電磁場與電磁波課后習(xí)題與答案三章習(xí)題解答6528

電磁場與電磁波課后習(xí)題與答案三章習(xí)題解答三章習(xí)題解答3.1真空中半徑為a的?個(gè)球?，球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷q和q-，試計(jì)算球?道平?上電通密度的通量Φ(如題3.1圖所?)。解由點(diǎn)電荷q和q-共同產(chǎn)?的電通密度為33[]4qRRπ+-+-=-=RRD22322232()(){}4[()][()]rzrzrzarzaqrzarzaπ+-++-+-++eeee則球?道平?上電通密度的通量ddzzSSSΦ====??DSDegg22322232()[]2d4()()aqaarrraraππ--=++?22121)0.293()aqaqqra=-=-+3.21911年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使?的是半徑為ar的球體原?模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為Ze-的電?云，在球?有?正電荷Ze（Z是原?序數(shù)，e是質(zhì)?電荷量），通過實(shí)驗(yàn)得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為02314raZerrrπ??=-De，試證明之。解位于球?的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)?的電通量密度為124rZerπ=De原?內(nèi)電?云的電荷體密度為333434aaZeZerrρππ=-=-電?云在原?內(nèi)產(chǎn)?的電通量密度則為32234344rrarZerrrρπππ==-Dee題3.1圖題3.3圖()a故原?內(nèi)總的電通量密度為122314raZerrrπ??=+=-DDDe3.3電荷均勻分布于兩圓柱?間的區(qū)域中，體密度為30Cmρ,兩圓柱?半徑分別為a和b，軸線相距為c)(abc-<，如題3.3圖()a所?。求空間各部分的電場。解由于兩圓柱?間的電荷不是軸對稱分布，不能直接??斯定律求解。但可把半徑為a的?圓柱?內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為0ρ±的兩種電荷分布，這樣在半徑為b的整個(gè)圓柱體內(nèi)具有體密度為0ρ的均勻電荷分布，?在半徑為a的整個(gè)圓柱體內(nèi)則具有體密度為0ρ-的均勻電荷分布，如題3.3圖()b所?。空間任?點(diǎn)的電場是這兩種電荷所產(chǎn)?的電場的疊加。在br>區(qū)域中，由?斯定律0dSqε=ESg，可求得?、?圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)P產(chǎn)?的電場分別為2200120022rbbrrπρρπεε==rEe2200120022raarrπρρπεε'-''==-''rEe點(diǎn)P處總的電場為2211220()2barrρε''=+=-'rrEEE在br<且ar>'區(qū)域中，同理可求得?、?圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)P產(chǎn)?的電場分別為220022rrrπρρπεε==rEe22220022raarrπρρπεε'-''==-''rEe點(diǎn)P處總的電場為202220()2arρε''=+=-'rEEEr在ar<'的空腔區(qū)域中，?、?圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)P產(chǎn)?的電場分別為20030022rrrπρρπεε==rEe20030022rrrπρρπεε''-''==-'rEe點(diǎn)P處總的電場為003300()22ρρεε''=+=-=EEErrc3.4半徑為a的球中充滿密度()rρ的體電荷，已知電位移分布為32542()()rrArraDaAarar?+≤?=?+≥?其中A為常數(shù)，試求電荷密度()rρ。題3.3圖()b＝＋解：由ρ?=Dg，有221d()()drrrDrrρ=?=Dg故在ra<區(qū)域2322021d()[()](54)drrrArrArrrρεε=+=+在ra>區(qū)域5420221d()()[]0daAarrrrrρε+==3.5?個(gè)半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表?涂覆了?薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電荷，球殼上?另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為4()rra=Ee，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表?的電荷?密度。解（1）由?斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為20021d[()]drErrρεε=?==Eg432002441d[()]6drrrrraaεε=（2）球體內(nèi)的總電量Q為3220040d64d4arQrraaτρτεππε===??球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表?上感應(yīng)電荷Q-，?且在球殼外表?上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表?上的總電荷為2Q，故球殼外表?上的電荷?密度為02224Q

aσεπ==3.6兩個(gè)?限長的同軸圓柱半徑分別為ra=和rb=()ba>，圓柱表?分別帶有密度為1σ和2σ的?電荷。（1）計(jì)算各處的電位移0D；（2）欲使rb>區(qū)域內(nèi)00=D，則1σ和2σ應(yīng)具有什么關(guān)系？解（1）由?斯定理0dSq=?DSg?，當(dāng)ra<時(shí)，有010=D當(dāng)arb<<時(shí)，有02122rDaππσ=，則102rarσ=De當(dāng)br<<∞時(shí)，有0312222rDabππσπσ=+，則1203rabrσσ+=De（2）令12030rabrσσ+==De，則得到12baσσ=-3.7計(jì)算在電場強(qiáng)度xyyx=+Eee的電場中把帶電量為2Cμ-的點(diǎn)電荷從點(diǎn)1(2,1,1)P-移到點(diǎn)2(8,2,1)P-時(shí)電場所做的功：（1）沿曲線22xy=；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。解（1）ddddxyCCCWqqExEy===+=FlElgg2221ddd(2)2dCqyxxyqyyyy+=+=??22616d142810()qyyqJ-==-??（2）連接點(diǎn)1(2,1,1)P-到點(diǎn)2(8,2,1)P-直線?程為2812xxyy--=--即640xy-+=故W=21

ddd(64)(64)dCqyxxyqyyyy+=-+-=??261(124)d142810()qyyqJ--==-??3.8長度為L的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為0lρ。（1）計(jì)算線電荷平分?上任意點(diǎn)的電位?；（2）利?直接積分法計(jì)算線電荷平分?上任意點(diǎn)的電場E，并??=-?E核對。解（1）建?如題3.8圖所?坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分?上任意點(diǎn)P的電位為22(,0)LLr?-==?2ln(4LlLzρπε-'+=04lρπε=02lρπε（2）根據(jù)對稱性，可得兩個(gè)對稱線電荷元zl'd0ρ在點(diǎn)P的電場為ddrrrEθ'===Eee022320d2()lrrzrzρπε''+e故長為L的線電荷在點(diǎn)P的電場為20223200dd2()Llrrzrzρπε'==='+??EEe20002Llrrρπε'=ere由?=-?E求E，有002lρ?πε??=-?=-?=??E(00dln2ln2dlrLrrρπε??--=?eLL-r0lρ題3.8圖0012lrrρπε-=??ere3.9已知?限長均勻線電荷lρ的電場02lrrρπε=Ee，試?定義式()dPrrr?=?Elg求其電位函數(shù)。其中Pr為電位參考點(diǎn)。解000()ddlnln222PPPrrrlllPrrrrrrrrrρρρ?πεπεπε====??Elg由于是?限長的線電荷，不能將Pr選為?窮遠(yuǎn)點(diǎn)。3.10?點(diǎn)電荷q+位于(,0,0)a-，另?點(diǎn)電荷2q-位于(,0,0)a，求空間的零電位?。解兩個(gè)點(diǎn)電荷q+和2q-在空間產(chǎn)?的電位1(,,)4xyz?πε=令(,,)0xyz?=，則有0=即2222224[()]()xayzxayz+++=-++故得222254()()33xayza+++=由此可見，零電位?是?個(gè)以點(diǎn)5(,0,0)3a-為球?、43a為半徑的球?。3.11證明習(xí)題3.2的電位表達(dá)式為2013()()422aaZerrrrr?πε=+-解位于球?的正電荷Ze在原?外產(chǎn)?的電通量密度為124rZerπ=De電?云在原?外產(chǎn)?的電通量密度則為32224344arrrZerrρπππ==-Dee所以原?外的電場為零。故原?內(nèi)電位為230011()d()d4aarrarrZerrDrrrr?επε==-=??2013()422aaZerrrrπε+-3.12電場中有?半徑為a的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為2()0()()cosrraarArrarφ=≤??=-≥（1）求圓柱內(nèi)、外的電場強(qiáng)度；（2）這個(gè)圓柱是什么材料制成的？表?有電荷分布嗎？試求之。解（1）由?=-?E，可得到ra<時(shí)，0?=-?=Era>時(shí)，?=-?=E22[()cos][()cos]raaArArrrrrφφφφ??----=??ee2222(1)cos(1)sinraaAArrφφφ-++-ee（2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表?有電荷分布，電荷?密度為0002cosrraraAσεεεφ=====-nEeEgg3.13驗(yàn)證下列標(biāo)量函數(shù)在它們各?的坐標(biāo)系中滿?20??=（1）sin()sin()hzkxlye-其中222hkl=+；（2）[cos()sin()]nrnAnφφ+圓柱坐標(biāo)；（3）cos()nrnφ-圓柱坐標(biāo)；（4）cosrφ球坐標(biāo)；（5）2cosrφ-球坐標(biāo)。解（1）在直?坐標(biāo)系中2222222xyz=++????22222[sin()sin()]sin()sin()hzhzkxlyekkxlyexx?--??==-??22222[sin()sin()]sin()sin()hzhzkxlyelkxlyeyy--==-22222[sin()sin()]sin()sin()hzhz

kxlyehkxlyezz--==故2222()sin()sin()0hzklhkxlye?-?=--+=（2）在圓柱坐標(biāo)系中2222221()rrrrrzφ=++?11(){[cos()sin()]}nrrrnAnrrrrr