上海市黃浦區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一模試卷含答案

高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一模試卷一、填空題1．函數(shù)的定義域是．2．已知集合，，則.3．在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)是4．已知向量，，若，則mn的值為.5．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于.6．某個(gè)品種的小麥麥穗長(zhǎng)度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.7．在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓交于點(diǎn)，則的值為.8．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.9．已知的三邊長(zhǎng)分別為4、5、7，記的三個(gè)內(nèi)角的正切值所組成的集合為，則集合中的最大元素為.10．現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票（其中3張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為．11．已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為.12．已知曲線與曲線，長(zhǎng)度為1的線段AB的兩端點(diǎn)A、B分別在曲線、上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則線段AB所掃過的區(qū)域的面積為.二、單選題13．在平面直角坐標(biāo)系中，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要14．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．平面平面ABNC．直線GB與AM是異面直線 D．直線GB與平面AMD無公共點(diǎn)15．已知，且函數(shù)恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在，則的取值范圍是（）A． B． C． D．16．設(shè)a、b、c、p為實(shí)數(shù)，若同時(shí)滿足不等式、與的全體實(shí)數(shù)x所組成的集合等于.則關(guān)于結(jié)論：①a、b、c至少有一個(gè)為0；②.下列判斷中正確的是（）A．①和②都正確 B．①和②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確三、解答題17．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.18．如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，且直線又棱為的中點(diǎn)，(Ⅰ)求證：直線；(Ⅱ)求直線與平面的正切值.19．某展覽會(huì)有四個(gè)展館，分別位于矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D處，現(xiàn)要修建如圖中實(shí)線所示的步道（寬度忽略不計(jì)，長(zhǎng)度可變）把這四個(gè)展館連在一起，其中百米，百米，且.（1）試從各段步道的長(zhǎng)度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長(zhǎng)y（單位：百米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求步道的最短總長(zhǎng)度（精確到0.01百米）.20．已知橢圓的離心率為，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于.動(dòng)直線、都過點(diǎn)，斜率分別為k、，與橢圓C交于點(diǎn)A、P，與橢圓C交于點(diǎn)B、Q，點(diǎn)P、Q分別在第一、四象限且軸.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：；（3）求直線AB的斜率的最小值，并求直線AB的斜率取最小值時(shí)的直線的方程.21．已知集合A和定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)任意，，都有，則稱是關(guān)于A的同變函數(shù).（1）當(dāng)與時(shí)，分別判斷是否為關(guān)于A的同變函數(shù)，并說明理由；（2）若是關(guān)于的同變函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，試求在上的表達(dá)式，并比較與的大小；（3）若n為正整數(shù)，且是關(guān)于的同變函數(shù)，求證：既是關(guān)于的同變函數(shù)，也是關(guān)于的同變函數(shù).

1．（-∞，2）2．（-3，5）3．804．-25．6．10.87．8．9．10．11．1012．13．C14．D15．B16．D17．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，，，又，可得，所以（2）解：由（1）可得，故，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為：.即：數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.18．解：證明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2∴△AED是以∠AED為直角的Rt△又∵AB∥CD,∴EA⊥AB又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB,（Ⅱ）如圖所示，連結(jié)PE，過A點(diǎn)作AH⊥PE于H點(diǎn)∵CD⊥EA,CD⊥PA∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE∴AH⊥平面PCD∴∠AEP為直線AE與平面PCD所成角在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=∴19．（1）解：設(shè)直線EF與AD，BC分別交于點(diǎn)M，N，若設(shè)百米，則，所以，又因?yàn)椋?若設(shè)，則，，，則，解得，又因?yàn)?，所以，所以?（2）解：設(shè)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長(zhǎng)度約為18.39百米.設(shè)），，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長(zhǎng)度約為18.39百米.20．（1）解：設(shè)橢圓C的焦距為2c，則由，且，可得，，所以橢圓C的方程為（2）證明：設(shè)，，則，，可得，解得，又，，所以（3）解：設(shè)，，直線，的方程分別為，，由（2）知，所以，又m，均大于0，可知，由可得，所以，即，同理可得，直線AB的斜率為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在橢圓C上，所以，又，可得，所以直線AB的斜率的最小值為，且當(dāng)直線AB的斜率取最小值時(shí)的直線的方程為.21．（1）解：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，，由，可得，又，所以，故是關(guān)于的同變函數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在，，使得，即，所以不是關(guān)于的同變函數(shù).（2）解：由是關(guān)于的同變函數(shù)，可知恒成立，所以恒成立，故是以2為周期的周期函數(shù).當(dāng)時(shí)，，由，可知.（提示：也可通過分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證）對(duì)任意的，都存在，使得，故.所以令，則，可得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（3）證明：因?yàn)槭顷P(guān)于的同