高等數(shù)學(xué)-第四章不定積分課后習(xí)題詳解

第4章不定積分

內(nèi)容概要

名主要內(nèi)容

稱

不設(shè)f(x),xwl,若存在函數(shù)尸(x),使得對(duì)任意xe/均

定有F'(x)=f(x)

積或dF(x)=f(x)dx,則稱尸(x)為/(x)的一個(gè)原函數(shù)。

分/(X)的全部原函數(shù)稱為“X)在區(qū)間/上的不定積分，

的記為

概J/(x)dx=F(x)+C

念注：(1)若f(x)連續(xù),則必可積；(2)若F(x),G(x)均

為/(x)的原函數(shù)，則F(x)=G(x)+C。故不定積分的表

達(dá)式不唯一。

性性質(zhì)1：J"%9]=/W或d[J/(x)時(shí)=f(x)dx；

質(zhì)性質(zhì)2:^F\x)dx=/(x)+C或pF(x)=F(x)+C；

性質(zhì)3：j[a/(x)±pg(x)]dx=a^f(x)dx±p\g(x)dx>為非

零常數(shù)。

計(jì)設(shè)/(〃)的原函數(shù)為F(〃)，〃=夕(外可導(dǎo)，則有

算第一換換元公式：

不方元J7(e(x))”(x)dx=\f((p{x})d(p(x)=F(^(x))+C

定法積分法

積(湊微

分分法)

第二類設(shè)x=<p(t)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，

換元積fl<p(t)]<p\t)有原函數(shù)尸⑴，則

分法j/(x)dx=]7(夕"))夕'")出=F(r)+C=F(9T(x))+C

分部積=j〃(x)du(x)=w(x)v(x)-Jv(x)J?(x)

分法

有理函若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)

數(shù)積分式和真分式的和；對(duì)真分式的處理按情況

確定。

本在下一章定積分中由微積分基本公式可知--求定積分

章的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題；后繼課程

的無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，

地最終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程

位更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積

與分在整個(gè)積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問(wèn)題

作會(huì)不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一

用章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)慢慢

體會(huì)到！

課后習(xí)題全解

習(xí)題4-1

1.求下列不定積分：

知識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)一一求不定積分的基本方法。

思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分!

★⑴焉

思路：被積函數(shù)-^=3,由積分表中的公式(2)可解。

v--lv

★⑵卜正一:岫

思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。

解：--j=)dx=-x^)dx=jx^dx-jx2dx=—x^-2x^+C

★(3)J(2，+XM

思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。

解：J(2'+VMx=J2'dx+Jx2dx=^+$3+C

★(4)J4(x-3)dx

思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。

3o2_

解：J4(x-3)dx=^x2dx-3^x2dx--x^-2x2+C

★★⑸

思路:觀察到3八341=3/+-_后,根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng),

X*+1X+1

分別積分。

1

解：『：?；+〃=伊21+『——rdx=x'+arctanx+C

\+x2

★★(6)

思路:注意到上=工里二=1--]，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，

l+x1+X1+X

分別積分。

解：宿—^dx=^dx-J]=x-arctanx+C.

注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)

有理的假分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再分

項(xiàng)積分。

★⑺-二)公

J2xx3x4

思路:分項(xiàng)積分。

解：j(^-—+=gjxJx-^-dx+3^x~3dx-4^x^dx

=—x2-InIxI-—x~2+—x-3+C.

423

思路:分項(xiàng)積分。

解：f(———r==)dx-3f—dx-2f,dx=3arctanx-2arcsinx+C.

J1+X2JT/Jl+x2JjTT

★★⑼Nxjxjdx

思路：yjxylxy/x=?看到=//衛(wèi)=代，直接積分。

解：^x\/xy/xdx=jx8dx=-^X8+C.

思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。

解：[―--------z-dx=f(-------)dx=[―dx-(------dx=------arctanx+C.

J.?(l+x2)Jx21+x2Jx2Jl+x2x

ce^-l

★(11)^—dx

Je-1

解：=[(f，1~1)(f+1)(/A-=f(e*+l)dx=e*+x+C.

Jer-1Jex-l」

★★(12)j3Z*dx

思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)賽的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然3"=(3》。

解：箴+C.

★★(13)jcot2xJx

思路:應(yīng)用三角恒等式wcot2x=csc2x-1"

解：jcot2xJx=j(csc2x-i)dx=-cotx-x+C

★★(")戶薩。

思路:被積函數(shù)23-52=2_5(2>,積分沒(méi)困難。

3r3

解：[2-3'5-2'右=r(2_5(2丫址=2x-5——+C.

J3'J3In2-ln3

★★(15)[cos2—tZr

J2

思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降病，再積分。

x

f?,rl4-cosx,11.「

序卜.cos—a=----―—dx=—x+—sinx+C.

J2J222

★★(16)f——J——dx

J1+cos2x

思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降森公式，先升賽再積分。

解：f-----!-----dx=[----―dx=—[sec2xdx=-tanx+C.

J1+cos2xJ2cos~x2J2

★(17)fcos2xdx

Jcosx-sinx

思路:不難，關(guān)鍵知道“cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)”。

解：I*—""-dx=[(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C.

Jcosx-sinxJ

★(18)js,",

Jcos-xsin'x

思路：同上題方法，應(yīng)用“cos2x=cos2x-sin2”,分項(xiàng)積分。

解：J8s2X,仆『°s…sin鼠=J

JcosxsinxJcos-x-sinxJsinxJcosx

=jcsc2xdx-jsec2xdx=-cotx-tanx+C.

★★(19)+J產(chǎn)班

Jv1+xV1-x

思路:注意到被積函數(shù)月+戶應(yīng)用公式⑸即可。

Vi+xVi-x717?ViT？Vi^7

★★(20)

Jl+cos2x

思路:注意到被積函數(shù)±2左=匕華,sec"+L則積分易得。

1+cos2x2cosx22

解：『31，即2妨+1防=嗎匕+心

J1+cos2x2J2J2

★2、設(shè)W(x)4x=arccosx+C>求/(x)。

知識(shí)點(diǎn)：考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：梟]7(x)"x]=/(x)即可。

解：等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得：

xf(幻=[，f(x)=[

V1-X2XA/1-X2

★3、設(shè)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx,求/(x)的原函數(shù)全體。

知識(shí)點(diǎn)：仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。

解：由題意可知，/(x)=jsinxdx=-COSX+Cj

所以y(x)的原函數(shù)全體為：!(-cosx+C^x=-sinx+C]X+C2。

★4、證明函數(shù)和e*Mx都是一-—的原函數(shù)

2chxshx

知識(shí)點(diǎn)：考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：只需驗(yàn)證即可。

解：—--=/，，而—[(-e2')]=—[e'shx]=—[e'chx]=e2'

chx-shxdx2dxdx

★5、一曲線通過(guò)點(diǎn)(/,3),且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒

數(shù)，求此曲線的方程。

知識(shí)點(diǎn)：屬于第12章最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原

函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即

可。

解：設(shè)曲線方程為y=/(x),由題意可知：—[/(%)]=1,.-./(%)=InIxI+C；

dxx

又點(diǎn)(/,3)在曲線上，適合方程，有3=ln(e2)+C".C=l,

所以曲線的方程為/(x)=ln1x1+1.

★★6、一物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)f秒后的速度是3戶(m/s),問(wèn)：

(1)在3秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？

(2)物體走完360米需要多少時(shí)間？

知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不

定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。

解：設(shè)物體的位移方程為：)，=/(；),

則由速度和位移的關(guān)系可得：-?-[/(/)]=3r2=>/(?)=?+C,

dt

又因?yàn)槲矬w是由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的，，/(0)=0,.-.C=0,.-.f(t)=r.

(1)3秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為：〃3)=3?=27米;

⑵令尸=360==#麗秒。

習(xí)題4-2

★1、填空是下列等式成立。

知識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡(jiǎn)單的湊微分。

思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。

解：(1)公=-d(7x-3);(2)xdx=x2);(3)x3dx=—J(3x4-2);

7212

(4)e"dx=-d(e2x);(5)—=-d(51nIxI);(6)—=--J(3-51n\xI);

2x5x5

(7)-^=dt=2d(〃);(8)—g—=—J(tan2x);(9)-=-t/(arctan3x).

yftcos22x21+9/3

2、求下列不定積分。

知識(shí)點(diǎn)：(湊微分)第一換元積分法的練習(xí)。

思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)

式中，有沒(méi)有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來(lái)的功夫來(lái)自

對(duì)微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對(duì)特定的題目也

非常有效，這在課外例題中專門(mén)介紹！

★(1)/小

思路:湊微分。

解：p'dt=1J*</(3r)=￥'+C

★⑵j(3-5x)Zt

思路:湊微分。

解：j(3-5x)dx=-1J(3-5x)?d(3-5x)=-^(3-5x)4+C

★(3)f-U/.v

J3-2x

思路:湊微分。

.J-----dx—Jd(3—2x)=—In13—2xI+C.

32x232x2

★⑷門(mén)

思路:湊微分。

:jy^=dx=——==d(5—3x)=——J(5—3x)31(5_3x)=——(5—3x)^+C.

X

★(5)j(sinax-e*)tZr

思路:湊微分。

及"x?￡X]X

解：j(sinax-)dx=—jsinaxd(ax)-b^d(y)=-■-cosax-be'"+C

★★(6)

思路:如果你能看到以〃)=冊(cè)力,湊出"而易解。

解：Jco^_r=2jcos\ZFf/(>/7)=2sin>/7+C

★(7)Jtan10xsec2xJx

思路:湊微分。

解：ftan10xsec2xdx=Jtan10xd(tanx)=yj-tan"x+C.

★★(8)f—把—

Jxhixlnlnx

思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式⑶湊微分即可。

解：[―^―=^(lnllnxl)=ln|lnlnx|+c

JxlnxlnlnxJlnxlnlnxJInInx

★★(9)ftanVl+A-2^dx

思路:本題關(guān)鍵是能夠看到是什么，是什么呢？就是dG!這有一定難

度！

解：jtan\/l+x2=jtan\ll+x2d\l\+x2=-lnIcos\ll+x2I+C

★★(10)[dx

Jsinxcosx

思路:湊微分。

解:

方法一：倍角公式sin2x=2sinxcosx。

rdxr2dxf八….八八?「

------------=-............=esc2xd2x=inIcsczx-cot2xI+C

JsinxcosxJsin2xJ

方法二：將被積函數(shù)湊出tan工的函數(shù)和tanx的導(dǎo)數(shù)。

[-----------=[——C°SXdx=[---sec2xdx=[---Jtanx=InItanxI+C

JsinxcosxJsinxcos~xJtanxJtanx

方法三：三角公式sin2%+cos2x=l,然后湊微分。

fd.xrsi?n-2x+cos2-x.rsinx.rcosx..dcosxcdsinx

------------=--------------------dx=-------dx+-------dx=-\-

Jsinxcosx'sinxcosxJcosxJsinx」

=-InIcosxI+InIsinxI+C=InItanxI+C

★★(11)產(chǎn)

Jex+e

思路:湊微分：±=半dexdex

1+e2x1+(/I

解：/=層H舟……c

★(12)Jxcos(x2)Jx

思路:湊微分。

解：Jxcos(x2Mx=gjcosx'dx2=^sinx2+C

xdx

★★(13)

>-3x2

思路：由Jdx_1-常字湊微分易解。

yj2,—3x~2，2—3f

解：［..xdx=--代2-3尸)=」f(2-3x2p</(2-3x2)=--V2-3x2+C

J；2^376J72^376J3

★★(14)jcos2(tyz)sin((wz)<//

思路:湊微分。

解：Jcos2(6yr)sin(6yr)t/r=—jcos2(cot)sin(cot)clcot=——Jcos?3Mcos(碗)

1a

-----COS(69/)+C.

36y

★★

(15)J14</x

思路:湊微分。

解：J沙”=與各戶力占加二q居灑i-i+c

★(16)p^x

JCOSX

思路:湊微分。

解：fSil\Adx=-f-^-6/C0SX=-一二+C.

JCOSXJCOSX2COSX

★★(17)Jj:"x

思路:經(jīng)過(guò)兩步湊微分即可。

X101”

解:正^arcsin(五)+C

★★(18)

思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。

解:

_1r1,2x--f-j=J=t/4x2

8JA/9-4X2

12

二”_1f152x+-f,rf(9-4x)

8J79-4X2

=-arcsin(—)+-,9-4/+C.

234

★★(19)

J2X2-1

思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。

解：=lf(^J——廠)dx

J2x2-1J(V2x+l)(V2x-l)2JV2x-1V2x+1

一廠［(廠廠)dyf2x

2V2JV2x-1V2x+1

)=9需+C

=)歷、歷［dgx\)fr\rrd(Jlx+\

2*v2\/2,x-125/2v2x+1

★(20)f-^

J(4-5x)2

思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。

--4―!~-)d(4-5x)

解：f_^_=f_l(±^z4)rfjc=±f(_L

J(4-5x/J5(4-5x)225J4-5x(4-5x>

d(4-5x)——------Z(4-5x)=

25J(4-5x)2

★(2D"

思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。

版.fx%x_r(x-l+l)2Jx_r(x-1)2,(xT),1w

(2u1inn)dx

杵?JJ(x.1)><?u-l),()o(x-1)100

=f(Qg+2+而)。。I)

J'(x-1升(x-l)"U-l)'00

=_±_J__±_J__11,C

97(x-1產(chǎn)49(x-1)9899(x-1)99,

★★(22)心

Jx8-1

思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。

解.rxdxrxdx包____-)xdx=—［(--!------—)dx2

8-44-4

h-1'(A-1)(X+1)J2x-1A4+r4j\-4-ix4+r

1

+1)x4+1

x2-1X2

f1.->1,.x"-1.12〃

—T-Z——dx~=-lnI—：——I——arctanx+C.

4JU2)2+18x2+i4

★(23)jcos3xdx

思路:湊微分。

cosxdx=dsinxo

解：jcos3xdx=jcos2xcosxJx=jcos2xdsinx=J(1-sin2x)f/sinx

=sinx--sin3x+C

3

★★(24)Jcos1M+e)力

思路:降賽后分項(xiàng)湊微分。

l+cos2(&+°)

解：jcos2(6y/+(p)dt=jcos2(cot+(p)d2{cot+(p)

2

=—t+—sin2(切+*)+C

24G

★★★(25)jsin2xcos3xdx

思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。

解：jsin2xcos3xdx=5"5x-gjsinxdx

--cos5x+-cosx+C

102

★★★(26)卜in5xsin7"x

思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。

解：jsin5.rsin7x6/x=(cos2x-cos12x)dx=jcos2xd2x-jcos12xd(12x)

=-sin2x-----sin12x+C.

424

★★★(27)pan3xsecxdx

思路：湊微分tanxsecxdx=dsecx。

解：jtan3xsecxdx=jtan2xtanxsecxtir=jtan2xdsecx=j(sec2x-\)dsecx

=jsec2xdsecx-jt/secx=^sec3x-secx+C

★★(28)唔;

思路:湊微分=dx=d(-arccosx)o

Vi-7

]Qarccosxirjarccosx

解：『=-flOarcwsxJarccosx=——+C.

\l\-xJIn10

★★(29)/dx

(arcsinx)2vl-x2

思路:湊微分3=dx=d(arcsinx)。

VT7

dxrdarcsinx1「

解：［=-----------T=-----------+C

(arcsinx)2Vl-x2J(arcsinx)arcsinx

arctanyfx

★★★★(30)fdx

4(1+x)

思路:號(hào)分^=^^^"4=2arctan&(34).

解：嘴號(hào)”喈帝

=(arctanVx)2+C

Intanx,

★★★★(31)----------dx

Jcosxsinx

思路:被積函數(shù)中間變量為tanx,故須在微分中湊出tanx,即被積函數(shù)中湊出sec。,

Intanx,Intanx,Intanx。,Intanx.

------------dx=——；---------dx=---------sec-xdx=---------atanx

cosxsinxcosxtanxtanxtanx

=IntanxJ(lntanx)=4/(—(Intanx)2)

AS.rIntanx.rIntanx.fintanx,r,、

周午.------dx=；-----ax=---------dtanx=IntanxaI(ZI1ntanx)

Jcosxsin%JcosxtanxJtanxJ

1)

=—(Intanx)?+C

思路:(l(xInx)=(1+Inx)dx

解：j1+.二dx=f——!--d(x\nx)=----5—+C

J(xlnx)-J(xlnx),x\nx

★★★★(33)￡

Jl-e，

解：方法一：

思路:將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)除以e*,則湊微分易得。

f-^=\-^—dx=-f—l—d(e-s)=-f—!~(/『*-])=-]nIe7-]I+C

X

Jje*Je--1Je--1Je-'-l

方法二:

思路:分項(xiàng)后湊微分

J曰=IT'=T沙(”)

=x-lnll-erl+C=x-ln(exle-v-ll)+C

=x-(Ine1-InI-11)+C=-InI-11+C

方法三：

思路：將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以裂項(xiàng)后湊微分。

=x-In11-I+C=-InI-11+C

★★★★削/

解：方法一:

思路：分項(xiàng)后湊積分。

r4dx_1產(chǎn)6+4-x6dx

L(X6+4)-4」x(l+4)

=—InIxI

4

方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。

令x=則dx=--\dto

tv

.fdx_f—__Lf佇-一■!w⑷6+)

6

',L-(x+4)"b,4(/)-24」1+4「-24」1+4/

t6

ii4

=——ln(l+4Z6)+C=——ln(l+—)+C.

2424x6

★★★★(35)f-v^-

Jx8(l-x2)

解：方法一：

思路：分項(xiàng)后湊積分。

pdx「1—爐+戈'/p(l-%2)(1+%")(1+戈4)j,pdx

h8(l-x2)=Jx8(l-x2)J―/(1-x2)C'+J匚7

?l+x2+x4+x6.fdx

------------dx+-----------

x8J(l-x)(l+x)

=-------------：-------In----+C

7/5*'3x3x2\+x

方法二：思路：利用第二類換元法的倒代換。

令x=->則dx=-■\dto

dx=J'TX(-Jdf)=-J±^=-]■(/+/+〃+l+=p&

-Jx8(l-?)

]一3

=-j(r6+r4+r2+l)dt-J(，-嚴(yán)f=-J(J+/+t2+\)dt-J(———勺出

3、求下列不定積分。

4K+c=」l-二匕+C

7532z+17x?5x$3x3x21+x

知識(shí)點(diǎn)：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí)。

思路分析：題目特征是——被積函數(shù)中有二次根式，如何化無(wú)理式為有理式?

三角函數(shù)中，下列二恒等式起到了重要的作用。

sin2x+cos2x=I;sec2x-tan2x=\.

為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將

角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量

即可。

★★★(1)fd.X

」1+J1--

思路:令x=sinf，M<],先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降賽公式。

解:令x=sint,，|<],J5'Jdx=costdt

...[-^L=\dt-=

J1+V1-X2"+COS1JJl+cosr2cos2」

、2

fx

=f-tan—+C=arcsinx----------+C.(或二arcsin+C)

21+VT?x

(萬(wàn)能公式tan」==—絲又sin/=x時(shí)，cosr=Vl-x2)

21+costsinr

JX

思路:令x=3secf/G(0,—)9三角換元。

2

解：令x=3secf,fe(0,生)，則=3secftanf</f。

2

3tant-3secttantdt=3Jtan=dr=3J(sec'-l)df

3sect

(x=3secx時(shí)，cosx=3,sinx=旦,tanx=^)

xx3

★★★⑶

+1)3

思路:令x=ianf，M<B，三角換元。

2

解：令X=tanf,W<g,則dx=sectdto

dxrsec2tdtf力「,^X廠

==------=----=cosfar=sinr+C=-/+C

J

+1)產(chǎn)JsectJsec/J1+/

dx

★★★(4)

1+/)3

思路:令工=atanf,“<1,三角換元。

解：令x=fltanr,|r|<,則dx=asec2tdt。

2

?/dx_[asectdt_pdt=Jjcos/山=Jsin/+C

yj(x2+a2)3/sec31Ja2seer

—'v.+C.

a~2\J/a2~+x~9

X2+1

★★★★(5)j-

思路:先令〃=進(jìn)行第一次換元；然后令〃=進(jìn)行第二次換元。

/+i

解：?.?『=clx=—f—，+?dx2，令u=x2得:

u+\

rdu9=tanr,|r|<y,貝!]du=sec2tdt,

X\lx4+1

u+\,Irtanr+I,1rtant+1,

du=---------sec'2tat=-------sectat

32Jtanfseer2Jtanr

=~\(escI+sec/)力=JIn|secf+tan+；In|csct-cott\|+C

=gIn|V?2+1+“+J4+1+x2|+^-ln

+—In+C=-ln+C.

2

（與課本后答案不同）

★★★(6)^5-4x-x2dx

思路:三角換元，關(guān)鍵配方要正確。

解：5-4x-=9-(x+2)2,令x+2=3sin，，W<',貝！)dx=3cosf力。

/.^\j5-4x-x2dx=^9cos2tdt=9,+；s2%=9(^-+:sin2r)+C

=-arcsin75-4x-x2+C.

232

★★4、求一個(gè)函數(shù)/'（X）,滿足r（x）=-4=,且/（o）=i。

\l\+x

思路:求出一=的不定積分，由條件“0）=1確定出常數(shù)C的值即可。

Ji+X

令F(x)=2VTT7+c,又/(o)=i,可知。二一1,

f(x)—2>/l+x—1.

n0-15

★★★5、設(shè)ln=jtanxdx,,求證：In=tanx-/H_2,并求jtanxdx。

思路：由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù)tan"x分開(kāi)成tan,,-2xtan2x,進(jìn)而寫(xiě)成：

tanfl-2x(sec2x-1)=tan""xsec2x-tan-2x,分項(xiàng)積分即可。

證明：/,7=Jtan"xdx=j(tan/1-2xsec2x-tan/,-2x)dx=jtann_2xsec2xdx-jtan/,-2xdx

/,

—Jian〃?xdtsnx_I~-----tsnxn-2,

54

n=5時(shí)，/5=jtanxdx=—tanx-I3=；tan"x-gtan?x+人

=-tan4x--tan2x+ftanxdx=-tan4x--tan2x-lnIcosx\+C.

42J4211

習(xí)題4-3

1、求下列不定積分：

知識(shí)點(diǎn)：基本的分部積分法的練習(xí)。

思路分析：嚴(yán)格按照反、對(duì)、森、三、指'順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微

分號(hào)下湊微分J的原則進(jìn)行分部積分的練習(xí)。

★(1)jarcsinxdx

思路:被積函數(shù)的形式看作darcsinx,按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序，森函數(shù)

X。優(yōu)先納入到微分號(hào)下，湊微分后仍為公。

解：farcsinxdx=xarcsinx-fx—=J=Jx=xarcsinx+-[,z/(l-x2)

=xarcsinx+\ll-x2+C.

★★(2)jln(l+x2)Jx

思路：同上題。

22

解：jln(l+xy/x=xln(l+x)-jx2dx=xln(l+

=xln(l+x2)-“"I：!-'/'=xln(l+J)-+2

=xln(l+x2)-2x+2arctanx+C.

★(3)jarctanxdx

思路：同上題。

解：farctanxdx=xarctanx-fx—^-7=xarctanx--

JJ1+x22

12

=xarctanx-—ln(l+x)+C

★★(4)fe-2xsin^c/A-

J2

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、森、三、指”順序湊微分即可。

-2r_.X1f_1X.

解：*/psin^dx=jsin，(_g"2x)=_ge2xsin—+—\e2r—cos—Jx

2222

-.x1

—e'2xsin—+—Jcos夕(一#、)

224

1-2x.x1.1.X12x

—e■sin—+—(——2xecos------e~sin，a)

224224

1

—e-2xsi.n--X----1e_2xcos--X----1--\re-2xsin^r

228216J2

f-2x-X,Ze"，.xX

Jesin=———(4sin—+cos—)+C.

★★(5)JX2arctanxdx

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

解：Jx2arctanxdx=jarctanxd(g)=^x3arctanx-

「1fX3+X-X.11r.X..

=-xarctanx——-----—：―ax=—x3arctanx——\(x-------^)dx

33J1+x233J1+x2

=—x3arctanx--[xdx-\-—[—=-x3arctanx--x2+—f—^rJ(l+x2)

33J3Jl+x2366Jl+x2

1112112\X-.

——xarctanx—xH—ln(l+x)+C.

366

★(6)fxcos^v/x

J2

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、賽、三、指”順序湊微分即可。

解：fxcosA/x=2[xJsin—=2xsin--2fsin^-dx=2xsin--4fsin—d—

J2J22J22J22

xx

=2xsin—+4cos—+C.

22

★★(7)jxtan2xdx

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

解：tan2xdx=j.v(sec2x-Y)dx=j(xsec2x-xylx=jxsec2xdx-jxdx

=^xd(tanx)-^xdx=xtanx-jtanxdx-=xtanx+In|cosx|--^-x2+C.

★★(8)^\n2xdx

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、賽、三、指”順序湊微分即可。

解：=xln2x-|x-21nx—Jx=xln2x-2jlnxe/x=xln2x-2xlnx+2jx—t/x

=x\n2x-2x\nx+2p/x=x\n2x-2x\nx+2x+C.

★★⑼Jxln(x-10x

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

2..

解：「ln(x-V)dx=Jin*-1)J—x2ln(x-1)--

■dx=^x2ln(x-1)-；J*+]+~~^x

22x-l

=—x2In(x-l)--x2--x--ln(x-l)+C

2422

★★(10)J詈

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

222

解：^^-^-dx=jinxd(--)=--Inx+[—2\nx—dx=一~-Inx+2

xJxxXx

)=--In2x--lnx+2\\dx=--In2x--Inx--+C

=—In2x+2

xJxxxO'xxx

=--(In2x+lnx+2)+C

x

★★(11)|cosInxdx

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

解：,/jcoslnAJX=xcoslnx+jxsinlnx--dx=xcoslnx+jsin\nxdx

x

=xcoslnx+xsinInx-jxcosInx?^-dx=xcosInx+xsinlnx-jcosInxdx

/.jcosInxdx=3(cos\nx+sinInx)+C.

★★(12)

思路：詳見(jiàn)第（10）小題解答中間，解答略。

★★(13).\nxdx(〃0-1)

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、猴、三、指”順序湊微分即可。

n+ii

解：JxnInxdx=flnxJ---=----xn+iInx-Lx

Jn+1〃+1X

=---xrt+,Inx-Inx----—+C.

n+1(?+D

★★(14)jx2e~xdx

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、賽、三、指”順序湊微分即可。

解：jx2e'xdx=-x2e-x+^e'x2xdx=-x1e~x-2xe'x+2^e'xdx

=—x*,€—2xe—2e'+C=—eA(A■?+2,x+2)+C

★★(15)jV(]nx)2公

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

解：jx3(lnx)2dx=j(lnx)2^(^-x4)=^-x4(lnx)21x4-21nx--Jx

=+4(lnx)2一;jx3Inxdx=~(^nx)2~~Jlnxdx，

=，/(lnx)2—L/lnx+，[x4?—Jx=—x4(lnx)2--x4lnx+-\x3dx

488Jx488J

=—x4(lnx)2--x4lnx+—x4+C=-x4(21n2x-lnx+—)+C.

483284

★★(16)J用x

思路：將積分表達(dá)式則心寫(xiě)成Inlnm(lnx),將Ini看作一個(gè)整體變量積分即可。

x

解：rlnInA_j]nlnxd(lnx)=In.rlnlnx-flnx^―?—t/x=Injrlnlnx-{—dx

JxJJInxxJx

=Inxlnlnx-lnx+C=Inx(lnlnx-l)+C.

★★★(17)jxsinxcosxdx

思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、霹、三、指”順序湊微分即可。

解：Ixsi