如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

第頁(yè)如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念1要了解概念的定義形式

"概念'有兩個(gè)屬性:內(nèi)涵(即滿足什么條件)和外延(即包涵哪些內(nèi)容)。數(shù)學(xué)中的概念大部分是內(nèi)涵定義,如數(shù)軸的定義:"規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向的直線叫數(shù)軸。'它的基本格式是:滿足A的B叫C。這里C代表給出的"概念'(數(shù)軸),B代表與"概念'最接近的一個(gè)已知定義(直線),A代表B滿足的條件(規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向)。但也有一些概念采納的是"外延定義'。如數(shù)的擴(kuò)大:整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。"外延定義'直觀明了地說(shuō)明包涵的對(duì)象。不管哪一種定義形式,都要明確它的內(nèi)涵和外延。

2要理解概念的形成過程

數(shù)學(xué)概念的形成都是在原來(lái)的知識(shí)基礎(chǔ)上形成的。如初中將要學(xué)習(xí)一個(gè)概念――有理數(shù)。在這之前,小學(xué)里已經(jīng)學(xué)過整數(shù)、分?jǐn)?shù)(包括小數(shù)),即正有理數(shù)及0。其實(shí),有理數(shù)這個(gè)新概念只是在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了負(fù)數(shù),就是在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)。有理數(shù)的加減乘除的法則及其運(yùn)算律與小學(xué)完全相同,只不過是要先確定符號(hào)而已。搞好新舊知識(shí)之間的銜接與聯(lián)系,就容易掌數(shù)學(xué)概念。

3要抓住概念的本質(zhì)特征

概念是同類事物本質(zhì)特征的概括。學(xué)概念,抓本質(zhì)。如平行線的定義是:"在同一平面內(nèi)不相交的直線叫平行線。'概念本質(zhì)是"在同一平面內(nèi)'和"兩條直線不相交'。因?yàn)榭臻g中或在不同的平面內(nèi),"不相交'還有其他狀況,所以必須指明"在同一面內(nèi)',否則不相交的直線未必是平行線。還要注意,直線是無(wú)限長(zhǎng)的,現(xiàn)實(shí)中只能畫出其中的一部分,畫出的部分不相交,沒有畫出的部分也不相交,這還必須要依靠想象力去理解平行線概念的本質(zhì)。再如,"1和2互為余角',要明確"互為'的本質(zhì):1是2的余角,2也是1的余角,還有1+2=90,以及這個(gè)式子的變形1=90-2,等等。這幾者之間要達(dá)到融會(huì)貫穿,舉一反三。

4要明確數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別

許多概念之間都有著密切的聯(lián)系與區(qū)別。把握這些聯(lián)系與區(qū)別,就能更好地理解這些概念。如,角的平分線和三角形的角平分線,雖都是平分角的,但前者是一條射線,后者卻是一條線段。類似的,三角形的中線與中位線雖然只有一字之差,卻是兩個(gè)完全不同的概念。再如直線、射線、線段3個(gè)概念聯(lián)系密切,它們都是直的。這樣密切的聯(lián)系甚至貫穿于以后的學(xué)習(xí)。像在學(xué)習(xí)平行(垂直)概念時(shí),僅僅定義直線與直線平行(垂直)就可以了,而不再特別定義學(xué)習(xí)直線與射線、線段平行(垂直),就因?yàn)樗鼈兌际侵钡?。同時(shí)它們之間又有區(qū)別:端點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同;有的能夠度量,有的不能度量;有的是延伸,有的能延長(zhǎng);等等。

2學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

溫故法:不管是皮亞杰還是奧蘇伯爾在概念學(xué)習(xí)的理論方面都認(rèn)為概念教學(xué)的起步是在已有的認(rèn)知的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。因此在教授新概念之前,如果能先對(duì)同學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念作一些適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)上的變化,再引入新概念,則有利于促進(jìn)新概念的形成。

例如:在高中階段講解角的概念的時(shí)候最好重新溫故一下在初中階段角的定義,然后從角的范圍進(jìn)行推廣到正角、負(fù)角和零;從角的表示方法進(jìn)行推廣到弧度制,這樣有利于同學(xué)思維的自然過渡較易接受。又如在講解線性映射的時(shí)候最好首先溫故一下映射的概念,在講解歐氏空間的時(shí)候同樣最好溫故一下向量空間的概念。

索因法:每一個(gè)概念的產(chǎn)生都具有豐富的背景和真實(shí)的原因,當(dāng)你把這些原因找到的時(shí)候,那些鮮活的內(nèi)容,使你不想記住這些概念都難。例如三角形的四個(gè)心:內(nèi)心、外心、旁心和重心,很多同學(xué)總是記混這些概念。內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn),因?yàn)槭侨切蝺?nèi)切圓的圓心而得名內(nèi)心;外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),因?yàn)槭侨切瓮饨訄A的圓心因而的名外心;旁心是三角形一個(gè)內(nèi)角平分線和兩個(gè)不相鄰的外角平分線的交點(diǎn),因?yàn)槭侨切闻郧袌A的圓心而得名旁心;重心是三角形三條中線的交點(diǎn),因?yàn)槭侨切蔚闹亓ζ胶恻c(diǎn)而得名重心。

當(dāng)你了解了上述內(nèi)容,你有怎么可能記混這些概念呢?又例如:點(diǎn)到直線的距離是這樣定義的,過點(diǎn)做直線的垂線,則垂線段的長(zhǎng)度,便是點(diǎn)到直線的距離。那么為什么不定義為點(diǎn)和直線上任意點(diǎn)連線的線段的長(zhǎng)度呢?因?yàn)橹挥写咕€段是最短的,具有確定性和唯一性。再如:我們之所以把n元有序數(shù)組也稱為向量,一方面固然是由于它包括通常的向量,作為特別的情形;另一方面也是由于它與通常的向量一樣可以定義運(yùn)算,并且有許多運(yùn)算性質(zhì)是共同的。像這樣的例子還有很多,不再一一羅列。

聯(lián)系法:數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性,任意數(shù)學(xué)概念都是由假設(shè)干個(gè)數(shù)學(xué)概念聯(lián)系而成,只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系,才干徹底理解數(shù)學(xué)概念。例如在學(xué)習(xí)數(shù)列的時(shí)候,我們無(wú)妨作如下分析:數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),是有規(guī)律的。那規(guī)律是什么呢?項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律、項(xiàng)與項(xiàng)之間的規(guī)律、數(shù)列整體趨勢(shì)的規(guī)律。項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律就是我們說(shuō)的通項(xiàng)公式,項(xiàng)與項(xiàng)之間的規(guī)律就是我們所說(shuō)的遞推公式,數(shù)列整體趨勢(shì)的規(guī)律就是我們所說(shuō)的極限問題。

比喻法:很多同學(xué)概念不清的原因是覺得概念單調(diào)乏味、沒有興趣,從而不去重視它、深究它,所以我們?cè)谥v解概念的時(shí)候,無(wú)妨和生活相聯(lián)系作些形象地比喻,以達(dá)到吸引同學(xué)提升學(xué)習(xí)興趣的效果。例如:在講解映射的時(shí)候,無(wú)妨把映射的法則比喻成男女戀愛的法則。兩個(gè)人可以同時(shí)喜愛上一個(gè)人,但一個(gè)人不可以同時(shí)愛上兩個(gè)人。

這不正是映射的法則:集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都唯一的像與之對(duì)應(yīng)嗎?又如函數(shù)可以理解為一個(gè)黑匣子或交換器,投入的是數(shù)產(chǎn)出的也是數(shù);投入一個(gè)數(shù)只能產(chǎn)出一個(gè)數(shù);但是當(dāng)投入不同數(shù)的時(shí)候可以產(chǎn)出同一個(gè)數(shù)。再如:滿足和的像等于像的和、數(shù)乘的像等于像的數(shù)乘的映射稱之為線性映射。這不正像一個(gè)人怎么舞動(dòng)他的影子就怎么舞動(dòng)嗎?所以有的時(shí)候把線性映射理解為"人影共舞'的映射。

3小學(xué)數(shù)學(xué)概念創(chuàng)造性教學(xué)的教學(xué)原則

1、主體性原則。主體性原則，就是要尊重同學(xué)的主體地位，發(fā)揮〔教師〕的主導(dǎo)作用，在創(chuàng)造性教學(xué)過程中充分發(fā)揮教師和同學(xué)各自的主體精神和主體作用，教師創(chuàng)造性地教，同學(xué)創(chuàng)造性地學(xué)，使教、學(xué)的主體共同參加整個(gè)教學(xué)過程。教學(xué)是師生雙方的共同活動(dòng)，從知識(shí)水平、同學(xué)的思想品德教育、對(duì)同學(xué)心理特點(diǎn)的掌握和教學(xué)規(guī)律的運(yùn)用來(lái)說(shuō)，教師是教的主體;從教學(xué)是為了實(shí)現(xiàn)同學(xué)知識(shí)、能力、思想品德的轉(zhuǎn)化來(lái)說(shuō)，同學(xué)是學(xué)的主體。教學(xué)中如果沒有同學(xué)主動(dòng)的感知、思維，單憑教師的灌輸，同學(xué)的熟悉無(wú)法實(shí)現(xiàn);如果只有同學(xué)主動(dòng)的感知、思維，而沒有教師的引導(dǎo)，同學(xué)的熟悉同樣無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因此在進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué)時(shí)必須遵循主體性原則，因?yàn)樗菍?shí)現(xiàn)創(chuàng)造性教學(xué)的的前提。

2、探究性原則、探究性原則，就是教師要努力使教學(xué)活動(dòng)富有探究性，為同學(xué)創(chuàng)設(shè)進(jìn)行觀察、探究、發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境，激勵(lì)同學(xué)質(zhì)疑問難，大膽聯(lián)想，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造興趣，引導(dǎo)同學(xué)通過親身體驗(yàn)獲取新知，把教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為同學(xué)自覺進(jìn)行探究新知的過程，使同學(xué)積極主動(dòng)地在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)探究的樂趣。探究性原則是創(chuàng)造教育培養(yǎng)創(chuàng)造型人才的根本目的決定的。這是因?yàn)椋瑐鹘y(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)以傳授為主，以"告訴'的方式讓同學(xué)"占有'人類已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，造成了置同學(xué)于被動(dòng)地位，只能形成對(duì)講授傳播的依賴性和被動(dòng)性，無(wú)法經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)的過程，沒有求異思維、馳騁想象的機(jī)會(huì)，抹殺了同學(xué)在求知過程中主動(dòng)探究、積極思維的潛在能力。實(shí)施探究性原則要注意：教師要精心〔制定〕問題，引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、討論、發(fā)現(xiàn);要給予同學(xué)充分的思索時(shí)間，重視同學(xué)的思維過程;要激勵(lì)同學(xué)大膽進(jìn)行聯(lián)想和推測(cè)，發(fā)展同學(xué)的直覺思維。

3、施行性原則。施行性原則，就是在教學(xué)中要重視理論聯(lián)系