高中數(shù)學面積問題大專題

高中數(shù)學面積問題大專題（一）高考中出現(xiàn)過最難的題目，80%以上都是面積問題，面積問題的難度就體現(xiàn)在計算上的恐怖，但是令人詫異的是，幾乎所有的教輔和標答對于計算上的難度都視而不見，都是列出一個長長的式子然后“整理得”或者“解得”就把最兇險的一步跳過去了。簡單來說，如果學生的計算力是無敵的，那么圓錐曲線不需要任何技巧，只要硬算沒有什么是解決不了的，大部分學生的問題不是一點沒有思路，而是有個思路，但這個思路完全算不動或者基本算不對，所以這個系列的重點便是：簡化圓錐曲線面積問題中的計算。本篇從一個最基本的計算技巧開始，我本以為這個小技巧應該人人都知道，結(jié)果卻讓人大跌眼鏡，來看一個非常典型的題目：以下是該題的完整過程：注：在換元那步直接將判別式也同時換元，這樣便于后面直接寫判別式的結(jié)果，省去了說明m取值范圍滿足判別式大于0的步驟。本篇內(nèi)容較為基礎，后面會由淺入深，慢慢增加難度。（二）本篇看一個比較綜合的圓錐曲線題目：2017東湖區(qū)校級月考：個人比較喜歡這種題目，橢圓方程不用求，開門見山，直接搞起。(1)問是個定點問題，直接求AD方程似乎有些麻煩，因此最好先猜后證，功力比較深厚的同學，可以直接看出定點

（0，1/2）

,但是對于大多數(shù)同學來說，看一眼就得到具體坐標不現(xiàn)實，現(xiàn)實一點的猜法是考慮直線l斜率不存在，那么此時AD即是y軸，也就是M點必然在y軸上，既然在y軸上，那么直接就可以用高中圓錐曲線解題技巧之定點問題(五)講過的截距公式了：現(xiàn)在來看第(2)問，表面上和前一篇提到的例題有所不同，實際上是一樣的：注：就算為了嚴謹不丟分考慮判別式，參考本題解法最后一步驗證即可，沒必要在前面就將k的范圍解出來。這兩篇的核心思想就是：在處理類似的面積題目時，不要下意識地直接將弦長求出來，先看下三角形的底乘高是否有東西可以消掉。（三）從這篇開始，講一些真正的技術(shù)。我們知道，面積問題最難的部分在于計算，而計算之所以復雜，核心就在于聯(lián)立韋達定理那一套，從前面二十幾篇都看下來的同學應該有這個體會：凡是不聯(lián)立做出來的題目計算量都非常低。那么，面積問題不聯(lián)立也可以算嗎？答案是一部分面積問題完全不需要聯(lián)立，當然這里排除了仿射之類超綱的做法，只說大綱內(nèi)的范疇。把高中圓錐曲線解題技巧之面積問題(一)中的例題改一下：也就是取消了直線l過定點的條件，再求三角形AOB面積的最值?，F(xiàn)在想一個事情，這個新問題和舊問題相比，是不是變難了？用《是，大臣》里面的經(jīng)典臺詞來說，“Yes，andno”。從標準做法來看，這個問題難了很多，這里寫一下：其中最后階段的配方變形需要熟練掌握，也是標準做法的最重要部分，最好自己親自算幾遍。那么接下來，就是表演時間了，在表演之前，我們要先證一個結(jié)論，也就是三角形面積公式：在高中圓錐曲線解題技巧之巧解橢圓切線方程(三)中證過它，但是那個證法不是最優(yōu)的，當我們想要這個結(jié)論的時候，最好這樣證：（四）有了前兩篇的基礎，就可以對一些常規(guī)做法非常不友好的題目下手了，在高中圓錐曲線解題技巧之“垂徑定理”(一)中，例題選取的是2015浙江高考題的第一問，那么這里終于可以放出第(2)問了：2015浙江(理)：上述做法是目前為止這個題目在大綱范疇內(nèi)最“流氓”的做法，在確定是否可以取最大值時，是通過中點坐標來想的，但是在卷面上，由于通過剛才的分析我們直接知道了具體的解，因此過程就可以把分析那部分都略過了，直接寫出AB坐標即可。在下一篇中，我們用類似的方法解決一道更為有名的題目。（五）你沒看錯，這就是目前教材對于坐標伸縮變換的全部說明，也就是說，大綱內(nèi)對于伸縮變換沒有給出任何你可以用結(jié)論，你想利用伸縮變換解決高考中的任何問題，勢必都要經(jīng)過先證明結(jié)論這一步，為什么伸縮變換不會改變線段比？為什么橫坐標擴大n倍那么圖形面積同時也擴大n倍？為什么伸縮變換不會改變直線與圓錐曲線的位置關系？等把要用的這些東西都證完，仿射的優(yōu)勢也就蕩然無存了，因此高考中不到萬不得已，不要考慮仿射。書歸正傳，現(xiàn)在和這個名題過過招：2011山東(理)：這個題的第(1)問，用參數(shù)方程來解決：(2)問只要使用(1)問結(jié)論就可以了，千萬不要掉入聯(lián)立求弦長的陷阱中：（六）前幾篇介紹了參數(shù)方程求解一些面積問題上的應用，但是這種方法不是萬能的，有些題目這么解反而更麻煩：2015山東(理)：第(1)問和(2)問的(i)問都是白送的，(1)

x2/4+y2=1

;(2)(i)

2但是第(ii)問失分率極高，很多同學明明會做結(jié)果還是丟了分，原因就是審題不仔細而掉進了陷阱，看一下本題的示意圖：本題中，P與Q是在不同的象限，題目中說的是Q在射線PO上，而很多同學下意識以為Q在射線OP上，也就是當成P與Q同在一個象限內(nèi)去算了，結(jié)果輸在起跑線上。這個題首先要轉(zhuǎn)化問題，也就是將三角形ABQ的面積變成一個更好算的東西，(2)問的(i)小問其實是一個提示，暗示利用三角形AOB和三角形ABQ面積的比例關系，轉(zhuǎn)化為計算AOB面積最值的問題。而計算三角形AOB面積假如仍然套用上一篇的做法，就會出現(xiàn)問題：盡管很快又能得到

SAOB=4sin丨阝-a丨

的形式，但是AB這條直線是有限制的，而且限制是與橢圓C有交點。而前幾篇的題目，要么沒有限制，要么限制很容易表達出來，如果有較深厚的三角函數(shù)變形功底當然也可以做出來，但得不償失，反而老老實實聯(lián)立來的更快更穩(wěn)：在高中圓錐曲線解題技巧之面積問題(三)的結(jié)尾處我說過傳統(tǒng)的聯(lián)立配方求最值必須掌握，就是為了面對這樣的問題，如果發(fā)現(xiàn)捷徑走不動，要果斷放棄回到正規(guī)軌道上來。用仿射來做當然是非常簡單的，在很后面也就是常規(guī)技巧都講完之后會簡單講一下仿射，用處只有一個：起手出答案，當發(fā)現(xiàn)自己常規(guī)作法的結(jié)果不正確時便于及時修正，切不可過于依賴以至于傳統(tǒng)做法不熟練。盡管本專欄很多題目的做法都不是那么傳統(tǒng)，但是不用不代表可以不會，每一個圓錐曲線題目的傳統(tǒng)做法都必須掌握，甚至在一些題目中，返璞歸真的做法反而更加精彩(七）再用一個例題來說明何時使用參數(shù)方程解決一些常規(guī)做法比較復雜的面積問題：2016北京通州一模：(1)問略，來看(2)問，這個題又是問三角形AOB的面積，設參數(shù)方程的話很容易表示出來，現(xiàn)在問是否為定值，也就是在問sin丨a-阝丨

是否為定值，這個先放一邊，我們看題目中的其他條件：四邊形OABC為平行四邊形，參數(shù)方程設的是坐標，將平行四邊形這個條件與坐標聯(lián)系起來最快的方式就是向量，稍微想一下這個條件用參數(shù)方程的坐標形式表示起來并不復雜，因此參數(shù)方程的角度大概率是可行的，開始動手：到這里總結(jié)一下：如果題目中已知條件給出了三角形AOB面積為定值，或者讓你證明其為定值，那么參數(shù)方程的解法大概率是可行的；如果題目中問的是三角形AOB面積的最大值，那么要看直線AB是否有限制，或者A點與B點是否有限制，如果沒有，那么直接寫即可；如果有，就要想一下這個限制用三角函數(shù)坐標的形式是否很容易“翻譯”出來，如果比較麻煩或者很難整理比如像前一篇的例題那樣，那么最好想其他辦法，或者干脆回歸傳統(tǒng)聯(lián)立的方式，做決定的時間不宜超過2分鐘。下一篇從其他角度介紹三角函數(shù)在圓錐曲線中的應用，也就是非參數(shù)方程解法中通過三角函數(shù)去解決一些比較復雜的問題。（八）本篇的例題是去年新鮮出爐的全國II解析幾何大題，從難度上講，作為一道壓軸題來說是偏弱的，(2)問的(i)問在高中圓錐曲線解題技巧之第三定義(一)里講過了，這里講一下(ii)問：2019全國II(理)：由于(2)(i)的做法沒有聯(lián)立，因此有一些同學詢問：(i)問不聯(lián)立利用第三定義確實做得很快，但(ii)問如果聯(lián)立做的話，那么好像也沒怎么節(jié)約時間和篇幅。這個疑問確實很有道理，但關鍵就在于，(ii)問確實也是不需要聯(lián)立的。（九）接下來幾篇主要講一類頻度很高的面積問題，也就是圍繞焦點弦尤其是橢圓焦點弦出現(xiàn)的面積問題。高中圓錐曲線解題技巧之第二定義(一)中講了通過圓錐曲線第二定義得到焦半徑公式，其實焦半徑還有一個從極坐標得來的公式，將焦點作為極點，令焦半徑與極軸夾角為θ，那么由圓錐曲線的極坐標統(tǒng)一定義：（十）看起來好像很多步，其實有一大半都是必要的廢話，實際的計算量非常低，尤其是使用前面提到過的同理替換思想，得到|FN|的同時，就得到了|FM|，之后利用基本的三角函數(shù)與不等式知識即可求得三角形FMN面積的最值，而前一篇中的分式形式求最值要復雜不少。本篇的焦半徑公式是必背的二級結(jié)論，當然如果對極坐標掌握較好的同學就不用背了，隨時用圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程都可以推出來。這個結(jié)論小題中直接用，大題中為了穩(wěn)妥用余弦定理過渡一下即可。（十一）今天選錄的例題是近幾年里全國I卷最難的一道題，不少同學這個題目一分未得，因為第(1)問就沒做出來：2016全國I(理)：第(1)問是個平面幾何問題，而不是一個平面解析幾何問題，但是很多同學第一問看到距離就只能想到兩點間距離公式，然后發(fā)現(xiàn)E點坐標都算不出來，垂死掙扎，一片狼藉。第(1)問完全地當成初