醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)

醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五任務(wù)1總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)與優(yōu)良性

一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

定義1設(shè)總體X的分布函數(shù)形式為已知，是待估參數(shù)，是X的一個(gè)樣本，

是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。所謂點(diǎn)估計(jì)問題就是要構(gòu)建一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，用其觀察值作為未知參數(shù)的近似值來估計(jì)未知參數(shù)，稱為的估計(jì)量，為的估計(jì)值。簡(jiǎn)記為，這類對(duì)于參數(shù)值的估計(jì)稱為點(diǎn)估計(jì)。第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

定義2

矩是描述隨機(jī)變量最簡(jiǎn)單的數(shù)字特征，是以均值為基礎(chǔ)的數(shù)字特征，均值是一階矩，方差是二階中心矩。總體期望值（均值）、總體方差與總體標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)量分別是二、矩估計(jì)法第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五例1對(duì)糖尿病患者隨機(jī)選取10名經(jīng)檢驗(yàn)空腹血糖水平的測(cè)定值(mmol/L)為5.47，6.17，6.42，6.56，6.62，6.81，7.12，7.20，8.41，8.53。假定該批患者的空腹血糖值服從正態(tài)分布，其中，分別是正態(tài)總體的均值和方差。試求該批患者空腹血糖均值和方差的點(diǎn)估計(jì)值。第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五解由10名空腹血糖的實(shí)測(cè)值計(jì)算得：樣本均值=6.331樣本方差=4.657故的點(diǎn)估計(jì)值是的點(diǎn)估計(jì)值是的點(diǎn)估計(jì)值是第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五三、估計(jì)量?jī)?yōu)良的衡量標(biāo)準(zhǔn)(一)無偏性定義3設(shè)參數(shù)的估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望存在且等于，即，稱是的無偏估計(jì)量，否則稱為有偏估計(jì)量。第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五例2設(shè)總體X服從任意分布，且總體X的均值，方差，是取自該總體的樣本，證明

（1）樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量；

（2）樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量。第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五證樣本相互獨(dú)立，與總體服從相同分布，可以得（1）根據(jù)數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得所以，是的無偏估計(jì)量：（2）根據(jù)樣本方差公式可得

第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五利用關(guān)于方差的定理得因此使用數(shù)學(xué)期望的定理得第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五所以，是的無偏估計(jì)量：第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（二）有效性定義4設(shè)與都是參數(shù)的無偏估計(jì)量，如果則稱比更有效。例4設(shè)與都是總體均值的無偏估計(jì)量，證明樣本均值比總體均值的另一個(gè)無偏估計(jì)量更有效。第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五任務(wù)2區(qū)間估計(jì)概述定義5設(shè)總體X的分布函數(shù)中含有未知參數(shù)，對(duì)于給定的概率值，由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和且，有則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間。第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五任務(wù)3正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)對(duì)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)分為正態(tài)總體方差已知和未知兩種情況。（一）已知時(shí)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)因?yàn)榈?3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五對(duì)于給定的置信度查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值表可得臨界值使得：

可得

由此得第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五于是得到總體均值的置信度為的置信區(qū)間為：

簡(jiǎn)寫為：第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

案例1某藥廠隨機(jī)抽取12名新入學(xué)的學(xué)生，用某批號(hào)結(jié)核菌素作皮試，皮膚浸潤(rùn)直徑為正態(tài)總體，測(cè)得該12名新生皮膚浸潤(rùn)直徑分別為（單位：mm）：8.89.18.710.37.68.49.311.210.711.68.28.7

試求該批號(hào)結(jié)核菌素皮試平均浸潤(rùn)直徑的均值的95%置信區(qū)間。第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五解計(jì)算樣本均值因?yàn)橹眯哦鹊?/p>

，查附表2得

，又n=12，故所以該批號(hào)結(jié)合菌素皮膚平均浸潤(rùn)直徑的均值的95%置信區(qū)間為（8.77，10.03）。第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（二）未知時(shí)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)由于未知，可以用的無偏估計(jì)代替，得到樣本統(tǒng)計(jì)量：第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五由于t分布曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于已給的置信度，結(jié)合其自由度df=n-1，查t分布的臨界值表，得臨界值，使得：于是

即

第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五即故總體均值的置信度為的置信區(qū)間為:簡(jiǎn)寫為:第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

案例2某醫(yī)師為了認(rèn)證某新研制的安眠藥的療效，從已確認(rèn)的神經(jīng)衰弱的病人中隨機(jī)抽取25例病人服用該種新藥，計(jì)算得到平均睡眠時(shí)間為6.42小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為2.17小時(shí)。如果該藥治療的平均睡眠時(shí)間近似服從正態(tài)分布，試求該藥治療的平均睡眠時(shí)間的95%置信區(qū)間。

解已知,自由度

df=n-1=25-1,查附表4得:第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五由此得:所以該藥治療的平均睡眠時(shí)間的95%的置信區(qū)間為(5.52,7.32)第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五二、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體,未知參數(shù),求未知參數(shù)的置信區(qū)間。由于分布曲線不關(guān)于Y軸對(duì)稱，對(duì)于已給的置信度可選取適當(dāng)?shù)呐R界值,

使得第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五可得第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五即所以得總體方差的置信度為的置信區(qū)間為:第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

案例3某藥廠對(duì)某批已打包藥品進(jìn)行隨機(jī)抽檢，測(cè)得9包藥的重量（kg）如下：49.248.950.251.447.951.549.250.448.5，試求該批成包藥品重量總體方差90%的置信區(qū)間。

解由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得,而n=9,因查附表3得臨界值：

第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五則故總體方差的90%的置信區(qū)間為（0.818，4.640）。

第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)小結(jié)一、學(xué)習(xí)內(nèi)容

第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五二、學(xué)習(xí)指南1．估計(jì)未知參數(shù)分點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。在點(diǎn)估計(jì)中最常用的是矩估計(jì)法，使用的是替換原則，即總體期望值、總體方差與總體標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)量分別是是2．矩估計(jì)方法直觀而又簡(jiǎn)單，適用廣，使用方便。對(duì)于同一參數(shù)，使用的估計(jì)方法不同，從而求出的估計(jì)量可能不相同，這就涉及用無偏性和有效性作為標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)估計(jì)量的優(yōu)良性問題。3．樣本均值與樣本方差分別是總體均值與總體方差的無偏、有效和一致估計(jì)量。

第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4．點(diǎn)估計(jì)由于樣本的隨機(jī)性，不能明確其與真值的誤差與估計(jì)的可靠性，因而使用更加廣泛的是參數(shù)的區(qū)間估計(jì)法。由于以置信區(qū)間按置信度對(duì)總體X的一個(gè)待估計(jì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，解決了參數(shù)估計(jì)的精確度和可靠度問題。在區(qū)間估計(jì)中，精確度（區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度）和可靠度即置信度（估計(jì)的區(qū)間包