圖論中的割點(diǎn)割邊圈與塊黃勁松

圖論中的割點(diǎn)割邊圈與塊黃勁松第1頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20231浙江省2006年集訓(xùn)講義基本概念圈(環(huán))割點(diǎn)割邊(橋)塊強(qiáng)連通子圖(強(qiáng)連通分量(支,塊))第2頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20232浙江省2006年集訓(xùn)講義圈及其相關(guān)知識(shí)MST(最小生成樹)另類算法最小環(huán)問題第3頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20233浙江省2006年集訓(xùn)講義MST另類算法任意構(gòu)造一棵原圖的生成樹，然后不斷的添邊，并刪除新生成的環(huán)上的最大邊。1017253算法證明?第4頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20234浙江省2006年集訓(xùn)講義水管局長(zhǎng)(1)給定一張帶權(quán)無向連通圖，定義max(p)為路徑p上的最大邊，min(u,v)為連接u和v的所有路徑中，max(p)的最小值。動(dòng)態(tài)的做如下兩個(gè)操作：1：詢問某兩個(gè)點(diǎn)之間的min(u,v)2：刪除一條邊你的任務(wù)是對(duì)于每個(gè)詢問，輸出min(u,v)的值。(WC2006)第5頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20235浙江省2006年集訓(xùn)講義水管局長(zhǎng)(2)數(shù)據(jù)范圍約定結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N≤1000圖中的邊數(shù)M≤100000詢問次數(shù)Q≤100000刪邊次數(shù)D≤5000第6頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20236浙江省2006年集訓(xùn)講義水管局長(zhǎng)(3)根據(jù)kruskal算法可以知道，最小生成樹上的連接兩點(diǎn)之間的唯一路徑一定是最大邊最小的那么，只要維護(hù)一棵圖的最小生成樹，那么就可以在O(N)的時(shí)間內(nèi)回答每一個(gè)min(u,v)的詢問不斷的刪邊然后維護(hù)最小生成樹？第7頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20237浙江省2006年集訓(xùn)講義水管局長(zhǎng)(4)通過刪邊的形式我們似乎很難維護(hù)一張圖的最小生成樹根據(jù)剛才提到的MST的另類做法，我們反向處理它的每個(gè)操作，也就是先刪除所有要?jiǎng)h的邊，然后再逆向添邊并回答min(u,v)于是該問題就可以用另類MST算法解決了第8頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20238浙江省2006年集訓(xùn)講義水管局長(zhǎng)(5)這里涉及到一些圖與樹的存儲(chǔ)操作，如何在O(N)的時(shí)間內(nèi)找到環(huán)上最大邊，并維護(hù)一棵最小生成樹呢？如果采取鄰接表的存儲(chǔ)方式來記錄一棵最小生成樹，從添加的邊的某個(gè)點(diǎn)開始遍歷整棵樹，尋找出環(huán)上的最大邊，雖然理論復(fù)雜度是O(N)的，但是有很多的冗余第9頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/20239浙江省2006年集訓(xùn)講義水管局長(zhǎng)(6)這里我們采取父親表示法來存儲(chǔ)一棵最小生成樹，如圖所示：現(xiàn)在添加入一條紅色的邊AB我們根據(jù)被刪邊所在的位置來決定AB的定向如果被刪邊在B到LCA(A,B){A和B的最近公共祖先}的那條路徑上，則定義AB的方向?yàn)锽->A，即A是B的父親，并將被刪邊到B的這條路徑上的所有邊反向(同理可得被刪邊在A到LCA(A,B)的那條路徑上的情況)AB第10頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202310浙江省2006年集訓(xùn)講義小H的聚會(huì)(1)給定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度限制，求在滿足所有度限制的條件下的最大生成樹。(NOI2005)這是一道提交答案式的題目，對(duì)于后面的幾個(gè)較大的數(shù)據(jù)，用另類MST算法對(duì)你的解進(jìn)行調(diào)整也能取得不錯(cuò)的效果！第11頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202311浙江省2006年集訓(xùn)講義最小環(huán)問題雖然涉及到要求最小環(huán)的題目并不多(Ural1004Sightseeingtrip)，但是下面介紹的一些求最小環(huán)的算法也會(huì)對(duì)你有一定的啟示意義有向帶權(quán)圖的最小環(huán)問題(直接用floyd算法可解)無向帶權(quán)圖的最小環(huán)問題第12頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202312浙江省2006年集訓(xùn)講義樸素算法令e(u,v)表示u和v之間的連邊，再令min(u,v)表示，刪除u和v之間的連邊之后，u和v之間的最短路最小環(huán)則是min(u,v)+e(u,v)時(shí)間復(fù)雜度是EV2第13頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202313浙江省2006年集訓(xùn)講義一個(gè)錯(cuò)誤的算法預(yù)處理出任意兩點(diǎn)之間的最短路徑，記作min(u,v)枚舉三個(gè)點(diǎn)w,u,v，最小環(huán)則是min(u,w)+min(w,v)+e(u,v)的最小值如果考慮min(u,w)包含邊u-v的情況？討論：是否有解決的方法？第14頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202314浙江省2006年集訓(xùn)講義改進(jìn)算法在floyd的同時(shí)，順便算出最小環(huán)g[i][j]=i,j之間的邊長(zhǎng)dist:=g;fork:=1tondobeginfori:=1tok-1doforj:=i+1tok-1doanswer:=min(answer,dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);fori:=1tondoforj:=1tondodist[i][j]:=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);end;算法證明？第15頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202315浙江省2006年集訓(xùn)講義塊及其相關(guān)知識(shí)DFS算法割點(diǎn)(一般對(duì)于無向圖而言)割邊(一般對(duì)于無向圖而言)塊(一般對(duì)于無向圖而言)強(qiáng)連通子圖(一般對(duì)于有向圖而言)第16頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202316浙江省2006年集訓(xùn)講義DFS算法1973年，Hopcroft和Tarjan設(shè)計(jì)了一個(gè)有效的DFS算法PROCEDUREDFS(v);begin inc(sign); dfn[v]:=sign;//給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign for尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if邊uv沒有被標(biāo)記過then begin

標(biāo)記邊uv;

給邊定向v→u;

如果u被未標(biāo)記過,記uv為父子邊,否則記uv為返祖邊

ifu未被標(biāo)記thenDFS(u); end;end;第17頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202317浙江省2006年集訓(xùn)講義DFS算法父子邊用黑色標(biāo)記，返祖邊用紅色標(biāo)記如下圖，除掉返祖邊之后，我們可以把它看作一棵DFS樹1234567第18頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202318浙江省2006年集訓(xùn)講義割點(diǎn)G是連通圖，v∈V(G)，G–v不再連通，則稱v是G的割頂。第19頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202319浙江省2006年集訓(xùn)講義求割點(diǎn)的算法我們通過DFS把無向圖定向成有向圖，定義每個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)lowlink參數(shù)，lowlink[v]表示沿v出發(fā)的有向軌能夠到達(dá)的點(diǎn)u中，dfn[u]的值的最小值。(經(jīng)過返祖邊后則停止)1.12.13.24.25.26.17.7第20頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202320浙江省2006年集訓(xùn)講義三個(gè)定理定理1：DFS中，e=ab是返祖邊，那么要么a是b的祖先，要么a是b的后代子孫。定理2：DFS中，e=uv是父子邊，且dfn[u]>1，lowlink[v]≥dfn[u]，則u是割點(diǎn)。定理3：DFS的根r是割點(diǎn)的充要條件是：至少有2條以r為尾(從r出發(fā))的父子邊證明？證明？證明？第21頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202321浙江省2006年集訓(xùn)講義程序代碼PROCEDUREDFS(v);begin inc(sign);dfn[v]:=sign; //給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlink[v]:=sign; //給lowlink[v]賦初始值

for尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)udo if邊uv沒有被標(biāo)記過then begin

標(biāo)記邊uv;

給邊定向v→u; //實(shí)際中可以忽略

ifu未被標(biāo)記過then begin DFS(u);//uv是父子邊，遞歸訪問

lowlink[v]:=min(lowlink[v],lowlink[u]);

iflowlink[u]>=dfn[v]thenv是割點(diǎn)

end else lowlink[v]:=min(lowlink[v],dfn[u]);//uv是返祖邊 end;end;注意：min(lowlink[v],dfn[u]);這里是dfn[u]而不是lowlink[u]，思考一下？第22頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202322浙江省2006年集訓(xùn)講義割邊G是連通圖，e∈E(G)，G–e不再連通，則稱e是G的割邊，亦稱做橋。

第23頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202323浙江省2006年集訓(xùn)講義求割邊的算法與割點(diǎn)類似的，我們定義lowlink和dfn。父子邊e=u→v，當(dāng)且僅當(dāng)lowlink[v]>dfn[u]的時(shí)候，e是割邊。我們可以根據(jù)割點(diǎn)算法的證明類似的證明割邊算法的正確性。第24頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202324浙江省2006年集訓(xùn)講義程序代碼PROCEDUREDFS(v);begin inc(sign);dfn[v]:=sign;//給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlink[v]:=sign;//給lowlink[v]賦初始值

for尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if邊uv沒有被標(biāo)記過then begin

標(biāo)記邊uv;

給邊定向v→u; ifu未被標(biāo)記過then begin DFS(u);//uv是父子邊，遞歸訪問

lowlink[v]:=min(lowlink[v],lowlink[u]);

iflowlink[u]>dfn[v]thenvu是割邊

end else lowlink[v]:=min(lowlink[v],dfn[u]);//uv是返祖邊

end;end;第25頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202325浙江省2006年集訓(xùn)講義割點(diǎn)與割邊猜想：兩個(gè)割點(diǎn)之間的邊是否是割邊?割邊的兩個(gè)端點(diǎn)是否是割點(diǎn)？都錯(cuò)！第26頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202326浙江省2006年集訓(xùn)講義嗅探器(1)在無向圖中尋找出所有的滿足下面條件的點(diǎn)：割掉這個(gè)點(diǎn)之后，能夠使得一開始給定的兩個(gè)點(diǎn)a和b不連通，割掉的點(diǎn)不能是a或者b。(ZJOI2004)ab第27頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202327浙江省2006年集訓(xùn)講義嗅探器(2)數(shù)據(jù)范圍約定結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N≤100邊數(shù)M≤N*(N-1)/2第28頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202328浙江省2006年集訓(xùn)講義嗅探器(3)樸素算法：枚舉每個(gè)點(diǎn)，刪除它，然后判斷a和b是否連通，時(shí)間復(fù)雜度O(NM)如果數(shù)據(jù)范圍擴(kuò)大，該算法就失敗了！第29頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202329浙江省2006年集訓(xùn)講義嗅探器(4)題目要求的點(diǎn)一定是圖中的割點(diǎn)，但是圖中的割點(diǎn)不一定題目要求的點(diǎn)。如上圖中的藍(lán)色點(diǎn)，它雖然是圖中的割點(diǎn)，但是割掉它之后卻不能使a和b不連通由于a點(diǎn)肯定不是我們所求的點(diǎn)，所以可以以a為根開始DFS遍歷整張圖。對(duì)于生成的DFS樹，如果點(diǎn)v是割點(diǎn)，如果以他為根的子樹中存在點(diǎn)b，那么該點(diǎn)是問題所求的點(diǎn)。第30頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202330浙江省2006年集訓(xùn)講義嗅探器(5)時(shí)間復(fù)雜度是O(M)的如圖，藍(lán)色的點(diǎn)表示問題的答案，黃色的點(diǎn)雖然是圖的割點(diǎn)，但卻不是問題要求的答案ab第31頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202331浙江省2006年集訓(xùn)講義關(guān)鍵網(wǎng)線(1)無向連通圖中，某些點(diǎn)具有A屬性，某些點(diǎn)具有B屬性。請(qǐng)問哪些邊割掉之后能夠使得某個(gè)連通區(qū)域內(nèi)沒有A屬性的點(diǎn)或者沒有B屬性的點(diǎn)。(CEOI2005)數(shù)據(jù)范圍約定結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N≤100000邊數(shù)M≤1000000第32頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202332浙江省2006年集訓(xùn)講義關(guān)鍵網(wǎng)線(2)樸素算法：枚舉每條邊，刪除它，然后判斷是否有獨(dú)立出來的連通區(qū)域內(nèi)沒有A屬性或者沒有B屬性。復(fù)雜度O(M2)當(dāng)然，這個(gè)復(fù)雜度太大了！第33頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202333浙江省2006年集訓(xùn)講義關(guān)鍵網(wǎng)線(3)正如嗅探器一樣，題目要求的邊一定是原圖中的割邊，但是原圖中的割邊卻不一定是題目中要求的邊。設(shè)A種屬性總共有SUMA個(gè)，B中屬性總共有SUMB個(gè)。和嗅探器類似的，如果邊e=u→v是割邊，且以v為根的子樹中，A種屬性的數(shù)目為0或者為SUMA，或者B種屬性的數(shù)目為0或者為SUMB，那么e就是題目要求的邊。第34頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202334浙江省2006年集訓(xùn)講義關(guān)鍵網(wǎng)線(4)下圖中，藍(lán)色的邊表示題目要求的邊，黃色的邊表示雖然是圖中的割邊，但不是題目要求的邊。ABAAAAAAABB第35頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202335浙江省2006年集訓(xùn)講義塊沒有割點(diǎn)的圖叫2-連通圖，亦稱做塊，G中成塊的極大子圖叫做G的塊。把每個(gè)塊收縮成一個(gè)點(diǎn)，就得到一棵樹，它的邊就是橋。第36頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202336浙江省2006年集訓(xùn)講義求塊的算法在求割點(diǎn)的算法中，當(dāng)結(jié)點(diǎn)u的所有鄰邊都被訪問過之后，如果lowlink[u]=dfn[u]，我們把u下方的整塊和u導(dǎo)出作為圖中的一個(gè)塊。這里需要用一個(gè)棧來表示哪些元素是u代表的塊。第37頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202337浙江省2006年集訓(xùn)講義程序代碼PROCEDUREDFS(v);begin inc(sign);dfn[v]:=sign;//給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlink[v]:=sign;//給lowlink[v]賦初始值

inc(tot);stack[tot]:=v;//v點(diǎn)進(jìn)棧

for尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if邊uv沒有被標(biāo)記過then begin

標(biāo)記邊uv;

給邊定向v→u; ifu未被標(biāo)記過then begin DFS(u);//uv是父子邊，遞歸訪問第38頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202338浙江省2006年集訓(xùn)講義程序代碼

lowlink[v]:=min(lowlink[v],lowlink[u]); end else lowlink[v]:=min(lowlink[v],dfn[u]);//uv是返祖邊

end; iflowlink[v]=dfn[v]then begin

塊數(shù)目number+1; repeat

標(biāo)記stack[tot]這個(gè)點(diǎn)為number; dec(tot);//點(diǎn)出棧

untilstack[tot+1]=v; end;end;第39頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202339浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(1)給出一張簡(jiǎn)單無向圖，問最少添加幾條邊能夠使得原圖中沒有割邊。(CEOI2000)數(shù)據(jù)范圍約定結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N≤2500邊數(shù)M≤20000第40頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202340浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(2)為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)關(guān)系，我們先將原圖收縮，變成一棵樹，容易知道的是，剩下的任務(wù)就是添最少的邊，使得樹成為一個(gè)塊。(樹中的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間連邊相當(dāng)于原圖中兩個(gè)塊中分別任意取點(diǎn)連在一起)猜想：每添一條邊，就選擇樹中的兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，將它們連起來，于是最少的添邊數(shù)目就是(葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)+1)/2第41頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202341浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(3)如圖所示，點(diǎn)代表了原圖中的一個(gè)塊，它們之間的連邊是割邊。連接a與c，b與d之后，圖中就沒有割邊了。abcd第42頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202342浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(4)但并不是任意連接兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)就可以達(dá)到目標(biāo)。假如連接了a與b，c與d，原圖并沒有變成一個(gè)塊。abcd第43頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202343浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(5)進(jìn)一步分析剛才的算法，每次連接兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)之后，把新生成的圈壓縮成為一個(gè)點(diǎn)，以前和圈上的點(diǎn)關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，都和新生成的這個(gè)“壓縮點(diǎn)”相關(guān)聯(lián)。于是原來的樹在添加一條邊之后，又變回了一棵樹。第44頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202344浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(6)在連接a與c之后，新生成的樹只剩下2個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)；連接b與d之后，樹就被壓縮成了一個(gè)點(diǎn)。abcdbd第45頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202345浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(7)而如果先連接a與b，那么新生成的樹會(huì)剩下3個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，連接c與d之后，樹中還剩2個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，所以這種連接方法還需要多連一條邊?，F(xiàn)在的問題是，是否一定能找出這樣子的兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，使得壓縮成的點(diǎn)不會(huì)成為新的葉子節(jié)點(diǎn)呢？第46頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202346浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(8)連接的兩個(gè)點(diǎn)的那條樹中的唯一路徑上，如果除了它們的最近公共祖先到自己的父親有連邊以外，其他的結(jié)點(diǎn)沒有別的分叉，那么連接這兩個(gè)點(diǎn)之后縮圈得到的點(diǎn)將會(huì)是一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。假設(shè)圖中的任意兩個(gè)葉子連接之后，都會(huì)多產(chǎn)生一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)圖中的葉子結(jié)點(diǎn)是2個(gè)或者3個(gè)的時(shí)候，怎么連都沒有區(qū)別。第47頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202347浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(9)當(dāng)圖中的葉子結(jié)點(diǎn)有4個(gè)的時(shí)候，a和b到它們的最近公共祖先都沒有別的分叉，且c和d到它們的最近公共祖先沒有別的分叉，可以知道，a和c到它們的最近公共祖先上一定有分叉。這個(gè)與假設(shè)矛盾。所以我們總能找到兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，使得它們連邊之后縮成的樹不會(huì)新產(chǎn)生葉子結(jié)點(diǎn)。第48頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202348浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(10)具體實(shí)現(xiàn)：首先一個(gè)問題是會(huì)碰到圖的壓縮，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的方法是，新建一棵樹來表示壓縮過之后的圖。接著還會(huì)碰到一個(gè)縮圈的問題，怎么實(shí)現(xiàn)這一個(gè)環(huán)節(jié)？是否需要重新建樹？可以采取標(biāo)號(hào)法，當(dāng)縮一個(gè)圈的時(shí)候，在圈上取一個(gè)代表點(diǎn)，并把其他的點(diǎn)都標(biāo)記為該代表點(diǎn)。一個(gè)潛在的問題是，壓縮成的點(diǎn)可能還會(huì)被再次壓縮，那么標(biāo)記的時(shí)候就比較麻煩了。所以這里可以用并查集來實(shí)現(xiàn)標(biāo)號(hào)這一步。第49頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202349浙江省2006年集訓(xùn)講義新修公路(11)算法流程：(1)求出圖中的所有塊，建立一棵代表樹(2)挑出2個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，使得連接他們之間的唯一路徑上的分叉數(shù)目最多(3)連接這兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，并壓縮新生成的圈，得到一棵新的樹(4)如果樹中剩下一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)和一個(gè)根結(jié)點(diǎn)，直接連接它們，算法結(jié)束；如果樹已經(jīng)成為一個(gè)點(diǎn)，算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)(2)第50頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202350浙江省2006年集訓(xùn)講義有向圖的DFS有向圖的DFS與無向圖的DFS的區(qū)別在于搜索只能順邊的方向進(jìn)行，所以有向圖的DFS不止一個(gè)根，因?yàn)閺哪硞€(gè)結(jié)點(diǎn)開始不一定就能走完所有的點(diǎn)。另外，有向圖的DFS除了產(chǎn)生父子邊和返祖邊以外，還會(huì)有橫叉邊。我們這樣定義它：u和v在已形成的DFS森林中沒有直系上下關(guān)系，并且有dfn[v]>dfn[u]，則稱e=uv是橫叉邊。注意，沒有dfn[v]<dfn[u]這種橫叉邊。第51頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202351浙江省2006年集訓(xùn)講義連通與強(qiáng)連通圖定義：將所有有向邊改為無向邊，如果該無向圖是連通的，那么原有向圖也稱之為連通圖。對(duì)于圖中的任意兩個(gè)點(diǎn)A和B，同時(shí)存在一條從A到B的路徑和一條從B到A的路徑，則稱該圖為強(qiáng)連通圖。對(duì)于一個(gè)連通的無向圖，他是一個(gè)強(qiáng)連通圖，這里著重介紹一下有向圖的強(qiáng)連通子圖，也稱做強(qiáng)連通分量，強(qiáng)連通分支和強(qiáng)連通分塊。第52頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202352浙江省2006年集訓(xùn)講義求強(qiáng)連通子圖的另類算法可以知道，圈上的點(diǎn)都是滿足強(qiáng)連通性質(zhì)的，所以我們可以不斷的找圈，然后壓縮它，直到找不到圈為止。該算法因?yàn)闀r(shí)間復(fù)雜度過大，本身沒有什么實(shí)質(zhì)的作用，但是會(huì)給我們的解題思路和算法證明帶來一定的幫助。第53頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202353浙江省2006年集訓(xùn)講義求強(qiáng)連通子圖的算法1一種求有向圖強(qiáng)連通子圖的算法和求無向圖塊的方法幾乎一樣，不同的是，我們需要特殊考慮一下橫叉邊的處理。如果e=u→v是橫叉邊，那么lowlink[u]:=min(lowlink[u],dfn[v])這一步就無需再做。第54頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202354浙江省2006年集訓(xùn)講義程序代碼PROCEDUREDFS(v);begin inc(sign);dfn[v]:=sign;//給v按照訪問順序的先后標(biāo)號(hào)為sign lowlink[v]:=sign;//給lowlink[v]賦初始值

inc(tot);stack[tot]:=v;//v點(diǎn)進(jìn)棧

instack[v]:=true;//這個(gè)用來判斷橫叉邊

for尋找一個(gè)v的相鄰節(jié)點(diǎn)u if邊uv沒有被標(biāo)記過then begin

標(biāo)記邊uv;

給邊定向v→u; ifu未被標(biāo)記過then begin DFS(u);//uv是父子邊，遞歸訪問

lowlink[v]:=min(lowlink[v],lowlink[u]); end第55頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202355浙江省2006年集訓(xùn)講義程序代碼

else

ifinstack[u]then lowlink[v]:=min(lowlink[v],dfn[u]);//uv是返祖邊

end; iflowlink[v]=dfn[v]then begin

塊數(shù)目number+1; repeat

標(biāo)記stack[tot]這個(gè)點(diǎn)為number;

instack[stack[tot]]:=false; dec(tot);//點(diǎn)出棧

untilstack[tot+1]=v; end;end;第56頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202356浙江省2006年集訓(xùn)講義求強(qiáng)連通子圖的算法2基于兩次DFS的有向圖強(qiáng)連通子圖算法(1)對(duì)圖進(jìn)行DFS遍歷，遍歷中記下所有的dfn[v]的值。遍歷的結(jié)果是構(gòu)造了一座森林W1；(2)改變圖G中的每一條邊的方向，構(gòu)造出新的有向圖Gr；(3)按照dfn[v]由大到小的順序?qū)r進(jìn)行DFS遍歷。遍歷的結(jié)果是構(gòu)造了新的森林W2，W2中的每棵樹上的頂點(diǎn)構(gòu)成了有向圖的極大強(qiáng)連通子圖。算法證明？第57頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202357浙江省2006年集訓(xùn)講義有向圖的壓縮將有向圖中的強(qiáng)連通子圖都?jí)嚎s成為一個(gè)點(diǎn)之后，是否和無向圖壓縮之后的結(jié)果一樣呢？有向圖壓縮之后，連接不同結(jié)點(diǎn)之間的邊有兩種：父子邊，橫叉邊。壓縮后的圖，不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)意義上的樹(將邊看作無向)。它是一個(gè)無有向圈的有向圖，即不可再壓縮的圖。有向圖壓縮的意義，在后面的例題《受歡迎的奶牛》中我們會(huì)看到。第58頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202358浙江省2006年集訓(xùn)講義探索第二部(1)A和B兩位偵探要合力解決一起謀殺案。現(xiàn)在有N條線索，單獨(dú)的解決一些線索A和B花費(fèi)的時(shí)間是有差別的。而在解決掉某些線索之后，可以毫不費(fèi)力的解決掉另外一些線索?，F(xiàn)在你的任務(wù)是求出A和B一起配合解決掉所有線索所需要花費(fèi)的總時(shí)間。數(shù)據(jù)范圍約定：線索數(shù)目N≤1000解決每條線索A和B花費(fèi)的時(shí)間ai和bi都不超過15第59頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202359浙江省2006年集訓(xùn)講義探索第二部(2)如果解決了線索x順邊就能解決線索y，那么在x和y之間連一條有向邊。可知，如果解決了x之后能解決y，解決y之后能解決z，那么說明，我們只需要解決掉x，就能解決y和z。一個(gè)顯而易見的性質(zhì)：如果x能通過有向邊到達(dá)y，y不能通過有向邊到達(dá)x，那么無論如何，y都不必解決。第60頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202360浙江省2006年集訓(xùn)講義探索第二部(3)而如果存在x和y能互達(dá)，那么從中任意挑出一個(gè)來解決就可以。也就是說，在一個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)，我們只需要任意挑出一個(gè)線索將它解決，就能解決掉該子圖內(nèi)所有的線索?，F(xiàn)在的任務(wù)便成了，挑出所有的必須被解決線索。然后分配A和B去解決他們。這個(gè)問題，我們可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來解決。第61頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202361浙江省2006年集訓(xùn)講義探索第二部(4)那么如何處理一個(gè)強(qiáng)連通子圖的情況呢？如果讓A來解決掉一個(gè)線索，那么肯定挑出A花費(fèi)時(shí)間最少的那條線索；同理如果B來解決掉一個(gè)線索，那么肯定挑出B花費(fèi)時(shí)間最少的那條線索。于是可以將整個(gè)子圖壓縮成為一個(gè)點(diǎn)，A解決它所需要的時(shí)間是所有點(diǎn)中ai的最小值，B解決它所需要的時(shí)間是所有點(diǎn)中bi的最小值。第62頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202362浙江省2006年集訓(xùn)講義探索第二部(5)算法流程：(1)根據(jù)輸入建圖(2)求出途中的所有強(qiáng)連通子圖，并壓縮成一個(gè)點(diǎn)(3)挑出森林中所有的根結(jié)點(diǎn)，這些是必須被解決的線索(4)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法解決最小總花費(fèi)的問題第63頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202363浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(1)N頭奶牛，給出若干個(gè)歡迎關(guān)系A(chǔ)B，表示A歡迎B，歡迎關(guān)系是單向的，但是是可以傳遞的。另外每個(gè)奶牛都是歡迎他自己的。求出被所有的奶牛歡迎的奶牛的數(shù)目。(USACOFALL03)[poj2186\HAOI06]

數(shù)據(jù)范圍約定：奶牛數(shù)目N≤10000直接的歡迎關(guān)系數(shù)目M≤50000第64頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202364浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(2)可以想到的是，如果圖中包含有強(qiáng)連通子圖，那么就可以把這個(gè)強(qiáng)連通縮成一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)閺?qiáng)連通子圖中的任意兩個(gè)點(diǎn)可以到達(dá)，強(qiáng)連通子圖中所有的點(diǎn)具有相同的性質(zhì)，即它們分別能到達(dá)的點(diǎn)集都是相同的，能夠到達(dá)它們的點(diǎn)集也是相同的。通過大膽猜想，我們得到一個(gè)結(jié)論：?jiǎn)栴}的解集是壓縮后的圖中，唯一的那個(gè)出度為0的點(diǎn)。第65頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202365浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(3)首先，如果該圖不是一張連通圖，那么問題肯定是無解的。在假定圖是一張連通圖的情況下，我們需要證明如下一些東西：(1)解集為什么一定構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)連通子圖？(2)同時(shí)存在2個(gè)出度為0的獨(dú)立的強(qiáng)連通子圖的時(shí)侯，為什么就一定無解？(3)只有一個(gè)出度為0的強(qiáng)連通子圖的時(shí)候，為什么該強(qiáng)連通子圖一定是問題的解集？(4)如果一個(gè)強(qiáng)連通子圖的出度不為0，為什么就一定不是問題的解集？第66頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202366浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(4)(1)解集為什么一定構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)連通子圖？證明：假設(shè)A和B都是最受歡迎的cow，那么，A歡迎B，而且B歡迎A，于是，A和B是屬于同一個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)的點(diǎn)，所以，問題的解集構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)連通子圖。第67頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202367浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(5)(2)同時(shí)存在2個(gè)出度為0的獨(dú)立的強(qiáng)連通子圖的時(shí)侯，為什么就一定無解？證明：如果存在兩個(gè)獨(dú)立的強(qiáng)連通分量a和b，那么a內(nèi)的點(diǎn)和b內(nèi)的點(diǎn)一定不能互相到達(dá)，那么，無論是a還是b都不是解集的那個(gè)連通分量，問題保證無解。第68頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202368浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(6)(3)只有一個(gè)出度為0的強(qiáng)連通子圖的時(shí)候，為什么該強(qiáng)連通子圖一定是問題的解集？證明：假設(shè)在壓縮過的圖中，存在結(jié)點(diǎn)A，它到出度為0的結(jié)點(diǎn)(設(shè)為Root)沒有通路，因?yàn)锳的出度一定不為0，那么設(shè)他可以到B，于是B到Root沒有通路，因?yàn)锽的出度也一定不為0，那么設(shè)他可以到C……，如此繼續(xù)下去，因?yàn)樵搱D已經(jīng)不可再壓縮，所以這樣下去不會(huì)出現(xiàn)已經(jīng)考慮過的點(diǎn)(否則就存在有向環(huán))，那么這樣下去之后，所有的點(diǎn)都到Root沒有通路，而Root到其他所有的點(diǎn)也是沒有通路的，因?yàn)樗某龆葹?，所以Root與其他所有的點(diǎn)是獨(dú)立的，這與大前提“該圖是連通圖”矛盾。所以假設(shè)不成立。第69頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202369浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(7)(4)如果一個(gè)強(qiáng)連通子圖的出度不為0，為什么就一定不是問題的解集？證明：如果某個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)的點(diǎn)A到強(qiáng)連通分量外的點(diǎn)B有通路，因?yàn)锽和A不是同一個(gè)強(qiáng)連通子圖內(nèi)的點(diǎn)，所以B到A一定沒有通路，那么A不被B歡迎，于是A所在的強(qiáng)連通子圖一定不是解集的那個(gè)強(qiáng)連通子圖。第70頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202370浙江省2006年集訓(xùn)講義受歡迎的奶牛(8)算法流程：(1)壓縮有向圖(2)判斷連通性，并找到圖中出度為0的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。(3)如果圖不連通或者出度為0的點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過1，輸出無解，否則轉(zhuǎn)(4)(4)輸出出度為0的點(diǎn)代表的強(qiáng)連通子圖上的點(diǎn)第71頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202371浙江省2006年集訓(xùn)講義科學(xué)是在不斷的大膽猜想與小心求證中進(jìn)步的！第72頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202372浙江省2006年集訓(xùn)講義Thankyouforlistening！第73頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202373浙江省2006年集訓(xùn)講義參考文獻(xiàn)王樹禾《離散數(shù)學(xué)引論》劉汝佳/黃亮《算法藝術(shù)與信息學(xué)競(jìng)賽》吳文虎/王建德《圖論的算法與程序設(shè)計(jì)》第74頁，共80頁，2023年，2月20日，星期六4/20/202374浙江省2006年集訓(xùn)講義MST另類算法證明我們通過kruskal算法的正確性來證明該算法的正確性設(shè)該算法得到的MST’為T’，它不是原圖的最小生成樹T，則存在一條邊e，有e∈T’且e∈T。由于T’不可再調(diào)整，所以在T’中添加e之后，e是所成環(huán)上的最大邊。因而在做kruskal算法時(shí)候，該環(huán)上的所有邊在e之前都會(huì)被事先考慮是否加入MST中，而在考慮是否加入e這條邊的時(shí)候，該環(huán)上的所有點(diǎn)都已經(jīng)連通了，所以e