中考最值問題講義

PAGEPAGE4中考最值問題講義“最值”問題：就是求一個變量在某范圍內(nèi)取最大或最小值的問題。與幾何有關(guān)的最小值（或最大值）問題，是幾何計算問題的重要題型.由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．1.求最值問題的基本方法：（1）特殊位置與極端位置法；（2）利用函數(shù)模型求最值（3）幾何定理（公理）法；①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點間線段最短；③連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長。1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點A（-1，1），則ab有A．最大值1B．最大值2C．最小值0D．最小值2.如圖，點A在半徑為3的⊙O內(nèi)，OA=，P為⊙O上一點，當(dāng)∠OPA取最大值時，PA的長等于（）.A．B．C．D．3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P在由直線，直線和直線所圍成的區(qū)域內(nèi)或其邊界上，點Q在x軸上，若點R的坐標(biāo)為，則的最小值為（）.A．B．C．D．44.如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值是．5.如圖，點P在第一象限，△ABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點A在x軸的正半軸上運動時，點B隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點P到原點的最大距離是________；若將△ABP的PA邊長改為，另兩邊長度不變，則點P到原點的最大距離變?yōu)開_______.6.如圖，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的頂點C、D、F分別在邊AO、OB、AB上.（1）若C、D恰好是邊AO、OB的中點，矩形CDEF的面積為_______；（2）若，矩形CDEF面積的最大值為___________.7、在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為_______㎝（結(jié)果不取近似值）.ADEPBC8、如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（）ADEPBCA．B．C．3D．9、如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____．10、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（）A、B、C、D、311.如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？★、如圖，在三角形紙片ABC中，已知∠ABC＝90o，AC＝5，BC＝4，過點A作直線平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點B落在直線上的點P處，折痕為MN，當(dāng)點P在直線上移動時，折痕的端點M、N也隨之移動，若限定端點M、N分別在AB、AC邊上（包括端點）移動，則線段AP長度的最大值與最小值的差為．★、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．設(shè)AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC＝a，連接EP．當(dāng)＝°時，EP的長度最大，最大值為．★、以數(shù)軸上的原點O為圓心，3為半徑的扇形中，圓心角∠AOB=90°，另一個扇形是以點P為圓心，5為半徑，圓心角∠CPD=60°，點P在數(shù)軸上表示實數(shù)a，如圖，如果兩個扇形的圓弧部分(弧AB和弧CD)相交,那么實數(shù)a的取值范圍是．★如圖，⊙O的半徑為1，點A是半圓上的一個三等分點，點B是的中點，P是直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為__________.（1）若過原點的拋物線經(jīng)過點B、E，求此拋物線的解析式；AOxBCDyE（2）若點在該拋物線上移動，當(dāng)點P在第一象限內(nèi)時，過點作軸于點，連結(jié).若以、、為頂點的三角形與以B、C、E為頂點的三角形相似，直接寫出點的坐標(biāo)；AOxBCDyE（3）若點M(-4，n)在該拋物線上，平移拋物線，記平移后點M的對應(yīng)點為M′，點B的對應(yīng)點為B′．當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過A（2，0）、B（4，0）兩點，直線交y軸于點C，且過點．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點P，使的值最小，求出點P的坐標(biāo)；（3）將拋物線左右平移，記平移后點A的對應(yīng)點為，點B的對應(yīng)點為，當(dāng)四邊形的周長最小時，求拋物線的解析式及此時四邊形周長的最小值．19、如圖，已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為(1，0)。⑴求該拋物線的解析式；⑵動點P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)P。⑶在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標(biāo)。BCAxyFODE20、如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交BCAxyFODE（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）當(dāng)BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點的坐標(biāo)．21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.點D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點.（1）若過點D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1．設(shè)，則k=；（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值．22.已知拋物線：的頂點在坐標(biāo)軸上．（1）求的值；（2）時，拋物線向下平移個單位后與拋物線：關(guān)于軸對稱，且過點，求的函數(shù)關(guān)系式；（3）時，拋物線的頂點為，且過點．問在直線上是否存在一點使得△的周長最小，如果存在，求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．23.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（－3,0）、B（4,0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負(fù)半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動.（1）求該拋物線的解析式；（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MA的值最??？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.24.（1）如圖，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？請你在所給圖中畫出泵站P的位置，并保留作圖痕跡；（2）已知a>0，b>0，且a+b=2，寫出的最小值；（3）已知a>0，b>0，寫出以、、為邊長的三角形的面積.25．已知：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線過點A（－1，0），對稱軸與軸交于點C，頂點為B．（1）求的值及對稱軸方程；（2）設(shè)點為射線BC上任意一點（、C兩點除外），過作BC的垂線交直線于點D，連結(jié)．設(shè)△APD的面積為，點的縱坐標(biāo)為m，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； （3）設(shè)直線AB與y軸的交點為E，如果某一動點Q從E點出發(fā)，到拋物線對稱軸上某點F，再到x軸上某點M，從M再回到點E．如何運動路徑最短？請在直角坐標(biāo)系中畫出最短路徑，并寫出點M的坐標(biāo)和運動的最短距離．26．如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax+4的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，∠CBO的正切值是2．(1)求此二次函數(shù)的解析式．(2)動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時終止運動，直線l與BC交于點D，P是線段AD的中點．①直接寫出點P所經(jīng)過的路線長．②點D與B、C不重合時，過點D作DE⊥AC于點E、作DF⊥AB于點F，連接PE、PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠EPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求∠EPF的度數(shù)；若變化，請說明理由．③在②的條件下，連接EF，求EF的最小值．27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點,頂點為.(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)點為點關(guān)于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結(jié)、、，求和的最小值.28.如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(B在A右側(cè))，與y軸交于點C.（1）求A、B兩點坐標(biāo)；（2）若AD平分∠CAB,交CB于D,且ADCB，求拋物線及直線AD的解析式；（3）若點G、C關(guān)于x軸對稱，直線GB交（2）中直線AD于點K,M、N分別為直線AC和直線AK上的兩個動點，連接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值.29．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點P（2，）為圓心的圓與y軸相切于點A，與x軸相交于B、C兩點（點B在點C的左邊）．（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．如果

存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)；如果若不存在，請說明理由；（3）如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達(dá)y軸上的某點，再到達(dá)x軸上某點，最后運動到（1）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長．.30.在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，與軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分，求出此時點的坐標(biāo)；（3）點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點P在何處時△的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標(biāo).yxAFODBEC31.已知：拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．其中點A在x軸的負(fù)半軸上，點C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長（OAyxAFODBEC（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式；（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．32．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點A．C．D均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=．（1）求過A．C．D三點的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1＜y2時，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上A、E兩點之間的一個動點，當(dāng)P點在何處時，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．ODAyCxB(E)FJ33．如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，使點E與點B重合，直角邊OB、BC在y軸上．已知點D(4，2)，過A、D兩點的直線交y軸于點F．若△ECD沿DA方向以每秒個單位長度的速度勻速平移，設(shè)平移的時間為（秒），記△ECD在平移過程中某時刻為△，與AB交于點M，與y軸交于點N，與AB交于點Q，與y軸交于點P(注：平移過程中，點始終在線段ODAyCxB(E)FJ（1）求直線AD的函數(shù)解析式；（2）試探究在△ECD平移過程中，四邊形MNPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及的取值；若不存在，請說明理由；（3）以MN為邊，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH與坐標(biāo)軸有兩個公共點時的取值范圍．AAFEM34.如圖（1），拋物線和軸的交點為為的中點，若有一動點，自點處出發(fā)，沿直線運動到軸上的某點（設(shè)為點），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設(shè)為點），最后又沿直線運動到點，求使點運動的總路程最短的點，點的坐標(biāo)，并求出這個最短路程的長。34.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，延長AC到點D,使CD=,過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標(biāo)；（2）作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點，再沿GA到達(dá)A點，若P點在y軸上運動的速度是它在