四川省巴中市南江縣重點中學2023屆高三二模數(shù)學（理）試題及參考答案

屆四川省南江縣重點中學高三下學期模擬訓練二理科數(shù)學第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，則復數(shù)z在復平面上對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，，，則（）A． B． C． D．4．新能源汽車的核心部件是動力電池，碳酸鋰是動力電池的主要成分．從2021年底開始，碳酸鋰的價格一直升高．下表是我國某企業(yè)在2022年8月—12月的5個月內購買碳酸鋰價格（單位：千元）與月份代碼x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．由表可知其回歸直線方程為，則由此方程可預測2023年1月份的碳酸鋰價格為（）月份代碼x12345碳酸鋰價格y/千元0.50.811.21.5A．1.58 B．1.64 C．1.68 D．1.725．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．6．我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質潤澤，底足露胎，胎質致密，碗內口沿飾有一周回紋，內底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團菊花紋小盞口徑8.3厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側面積約為（）（單位：平方厘米）A． B． C． D．7．已知平面向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．8．已知，則的展開式中含項的系數(shù)為（）A．28 B．56 C．96 D．1289．已知數(shù)列的前n項和滿足，，則數(shù)列的前10項和為（）A．4162 B．4157 C．2146 D．214210．已知橢圓四個頂點構成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為，則橢圓C的方程是（）A． B． C． D．11．關于函數(shù)有下述四個結論：①不是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調遞增；③的最小正周期為；④的值域為．其中，所有正確結論的序號是（）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③12．在三棱錐中，，平面平面ABC，，點Q為三棱錐外接球O上一動點，且點Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本題共4小題，每小題5分．13．已知函數(shù)，則在點處的切線方程為______．14．寫出一個具有下列性質①②的數(shù)列的通項公式______．①；②數(shù)列的前n項和存在最小值．15．某社區(qū)為了豐富群眾的業(yè)余活動，倡導群眾參加踢毽子、廣場舞、投籃、射門等體育活動．在一次“定點投球”的游戲中，游戲共進行兩輪，每小組兩位選手，在每輪活動中，兩人各投一次，如果兩人都投中，則小組得3分；如果只有一個人投中，則小組得1分；如果兩人都沒投中，則小組得0分，甲、乙兩人組成一組，甲每輪投中的概率為，乙每輪投中的概率為，且甲、乙兩人每輪是否投中互不影響，各輪結果亦互不影響．則該小組在本次活動中得分之和不低于4分的概率為______．16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是C在第一象限上的一點，且直線的斜率為，點B為的內心，直線PB交x軸于點A，且，則雙曲線C的漸近線方程為______．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）如圖在平面四邊形ABCD中，，，，．（1）求邊BC；（2）若，求四邊形ABCD的面積．18．（本小題滿分12分）如圖1所示，在四邊形ABCD中，，E為BC上一點，且，，，將四邊形AECD沿AE折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐，點F在棱BE上，平面DCF與棱AB交于點G．（1）證明：；（2）若直線BD與平面ADF所成角的正弦值為，求．19．（本小題滿分12分）設拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，（其中O為坐標原點）的面積為4．（1）求a；（2）若直線l與拋物線C交于異于點P的A，B兩點，且直線PA，PB的斜率之和為，證明：直線l過定點，并求出此定點坐標．20．（本小題滿分12分）一水果連鎖店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：kg），得到如下頻率分布直方圖．（1）求過去30天內蘋果的日平均銷售量（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（2）若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，試估計360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)（結果保留整數(shù)）；（3）該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎品”活動，規(guī)定：每位會員可以投擲n次骰子，若第一次擲骰子點數(shù)大于2，可以獲得100個積分，否則獲得50個積分，從第二次起若擲骰子點數(shù)大于2，可以獲得上一次積分的兩倍，否則獲得50個積分，直到投擲骰子結束．記會員甲第n次獲得的積分為，求數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）討論的極值；（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范圍．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為．（1）求直線l的極坐標方程和圓C的直角坐標方程；（2）若直線l與x軸交于點P，點Q為圓C上的動點，求的取值范圍．23．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．（1）求的值域；（2）若的最大值為m，正實數(shù)a，b滿足，證明：．答案解析一、選擇題1．B【解析】由，得，即，由，得或，即，所以．故選B．2．A【解析】設，則，所以由，得，解得，，所以復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限．故選A．3．B【解析】因為，，，所以．故選B．4．D【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，，，因為回歸直線經(jīng)過點，所以，當時，．故選D．5．C【解析】由，得，所以是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，故排除B選項；因為，故排除D選項，令，解得，故只有兩個零點，故排除A選項．故選C．6．C【解析】設該圓臺的上底面、下底面的半徑分別為R，r，若當，時，則圓臺的母線長，所以其側面積為，若當，時，則圓臺的母線長，所以其側面積為，所以其側面積S滿足．故選C．7．A【解析】因為，，所以，，所以，所以，所以向量與的夾角為．故選A．8．B【解析】由題意知，所以的展開式的通項公式為，令，得，所以的展開式中的的系數(shù)為．故選B．9．B【解析】因為，所以當時，，得，當時，，所以，得，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，，，所以數(shù)列的前10項和為．故選B．10．A【解析】設，，則，，兩式作差并化簡整理得，因為線段AB的中點為，所以，，所以，由，得，又因為，解得，，所以橢圓C的方程為．故選A．11．C【解析】因為，，所以不恒成立，所以不是偶函數(shù)，故①正確；當時，，因為，所以在區(qū)間上先增后減，故②錯誤；因為，所以的最小正周期不是，故③錯誤；，所以的周期為，當時，，此時，當時，，此時，所以的值域為，故④正確．故選C．12．C【解析】取AC的中點M，因為，所以，因為平面平面ABC，平面平面，所以平面PAC，因為平面PAC，所以，因為，，所以平面ABC，設，則，所以，設外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，如圖所示，B，M，三點共線，且平面PAC．由，，得，，所以，連接，OA，則，由平面ABC，且外接圓的圓心為，可得．因為平面ABC，所以，平面PAC，所以點O到平面PAC的距離等于點到平面PAC的距離，因為點Q到平面PAC距離的最大值為，所以，得，所以，球O的體積為．故選C．二、填空題13．【解析】因為，所以，又因為，所以在點處的切線方程為，即．14．（答案不唯一）【解析】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因為數(shù)列的前n項和存在最小值，所以等差數(shù)列的公差，，顯然滿足題意．15．【解析】該小組在兩輪活動中得分之和為4分的概率為，該小組在兩輪活動中得分之和為6分的概率為，所以該小組在兩輪活動中得分之和不低于4分的概率為．16．或【解析】如圖，設內切圓B與的三邊分別相切于D，E，G三點，過P作軸于M點，因為，，，又由雙曲線定義得，即，又，故，即B點橫坐標為a，因為直線的斜率為，所以，，又，所以，故直線的方程為，代入，解得，即，因為，又，所以，故，得，，在中，由余弦定理得，即，化簡得，即，解得，或（舍去），所以，故雙曲線C的漸近線方程為或．三、解答題17．解：（1）因為，為銳角，所以．（2分）因為，，在中，由余弦定理得，即，得．（5分）（2）在中，由正弦定理得，即，所以．（7分）在中，由余弦定理得，即，解得．（9分）因為，，所以．（12分）18．解：（1）因為，，所以．因為平面DCFG，平面DCFG，所以平面DCFG，因為平面ABE，平面平面，所以．（5分）（2）因為，，，所以平面BCE，故以E為坐標原點，EA，EB分別為x，y軸，在平面BCE內過點E作BE的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，（7分）設，則，，，設平面ADF的法向量為，則，即，不妨令，則，，所以．（9分）因為直線BD與平面ADF所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或（舍），所以．（12分）19．解：（1）因為點在拋物線C上，所以，即，（2分）因為的面積為4，所以，解得，所以．（4分）（2）由（1）得，．當直線l斜率為0時，不適合題意；當直線l斜率不為0時，設直線，設，，由，得，則，，，（6分）因為直線PA，PB的斜率之和為，所以，即，所以，（8分）所以，整理得，（10分）所以直線，令，得，，所以直線l過定點．（12分）20．解：（1）由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，則．（3分）（2）由（1）得，因為日銷售量X近似服從正態(tài)分布，所以，所以估計360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)為．（6分）（3）依題意的可能取值為100，50，其分布列為：10050P所以，（7分）由題意得，所以，（10分）得，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，故．（12分）21．解：（1），，當時，，此時單調遞增，無極值；當時，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，無極小值；當時，令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無極大值．綜上，當時，函數(shù)無極值；當時，，無極小值；當時，，無極大值．（5分）（2）由及，得，，即．設，，當時，需．由，得，（7分），設，則，，當時，由，得，因為，所以，所以當時，則，即為增函數(shù)，則，為增函數(shù)，則，所以符合條件．（10分）當時，由，得，因為，所以，所以當時，，則即為減函數(shù)，則，為減函數(shù)，則，不符合條件．綜