概率論第二章最終稿浙大

例1

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號(hào)，2只白球分別記作4，5號(hào)，則該試驗(yàn)的樣本空間為2.1

隨機(jī)變量現(xiàn)在是1頁\一共有144頁\編輯于星期五我們記取出的黑球數(shù)為

X，則X的可能取值為1,2,3．因此,X是一個(gè)變量．但是，X取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱

X為隨機(jī)變量．X的取值情況可由下表給出：現(xiàn)在是2頁\一共有144頁\編輯于星期五由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量

X

的一個(gè)確定的取值，因此變量

X是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件．例如

表示至少取出2個(gè)黑球這一事件

表示取出2個(gè)黑球這一事件；現(xiàn)在是3頁\一共有144頁\編輯于星期五例2一大批產(chǎn)品中次品率為p，從中任取n件，求其中最多有k件次品的概率。求P(B)現(xiàn)在是4頁\一共有144頁\編輯于星期五例3.Bernoulli試驗(yàn)中，A表示成功，可設(shè)現(xiàn)在是5頁\一共有144頁\編輯于星期五隨機(jī)變量的定義定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是S={e}，

X=X(e)是一個(gè)定義在S上的單值實(shí)值函數(shù)，稱X=X(e)為隨機(jī)變量,簡記為X。esxX=X(e)－－為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù)

現(xiàn)在是6頁\一共有144頁\編輯于星期五說明現(xiàn)在是7頁\一共有144頁\編輯于星期五例4

盒中有5個(gè)乒乓球,其中2個(gè)白球，3個(gè)黃球,從中任取3個(gè),記X=“取到白球的個(gè)數(shù)”,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X的可能取值是0,1,2,且有現(xiàn)在是8頁\一共有144頁\編輯于星期五例5上午8:00～9:00在某路口觀察，令Y：該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；表示通過的汽車數(shù)大于

50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件．現(xiàn)在是9頁\一共有144頁\編輯于星期五

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式的不同，通常分為兩類：離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它現(xiàn)在是10頁\一共有144頁\編輯于星期五2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律目的：學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的概率分布律重點(diǎn)：1.掌握表格和直方圖2.掌握三種重要的離散型分布現(xiàn)在是11頁\一共有144頁\編輯于星期五定義如果一個(gè)隨機(jī)變量僅可能取得有限個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè)數(shù)值，并且所有的數(shù)可按一定的順序排列，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量X其可能的取值為稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律現(xiàn)在是12頁\一共有144頁\編輯于星期五表格形式分布列的性質(zhì)：現(xiàn)在是13頁\一共有144頁\編輯于星期五概率直方圖（面積大小表示概率數(shù)值）另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.6線條圖0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X現(xiàn)在是14頁\一共有144頁\編輯于星期五例1袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次不放回地從中任取一個(gè)球，直至取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布.解設(shè)X為取到白球時(shí)的取球次數(shù)X的可能取值為1,2,3,4,5不難求得因此,所求的概率分布為123450.20.20.20.20.2現(xiàn)在是15頁\一共有144頁\編輯于星期五二幾種常見的離散型分布一、兩點(diǎn)分布二、二項(xiàng)分布三、泊松(Poisson)分布四、超幾何分布*現(xiàn)在是16頁\一共有144頁\編輯于星期五定義若一個(gè)隨機(jī)變量只有兩個(gè)可能的取值,其分布為且特別地,點(diǎn)分布,即參數(shù)為的兩則稱服從處的兩點(diǎn)分布.參數(shù)為若服從處則稱服從參數(shù)為的分布.一、兩點(diǎn)分布現(xiàn)在是17頁\一共有144頁\編輯于星期五

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明現(xiàn)在是18頁\一共有144頁\編輯于星期五例1

拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,有兩種可能的結(jié)果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入變量X，令pi=P{X=i}=0.5(i=0,1

)X的概率分布表：概率分布為現(xiàn)在是19頁\一共有144頁\編輯于星期五例2200

件產(chǎn)品中,有

196

件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布.于是,4

件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定現(xiàn)在是20頁\一共有144頁\編輯于星期五二、二項(xiàng)分布定義

若隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,,n,其概率分布為…

很顯然,n重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)服從二項(xiàng)分布事實(shí)上,二項(xiàng)分布就是來源于n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ同F(xiàn)在是21頁\一共有144頁\編輯于星期五n=1時(shí)，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性質(zhì)(1)(2)現(xiàn)在是22頁\一共有144頁\編輯于星期五二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn):對(duì)于固定及當(dāng)增加時(shí),概率先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.現(xiàn)在是23頁\一共有144頁\編輯于星期五在圖1和圖2中，分別給出了當(dāng)和時(shí)二項(xiàng)分布的圖形.從圖易看出：對(duì)于固定及當(dāng)增加時(shí)，概率先是隨之增加直至達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少.pknOn=10,p=0.7圖1現(xiàn)在是24頁\一共有144頁\編輯于星期五注：為不超過的最大整數(shù).當(dāng)為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率在和處達(dá)到最大值.可以證明，一般的二項(xiàng)分布的圖形也具有這一性質(zhì)，二項(xiàng)概率在達(dá)到最大值；不為整數(shù)時(shí)，且當(dāng)pknOn=10,p=0.7圖1現(xiàn)在是25頁\一共有144頁\編輯于星期五例3

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對(duì)4道題的概率是多少？解每答一道題相當(dāng)于做一次伯努利試驗(yàn)，則現(xiàn)在是26頁\一共有144頁\編輯于星期五例4按規(guī)定,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品.已知某批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取20只,問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級(jí)品的概率為多少？記X為20只元件中一級(jí)品的只數(shù),解現(xiàn)在是27頁\一共有144頁\編輯于星期五解：將每次射擊看成一次試驗(yàn),設(shè)擊中的次數(shù)為X,則X~B(400,0.02),某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。所求概率為現(xiàn)在是28頁\一共有144頁\編輯于星期五隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個(gè)值的概率稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布又稱泊松小數(shù)法則（Poissonlawofsmallnumbers）

性質(zhì)現(xiàn)在是29頁\一共有144頁\編輯于星期五現(xiàn)在是30頁\一共有144頁\編輯于星期五電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.現(xiàn)在是31頁\一共有144頁\編輯于星期五例5一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率.解設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為X所以,一年中不多于兩次斷電的概率為=0.06197查表(累積概率)現(xiàn)在是32頁\一共有144頁\編輯于星期五二項(xiàng)分布的泊松逼近對(duì)二項(xiàng)分布當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，計(jì)算其概率很麻煩.例如，要計(jì)算n=5000故須尋求近似計(jì)算方法.這里先介紹二項(xiàng)分布的泊松逼近現(xiàn)在是33頁\一共有144頁\編輯于星期五泊松定理在重伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為若當(dāng)時(shí)，為常數(shù)),則有該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！現(xiàn)在是34頁\一共有144頁\編輯于星期五二項(xiàng)分布

泊松分布

可見，當(dāng)n充分大,p又很小時(shí),可用泊松分布來近似二項(xiàng)分布！實(shí)際計(jì)算中，時(shí)近似效果變很好.現(xiàn)在是35頁\一共有144頁\編輯于星期五

由泊松定理，n重伯努利試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等現(xiàn)在是36頁\一共有144頁\編輯于星期五例6

一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件?解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.現(xiàn)在是37頁\一共有144頁\編輯于星期五保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤，需要計(jì)算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概率。設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,每個(gè)人一年內(nèi)死亡的概率為0.005個(gè)，試求在未來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率．對(duì)每個(gè)人而言，在未來一年是否死亡相當(dāng)于做一次伯努利試驗(yàn)，1000人就是做1000重伯努利試驗(yàn)，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理現(xiàn)在是38頁\一共有144頁\編輯于星期五2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)目的：學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述，采用概率密度重點(diǎn)：1.理解概率密度函數(shù)的幾何意義，并會(huì)求已知密度函數(shù)，求未知常數(shù)和某個(gè)區(qū)間概率2.掌握三種連續(xù)型分布及其不同性質(zhì)和用途現(xiàn)在是39頁\一共有144頁\編輯于星期五f()為X的概率密度函數(shù),x(或概率密度),f(x)定義與物理中的線密度定義相似一、密度函數(shù)定義現(xiàn)在是40頁\一共有144頁\編輯于星期五xf(x)x密度函數(shù)幾何意義現(xiàn)在是41頁\一共有144頁\編輯于星期五二、有關(guān)事件的概率=0事實(shí)上現(xiàn)在是42頁\一共有144頁\編輯于星期五積分中值定理現(xiàn)在是43頁\一共有144頁\編輯于星期五例1設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求常數(shù)A和

解所以現(xiàn)在是44頁\一共有144頁\編輯于星期五1.如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知三、幾種常見的連續(xù)型分布現(xiàn)在是45頁\一共有144頁\編輯于星期五均勻分布的意義現(xiàn)在是46頁\一共有144頁\編輯于星期五例2某公共汽車站從上午7時(shí)起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.現(xiàn)在是47頁\一共有144頁\編輯于星期五解以

7:00為起點(diǎn)

0,以分為單位,依題意為使候車時(shí)間少于

5分鐘,乘客必須在

7:10到7:15之間,或在

7:25到

7:30之間到達(dá)車站,故所求概率為即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是

1/3.現(xiàn)在是48頁\一共有144頁\編輯于星期五例3

設(shè)隨機(jī)變量

X在

[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)

X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.

X的分布密度函數(shù)為

{X>3}

表示“對(duì)

X的觀測值大于

3的概率”,解因而有設(shè)Y表示3次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則現(xiàn)在是49頁\一共有144頁\編輯于星期五2.如果隨機(jī)變量

X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布的幾何圖形如圖.注：指數(shù)分布常用來描述對(duì)某一事件發(fā)生的等待時(shí)間.例如，乘客在公交車站等車的時(shí)間，電子元件的壽命等，因而它在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在是50頁\一共有144頁\編輯于星期五例4某保險(xiǎn)公司想開展一種新的壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)，被保險(xiǎn)人需一次性繳納保費(fèi)1000元，若被保險(xiǎn)人在10年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司將賠負(fù)5000元，假設(shè)人的壽命服從參數(shù)為1/65的指數(shù)分布.試幫保險(xiǎn)公司做出決策.解假設(shè)某人的壽命為X假設(shè)某人投保時(shí)年齡超過S歲則此人再活10年以上的概率為現(xiàn)在是51頁\一共有144頁\編輯于星期五因此，被保險(xiǎn)人在10年內(nèi)死亡的概率為所以保險(xiǎn)公司對(duì)該被保險(xiǎn)人的預(yù)期收益為1000-0.1426*5000=287(元)結(jié)論:保險(xiǎn)公司可以開展這種保險(xiǎn)業(yè)務(wù).一般化在已活s年的基礎(chǔ)上,再活t年的概率等于壽命大于t年的概率.指數(shù)分布永遠(yuǎn)年輕,無記憶性現(xiàn)在是52頁\一共有144頁\編輯于星期五3、正態(tài)分布現(xiàn)在是53頁\一共有144頁\編輯于星期五

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

現(xiàn)在是54頁\一共有144頁\編輯于星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布現(xiàn)在是55頁\一共有144頁\編輯于星期五2.4

分布函數(shù)目的：為了統(tǒng)一描述離散和連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布，引入累積概率的分布函數(shù)重點(diǎn)：1.正確理解分布函數(shù)F(x)，區(qū)分x定義域和隨機(jī)變量X的取值區(qū)間2.必須會(huì)給定分布律，求分布函數(shù)和概率給定概率密度，求分布函數(shù)和某區(qū)間概率現(xiàn)在是56頁\一共有144頁\編輯于星期五稱為X的分布函數(shù)．0xxX

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,是任意實(shí)數(shù),函數(shù)幾何定義：一、分布函數(shù)的定義現(xiàn)在是57頁\一共有144頁\編輯于星期五分布函數(shù)的性質(zhì)F(x)是單調(diào)不減函數(shù)

0≤F(x)≤1,且不可能事件必然事件F(x)處處右連續(xù)現(xiàn)在是58頁\一共有144頁\編輯于星期五

引進(jìn)分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數(shù)值來表示。分布函數(shù)表示事件的概率現(xiàn)在是59頁\一共有144頁\編輯于星期五是不是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？不是因?yàn)楹瘮?shù)可作為分布函數(shù)思考現(xiàn)在是60頁\一共有144頁\編輯于星期五二，離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)現(xiàn)在是61頁\一共有144頁\編輯于星期五(1)X的分布函數(shù)F(x)，并且畫圖例子1隨機(jī)變量X得的分布律如下(2)求概率現(xiàn)在是62頁\一共有144頁\編輯于星期五三，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)積分關(guān)系導(dǎo)數(shù)關(guān)系現(xiàn)在是63頁\一共有144頁\編輯于星期五1.如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知四，幾種常見的連續(xù)型分布函數(shù)現(xiàn)在是64頁\一共有144頁\編輯于星期五均勻分布的分布函數(shù)為現(xiàn)在是65頁\一共有144頁\編輯于星期五二維隨機(jī)變量第五節(jié)目的：引入同時(shí)描述多個(gè)變量的隨機(jī)變量重點(diǎn)：1.會(huì)求離散型的聯(lián)合分布律和概率2.會(huì)求連續(xù)型的聯(lián)合概率密度和概率現(xiàn)在是66頁\一共有144頁\編輯于星期五例如

E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。

此時(shí)不僅僅是X及Y各自的性質(zhì)，要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，我們將二者作為一個(gè)整體來進(jìn)行研究，記為(X,Y),稱為二維隨機(jī)變（向）量。一，概念引入現(xiàn)在是67頁\一共有144頁\編輯于星期五

設(shè)X、Y

為定義在同一樣本空間S上的隨機(jī)變量，則稱向量（X，Y）為S上的一個(gè)二維隨機(jī)變量定義二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值可看作平面上的點(diǎn)（x，y）A現(xiàn)在是68頁\一共有144頁\編輯于星期五二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機(jī)變量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y.定義稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)(3)(x,y)現(xiàn)在是69頁\一共有144頁\編輯于星期五x1x2y1y2

P（x1Xx2，y1Y

y2）

=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)現(xiàn)在是70頁\一共有144頁\編輯于星期五二維離散型隨機(jī)變量

若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。如何反映（X，Y）的取值規(guī)律呢？定義研究問題聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布律。現(xiàn)在是71頁\一共有144頁\編輯于星期五（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達(dá)式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常見形式）性質(zhì)現(xiàn)在是72頁\一共有144頁\編輯于星期五一個(gè)口袋中有三個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，從中任取一個(gè)，不放回袋中，再任取一個(gè)，設(shè)每次取球時(shí)，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的聯(lián)合分布列.

的可能取值為(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例1解現(xiàn)在是73頁\一共有144頁\編輯于星期五

若存在非負(fù)函數(shù)f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度

定義現(xiàn)在是74頁\一共有144頁\編輯于星期五聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性幾何解釋..隨機(jī)事件的概率=曲頂柱體的體積現(xiàn)在是75頁\一共有144頁\編輯于星期五設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為

(1)確定常數(shù)k；

(2)求的分布函數(shù)；；

.

(4)求例2現(xiàn)在是76頁\一共有144頁\編輯于星期五(1)所以解

現(xiàn)在是77頁\一共有144頁\編輯于星期五(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，現(xiàn)在是78頁\一共有144頁\編輯于星期五(3)41或解現(xiàn)在是79頁\一共有144頁\編輯于星期五(4)現(xiàn)在是80頁\一共有144頁\編輯于星期五224例3

已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率解

1現(xiàn)在是81頁\一共有144頁\編輯于星期五續(xù)解……….x+y=3現(xiàn)在是82頁\一共有144頁\編輯于星期五思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率2241解答

現(xiàn)在是83頁\一共有144頁\編輯于星期五目的：通過給出的二維分布，求出X,Y的一維分布重點(diǎn)：掌握由二維分布求一維分布和邊緣概率密度第六節(jié)：邊緣分布現(xiàn)在是84頁\一共有144頁\編輯于星期五回顧二維隨機(jī)變量,是兩個(gè)隨機(jī)變量視為一個(gè)整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律。問題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來確定兩個(gè)一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？——邊緣分布問題

現(xiàn)在是85頁\一共有144頁\編輯于星期五二維離散型R.v.（隨機(jī)變量）的邊緣分布如果二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為即現(xiàn)在是86頁\一共有144頁\編輯于星期五二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布現(xiàn)在是87頁\一共有144頁\編輯于星期五邊緣分布是兩個(gè)一維分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布第j列之和第i行之和現(xiàn)在是88頁\一共有144頁\編輯于星期五二維離散型R.v.的邊緣分布例1

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為求關(guān)于X、Y的邊緣分布現(xiàn)在是89頁\一共有144頁\編輯于星期五關(guān)于Y的邊緣分布解關(guān)于X的邊緣分布為（X，Y）的聯(lián)合分布現(xiàn)在是90頁\一共有144頁\編輯于星期五二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布

關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)于Y的邊緣概率密度為的概率關(guān)于現(xiàn)在是91頁\一共有144頁\編輯于星期五例2

設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)解由得當(dāng)時(shí)關(guān)于X的邊緣分布密度為113現(xiàn)在是92頁\一共有144頁\編輯于星期五113解所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)關(guān)于Y的邊緣分布密度為現(xiàn)在是93頁\一共有144頁\編輯于星期五注意已知二維分布可以求X,Y的邊緣分布已知X,Y的邊緣分布不能求出二維分布二維分布比X,Y各種的邊緣分布要精細(xì)現(xiàn)在是94頁\一共有144頁\編輯于星期五選學(xué)：邊緣分布密度和概率的計(jì)算例3設(shè)（X,Y)的聯(lián)合分布密度為（1）求k值(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度（3）求概率P(X+Y<-1)和P(X>1/2)現(xiàn)在是95頁\一共有144頁\編輯于星期五(2)均勻分布解(1)由得當(dāng)時(shí)-11現(xiàn)在是96頁\一共有144頁\編輯于星期五當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為-11續(xù)解………..

現(xiàn)在是97頁\一共有144頁\編輯于星期五-11解當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為現(xiàn)在是98頁\一共有144頁\編輯于星期五解（3）

現(xiàn)在是99頁\一共有144頁\編輯于星期五第八節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量（R.v.）目的：定義了兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y的獨(dú)立性重點(diǎn)：1.與第一章事件獨(dú)立性的關(guān)系2.會(huì)用定義去驗(yàn)證離散和連續(xù)R.v.的獨(dú)立性3.會(huì)判斷和應(yīng)用X,Y獨(dú)立性從而解決問題現(xiàn)在是100頁\一共有144頁\編輯于星期五隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于：★★定義設(shè)X,Y兩個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意的a,b,c,d,有對(duì)任意i,j對(duì)任意x,y成立，則稱隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。現(xiàn)在是101頁\一共有144頁\編輯于星期五

在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用.在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說明現(xiàn)在是102頁\一共有144頁\編輯于星期五設(shè)（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨(dú)立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐個(gè)驗(yàn)證等式現(xiàn)在是103頁\一共有144頁\編輯于星期五證

∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨(dú)立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y現(xiàn)在是104頁\一共有144頁\編輯于星期五例2

設(shè)（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）

(2)(X,Y)的邊緣密度，（3）判斷X、Y是否獨(dú)立。解①設(shè)A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11現(xiàn)在是105頁\一共有144頁\編輯于星期五②邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，同理可得現(xiàn)在是106頁\一共有144頁\編輯于星期五③所以X與Y相互獨(dú)立?，F(xiàn)在是107頁\一共有144頁\編輯于星期五例3

已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。判斷X，Y是否獨(dú)立。解（X,Y）的密度函數(shù)為現(xiàn)在是108頁\一共有144頁\編輯于星期五當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為關(guān)于X的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)現(xiàn)在是109頁\一共有144頁\編輯于星期五當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)現(xiàn)在是110頁\一共有144頁\編輯于星期五所以所以，X與Y不獨(dú)立。現(xiàn)在是111頁\一共有144頁\編輯于星期五設(shè)（X,Y)服從矩形域上的均勻分布，求證X與Y獨(dú)立。課后：時(shí)解現(xiàn)在是112頁\一共有144頁\編輯于星期五于是同理所以即X與Y獨(dú)立。時(shí)現(xiàn)在是113頁\一共有144頁\編輯于星期五第九節(jié)一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目的：學(xué)會(huì)由已知隨機(jī)變量X的簡單分布，得到復(fù)雜分布的方法。重點(diǎn)：掌握簡單離散和連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法?，F(xiàn)在是114頁\一共有144頁\編輯于星期五隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量密度函數(shù)分布函數(shù)現(xiàn)在是115頁\一共有144頁\編輯于星期五若X為離散型隨機(jī)變量,其分布律為X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．pk

p1p2p3．．．．．．．pn．．．．則隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．如果g(xi)與g(xj)相同，此時(shí)將兩項(xiàng)合并，對(duì)應(yīng)概率相加．離散隨機(jī)變量的函數(shù)的分布現(xiàn)在是116頁\一共有144頁\編輯于星期五設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求Y=2X2+1的分布律．解例1由題設(shè)可得如下表格X－1012pk

0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布律為y

139pk

0.30.60.1現(xiàn)在是117頁\一共有144頁\編輯于星期五解由題設(shè)可得如下表格設(shè)圓半徑X的分布律為求周長及面積的分布律．例2X

9.51010.511pk

0.060.50.40.04現(xiàn)在是118頁\一共有144頁\編輯于星期五解所以，周長的分布律為面積的分布律為現(xiàn)在是119頁\一共有144頁\編輯于星期五設(shè)X為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為

f(x)。y=g(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度函數(shù)(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)根據(jù)分布函數(shù)的定義(2)對(duì)FY(y)求導(dǎo)，得到fY(y)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一般方法現(xiàn)在是120頁\一共有144頁\編輯于星期五設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。先求Y=2X+8的分布函數(shù)FY(y).解（1）例3現(xiàn)在是121頁\一共有144頁\編輯于星期五（2）求Y=2X+8的概率密度現(xiàn)在是122頁\一共有144頁\編輯于星期五解先求分布函數(shù)FY(y)。設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布求的概率密度。當(dāng)時(shí)，所以，選學(xué)現(xiàn)在是123頁\一共有144頁\編輯于星期五當(dāng)時(shí)，所以，現(xiàn)在是124頁\一共有144頁\編輯于星期五推論定理正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化現(xiàn)在是125頁\一共有144頁\編輯于星期五練習(xí)設(shè)圓的半徑X服從區(qū)間(1,2)上的均勻分布，求圓面積的分布密度函數(shù)。答案：現(xiàn)在是126頁\一共有144頁\編輯于星期五2.9二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目的：已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)。重點(diǎn)：學(xué)會(huì)X，Y是獨(dú)立隨機(jī)變量時(shí)的g（X，Y）的分布現(xiàn)在是127頁\一共有144頁\編輯于星期五

二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j)＝pij，i,j＝1,2,…則Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…現(xiàn)在是128頁\一共有144頁\編輯于星期五例1.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為求隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)的分布(1)Z1=X+Y(2)Z2=XY。現(xiàn)在是129頁\一共有144頁\編輯于星期五Z1的分布律為Z2的分布律為現(xiàn)在是130頁\一共有144頁\編輯于星期五

例2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且均服從0-1分布，其分布律均為

(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律；(4)求Z=X2+3Y。解：0

1

1

20

1

1

10

0

0

1

0

3

1

4現(xiàn)在是131頁\一共有144頁\編輯于星期五二、兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y