、波的干涉

相干波源：若有兩個(gè)波源，它們的振動(dòng)波源振動(dòng)方程:1**2ssr11ry22Py.ωt=y111Acos)(+Sjcosω=+ty222A)(Sj方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱(chēng)這兩波源為相干波源。P點(diǎn)振動(dòng)方程:rπω+t=y211Acos)(11jlπωyt2+r=2222cos)A(jlrr=222π11(ΔΦ)jjlωcosyp=tAj+)(2AAAAcosΦΔ=2++22211AP點(diǎn)的合振動(dòng)方程:1**2ssr11ry22Py.rr=222π11(ΔΦ)jjlωcosyp=tAj+)(2AAAAcosΦΔ=2++22211AP點(diǎn)的合振動(dòng)方程:1**2ssr11ry22Py.πππ111Acoscossinsin=+2πrr()))(((211tg222AAA221rr)+222lllljjjjj)22ΦΔ=πrr(1l波程差2rr1=kl±波程差r2()r12k2=+1l±——干涉加強(qiáng)AAA=+21——干涉減弱AAA=21+2k(1)π=±)22ΦΔ=πrr(1l若π2k=±)22ΦΔ=πrr(1l若=12若：則有：jj例題分析例1.已知一質(zhì)點(diǎn)（m=20kg）的振動(dòng)方程為求：1.振幅、周期、頻率和初相；2.t=0.2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和質(zhì)點(diǎn)所受合力；3.t=0.1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相位、振動(dòng)動(dòng)能、勢(shì)能和總能量。

解：1.t=0.2s

時(shí)加速度合力例1.已知一質(zhì)點(diǎn)（m=20kg）的振動(dòng)方程為求：1.振幅、周期、頻率和初相；2.t=0.2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和質(zhì)點(diǎn)所受合力；3.t=0.1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相位、振動(dòng)動(dòng)能、勢(shì)能和總能量。t=0.1s

時(shí)例1.已知一質(zhì)點(diǎn)（m=20kg）的振動(dòng)方程為求：1.振幅、周期、頻率和初相；2.t=0.2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和質(zhì)點(diǎn)所受合力；3.t=0.1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相位、振動(dòng)動(dòng)能、勢(shì)能和總能量。例2.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=5cm,初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置并向正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.25s

后，質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置，試寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，并作出振動(dòng)曲線。xt=0t=0.25s解：由圖知，初相圓頻率振動(dòng)方程xt(s)x0.250.50t=0例3.已知一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，試寫(xiě)出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。10-10-5x(cm)t(s)1解：-5-10x(cm)由圖知振動(dòng)方程例4.如圖所示，兩輕彈簧與小球串聯(lián)在一直線上，將兩彈簧拉長(zhǎng)后系在固定點(diǎn)A、B之間，整個(gè)系統(tǒng)放在光滑水平面上。設(shè)彈簧原長(zhǎng)分別為l1、l2，勁度系數(shù)為k1、k2，A、B間距離為L(zhǎng)，小球質(zhì)量為m。mk1k2ABL（1）試確定小球的平衡位置；（2）使小球沿彈簧長(zhǎng)度方向微移后放手，試證小球?qū)⒆骱?jiǎn)諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期。已知k1、k2、

l1、l2、L、m（1）試確定小球的平衡位置；mk1k2ABLxOl1l2x0f1f2解：平衡時(shí)其中（2）使小球沿彈簧長(zhǎng)度方向微移后放手，試證小球?qū)⒆骱?jiǎn)諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期。mk1k2ABLxOl1l2x0xOxmk1k2ABLl1l2Δl2Δl1f’1f’2由于設(shè)平衡時(shí)連彈簧的伸長(zhǎng)量分別為Δl1和Δl2所以小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)圓頻率周期例：下表中、為兩分振動(dòng)，為它們的合振動(dòng)。根據(jù)振動(dòng)的合成與分解填寫(xiě)下表例5.

兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周相差為π/6，若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為則第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為

cm，第一、二兩個(gè)諧振動(dòng)的周相差為

。解：用旋轉(zhuǎn)矢量法解A1A2A=20cmπ/610例5.

兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周相差為π/6，若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為則第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為

cm，第一、二兩個(gè)諧振動(dòng)的周相差為

。10A1A2A=20cmπ/6例6.已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C

為正值恒量。試求：（1）波的振幅、頻率、周期、波速與波長(zhǎng)；（2）寫(xiě)出傳播方向上距離波源l

處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；（3）試求任何時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為

D的兩點(diǎn)的周相差；txA=cosπ()2lj+ny振幅=A解：例6.已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C

為正值恒量。試求：（1）波的振幅、頻率、周期、波速與波長(zhǎng)；（2）寫(xiě)出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；（3）試求任何時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為

D

的兩點(diǎn)的周相差；距離波源l

處,x=l,該點(diǎn)的振動(dòng)方程為解：例6.已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C

為正值恒量。試求：（1）波的振幅、頻率、周期、波速與波長(zhǎng)；（2）寫(xiě)出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；（3）試求任何時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為

D的兩點(diǎn)的周相差；解：例7.

一簡(jiǎn)諧波沿OX

軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為4m，周期為4s。已知x=2m

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。（1）寫(xiě)出x=2m

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出波動(dòng)方程；（3）畫(huà)出t=1s

時(shí)的波形曲線；解：振動(dòng)方程t/sy/10-2myA/2ω例7.

一簡(jiǎn)諧波沿OX

軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為4m，周期為4s。已知x=2m

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。（1）寫(xiě)出x=2m

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出波動(dòng)方程；（3）畫(huà)出t=1s

時(shí)的波形曲線；以x=2m處為波源的波動(dòng)方程:原點(diǎn)處x’=-2m的振動(dòng)方程波動(dòng)方程解：例7.

一簡(jiǎn)諧波沿OX

軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為4m，周期為4s。已知x=2m

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。（1）寫(xiě)出x=2m

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出波動(dòng)方程；（3）畫(huà)出t=1s

時(shí)的波形曲線；解：波動(dòng)方程t=1s時(shí)例8.已知一以速率u=300m/s

沿

x

軸負(fù)向傳播的簡(jiǎn)諧波在t=0.1s

時(shí)的波形圖如圖所示。試寫(xiě)