云南昆明市東川區(qū)明月中學(xué)2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精云南省昆明市東川區(qū)明月中學(xué)2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析2019年春季學(xué)期高二年級(jí)期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題第I卷（選擇題)一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1。已知集合M＝{x|(x－1）2＜4,x∈R}，N＝｛－1，0，1，2，3}，則M∩N＝（)A。{0，1，2｝ B.{－1，0,1，2} C.｛－1，0，2，3} D.{0,1，2，3}【答案】A【解析】試題分析：求出集合M中不等式的解集,確定出M，找出M與N的公共元素,即可確定出兩集合的交集．解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M=｛x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1,0,1，2，3｝，∴M∩N={0，1，2}．故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2.若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則=A。1+i B.1?i C.?1+i D。?1?i【答案】B【解析】試題分析：，選B?！究键c(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目。從歷年高考題目看，復(fù)數(shù)題目往往不難，一般考查復(fù)數(shù)運(yùn)算與概念或復(fù)數(shù)的幾何意義，也是考生必定得分的題目之一.3。下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)是(）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義以及零點(diǎn)的定義判斷．【詳解】選項(xiàng)A,是非奇非偶函數(shù),且沒(méi)有零點(diǎn),選項(xiàng)B,沒(méi)有零點(diǎn)，選項(xiàng)C,是奇函數(shù)，選項(xiàng)D,是偶函數(shù),又有解，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)．故選D【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)和零點(diǎn)的概念．4.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】試題分析:由三視圖分析可知,該幾何體的表面積為圓錐的表面積與圓柱的側(cè)面積之和．，，所以幾何體的表面積為．考點(diǎn)：三視圖與表面積．5。若實(shí)數(shù)、滿足約束條件則的最小值是（）A. B。 C。 D.3【答案】B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=?2x+z,平移直線y=?2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=?2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即B(?1，?1)，此時(shí)z=?1×2?1=?3，故選B6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三,問(wèn)物幾何？"人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如．現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A. B。 C。 D.【答案】C【解析】從21開(kāi)始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3，滿足條件的是23，故選C。7.某市一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè),經(jīng)抽樣分析,成績(jī)近似服從正態(tài)分布，且.該市某校有400人參加此次統(tǒng)測(cè),估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的人數(shù)為(）A。60 B。80 C.100 D。120【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，乘以400得答案.【詳解】解：∵近似服從正態(tài)分布，，

，

∴該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的人數(shù)為400×0.3＝120。

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.下列選項(xiàng)中,說(shuō)法正確的是（）A.命題“，”的否定為“,”；B.命題“在中，,則”的逆否命題為真命題；C。已知、m是兩條不同的直線，是個(gè)平面，若，則；D.已知定義在R上的函數(shù),則“為奇函數(shù)”是“”的充分必要條件?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由特稱命題的否定為全稱命題，即可判斷A；由，可得，再結(jié)合原命題與逆否命題等價(jià)，即可判斷B;由線面平行的性質(zhì)定理，即可判斷C；根據(jù)奇函數(shù)的定義,即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，由特稱命題的否定為全稱命題,可得命題“，"

的否定為“，”，故A錯(cuò)；

對(duì)于B，命題“在中，，則"為假命題，比如,則．

再由原命題與其逆否命題等價(jià),則其逆否命題為假命題，故B錯(cuò)；對(duì)于C，已知、m是兩條不同的直線,是個(gè)平面,若，則存在，，必有,又，則，所以,故C正確；對(duì)于D，已知定義在R上的函數(shù)，若為奇函數(shù),則，則，所以，滿足充分性;但不能推出為奇函數(shù)，不滿足必要性，則“為奇函數(shù)”是“"的充分不必要條件,故D錯(cuò).故選:C?！军c(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是命題的否定、四種命題的真假、充分必要條件的判斷和奇偶性的定義，考查判斷和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且(其中為原點(diǎn)），那么的值是(）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】O為圓的圓心，所以易知，則圓心O到直線的距離等于，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式有，所以，故選擇B.方法點(diǎn)睛：直線與圓相交時(shí)，通常考慮由弦心距、弦長(zhǎng)的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理來(lái)解題.本題根據(jù)等腰三角形頂角為，底角為，弦心距、弦長(zhǎng)的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)幾何圖形，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑的一半來(lái)求解，考查數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用。10。已知，都為銳角,若，，則的值是（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用求得，由此求得的表達(dá)式，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),并利用齊次方程計(jì)算出的值?！驹斀狻坑捎?，所以，所以.故選B?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查余弦函數(shù)的零點(diǎn)，考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及齊次方程，屬于中檔題。11。公差不為0等差數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列且，則（）A。20 B。22C.24 D.28【答案】B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，所以，所以等比數(shù)列的公比，所以,又,所以，所以，解得，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．12。已知F1,F2為雙曲線C的左,右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線分別交C的左,右兩支于A，B兩點(diǎn)，若△AF2B為等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，那么C的離心率為（）A.2 B.C。3 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義可以得到,進(jìn)一步有，，再利用余弦定理確定出和關(guān)系,由此求出結(jié)果.【詳解】△AF2B為等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，設(shè)由雙曲線的定義有，則，則所以，則，，由余弦定理有：即整理得：,所以，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時(shí)要注意應(yīng)用雙曲線的定義和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13。的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是_________.（用數(shù)字填寫答案)【答案】10【解析】試題分析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(，1，2，…，5），令得，所以的系數(shù)是.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫出通項(xiàng),再確定r的值，從而確定指定項(xiàng)系數(shù)。14.設(shè),向量，，，且，，則=．【答案】15【解析】試題分析：由得由得,．考點(diǎn):平面向量平行與垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示及數(shù)量積運(yùn)算．15。若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)等于1的圓上運(yùn)動(dòng)．則的最小值為_(kāi)_________．【答案】3【解析】由于點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，則等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離.又圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則.當(dāng)點(diǎn)為原點(diǎn)，為時(shí)取等號(hào)。故得最小值為,故答案為。16。已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面平面SCB，，,三棱錐的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_____．【答案】36π【解析】三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC,三棱錐S?ABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形,設(shè)球的半徑為r,可得,解得r=3.球O的表面積為：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切,一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17。設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知(1)求；（2）若求的面積.【答案】⑴;⑵【解析】【分析】（1)先利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求得。（2）先利用余弦定理求出a=3,再利用三角形的面積公式求的面積.【詳解】(1）由已知以及正弦定理可得，，，（2）由（1)以及余弦定理可得，解得或舍去【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.18。在貫徹中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過(guò)程中，某單位定點(diǎn)幫扶甲、乙兩個(gè)村各50戶貧困戶。為了做到精準(zhǔn)幫扶,工作組對(duì)這100戶村民的年收入情況、勞動(dòng)能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)和,制成下圖，其中“”表示甲村貧困戶,“”表示乙村貧困戶.若,則認(rèn)定該戶為“絕對(duì)貧困戶”，若,則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶",若，則認(rèn)定該戶為“低收入戶"；若,則認(rèn)定該戶為“今年能脫貧戶”，否則為“今年不能脫貧戶”。（1）從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，求該戶為“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”的概率；（2）若從所有“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”中選3戶，用表示所選3戶中乙村的戶數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)試比較這100戶中，甲、乙兩村指標(biāo)的方差的大小(只需寫出結(jié)論).【答案】（1）0。1;(2）見(jiàn)解析；(3）這100戶中甲村指標(biāo)的方差大于乙村指標(biāo)的方差。【解析】試題分析：（1）處于100以下“”圖標(biāo)共5個(gè)，由古典概型可求．（2）由圖知,“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”有10戶，其中甲村6戶，乙村4戶,，的可能值為0，1，2，3.寫出超幾何分布列．(3）數(shù)據(jù)越集中方差越小，數(shù)據(jù)越分散方差越大，顯然乙村更集中．試題解析:（1）由圖知，在甲村50戶中，“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶"有5戶,所以從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，該戶為“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”的概率為（2)由圖知,“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”有10戶，其中甲村6戶,乙村4戶，依題意，的可能值為0,1，2，3。從而，，,.所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望.（3）這100戶中甲村指標(biāo)的方差大于乙村指標(biāo)的方差.【點(diǎn)睛】平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。19.如下圖,在四棱柱中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）若四棱柱是長(zhǎng)方體,且，求平面與平面所成二面角的正弦值?！敬鸢浮浚?）詳見(jiàn)解析；（2）?！窘馕觥吭囶}分析:（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，要證線面平行，即證明平面外的線與平面內(nèi)的線平行,所以證明是平行四邊形，即證明；（2)以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，求法向量夾角的余弦值，再求正弦值.試題解析:(1)設(shè)的中點(diǎn)為，連接、.∵為的中點(diǎn)，∴，且。又∵為四棱柱的棱的中點(diǎn),∴,且，∴四邊形是平行四邊形?！?。又∵平面,平面，∴平面。（2）根據(jù)四棱柱是長(zhǎng)方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，由已知得。,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則。∴取，解得∴是平面的一個(gè)法向量。由已知容易得到是平面的一個(gè)法向量。設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則?！?，∴?！嗥矫媾c平面所成二面角的正弦值為.20。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且．（1）求證:為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)詳見(jiàn)解析;（2）【解析】試題分析：（1），得：，可得，化簡(jiǎn)可得，整理可得，即可證明結(jié)論．(2）由（1)得，即然后再利用錯(cuò)位相減即可求出結(jié)果．試題解析：（1），得:，∴，即，∴,∴是以—2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由(1）得，即，∴∴①②①-②得：∴．考點(diǎn):1．?dāng)?shù)列的遞推公式；2．錯(cuò)位相減．【方法點(diǎn)睛】針對(duì)數(shù)列（其中數(shù)列分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列（公比）），一般采用錯(cuò)位相減法求和，錯(cuò)位相減的一般步驟是:1．…①；2．等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，得到…②；3．最后①—②,化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果．21.已知函數(shù)，直線,是圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為．(1)求的表達(dá)式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程，在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1)；（2）或．【解析】試題分析：（1)由輔助角公式得,再由的最小值為可得最小正周期，進(jìn)而得,；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象,再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．令，，原題轉(zhuǎn)化為上有且只有一個(gè)值,由正弦函數(shù)的圖象可得的范圍．試題解析：（1)，由的最小值為可得最小正周期，，∴,∴．(2）將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變,得到的圖象．∴令，∵，∴，,在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)與在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖像可知或,∴或．考點(diǎn)：1、三角函數(shù)的圖象