單元教學(xué)視域下的概念課實(shí)踐認(rèn)識(shí) 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選單元教學(xué)視域下的概念課實(shí)踐認(rèn)識(shí)——以“n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”課堂教學(xué)為例摘要：?jiǎn)卧虒W(xué)是發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑，對(duì)于數(shù)學(xué)單元教學(xué)而言，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是核心.數(shù)學(xué)單元教學(xué)視域下的概念課教學(xué)應(yīng)立足整體分析的策略，挖掘概念的形成背景，親歷概念的形成過(guò)程，概念同化要回歸概念的本質(zhì).關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧虒W(xué)；概念課；實(shí)踐認(rèn)識(shí)引言：概念課是單元教學(xué)課的一種重要課型，數(shù)學(xué)概念是反映客觀事物關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式．[1]數(shù)學(xué)概念課是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，數(shù)學(xué)單元概念課教學(xué)要立足單元知識(shí)整體結(jié)構(gòu)，對(duì)與概念相關(guān)聯(lián)性的教材情境內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合，挖掘概念產(chǎn)生的因由，思辨概念的內(nèi)涵.應(yīng)圍繞概念本質(zhì)設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)，在數(shù)學(xué)概念的形成和運(yùn)用過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，落實(shí)核心素養(yǎng)導(dǎo)向.一、《n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》整體教學(xué)思路分析《n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》是人教版《普通高中教科書?數(shù)學(xué)（A版）》必修第一冊(cè)第四章第一節(jié)內(nèi)容，是單元起始概念課，本節(jié)課的學(xué)習(xí)方法對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容起到借鑒作用.本節(jié)的核心內(nèi)容是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，根式是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的另一種表現(xiàn)形式，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生用整體的眼光把握二者之間的關(guān)系，教師要梳理分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念產(chǎn)生的背景，教學(xué)的著力點(diǎn)應(yīng)放在根式概念上，要在概念形成和概念同化上下功夫，重視概念產(chǎn)生的背景，重視概念形成的合理性分析.概念同化要回歸根式概念的本質(zhì)，通過(guò)對(duì)根式性質(zhì)的探究深化對(duì)根式概念的理解.理清了根式概念，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的引入就水到渠成了.二、《n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》整體教學(xué)策略分析1．挖掘概念的形成背景，自然引入概念數(shù)學(xué)是反映客觀存在規(guī)律的一門學(xué)科，“存在”是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念推廣的前提.在學(xué)生認(rèn)的知結(jié)構(gòu)中，數(shù)系是由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，再到無(wú)理數(shù)的擴(kuò)充，由于整數(shù)指數(shù)冪是存在且有意義的，學(xué)生大腦里“存在”分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的“映象”.在現(xiàn)實(shí)“需要”下，如前一節(jié)12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選1冪函數(shù)中的y=x=x2，“映象”在潛意識(shí)里被選擇性知覺(jué).在用整數(shù)指數(shù)冪概念的意義理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪產(chǎn)生心理沖突、學(xué)生內(nèi)心產(chǎn)生困惑時(shí)，對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念進(jìn)行新的定義自然就被“需要”了.“需要”是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的內(nèi)在動(dòng)力.在概念引入的過(guò)程中，追溯概念形成的歷史背景，可以使概念自然呈現(xiàn)，不突兀.片斷1：概念引入

情境1：德國(guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾在其著作《整數(shù)算術(shù)》中刊載了一張數(shù)表：…，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5……，1，1，1，1，2，4，8，16，32…842 這張數(shù)表反映的是2的整數(shù)次冪的計(jì)算，將第一排數(shù)細(xì)密化，插入相鄰兩數(shù)的等差中項(xiàng)：…，0，1，1，1+2，2，2+3，3，…222則第2排數(shù)依次為：011122233…，2，22，2，22，2，22，2，…情境2：蘇格蘭數(shù)學(xué)家Napier（1550-1617）對(duì)數(shù)字計(jì)算很感興趣，他想到數(shù)可以用指數(shù)形式表示，如4=22，8=23，那么，5、6、7是否也可以表示成2x呢？如果可以的話，這個(gè)指數(shù)x應(yīng)該是2和3之間的某個(gè)分?jǐn)?shù)或者無(wú)理數(shù)？問(wèn)題1：an(n?N*)的意義是什么？追問(wèn)1：由冪函數(shù)的定義，如何理解a1

2(a>0)的意義？1追問(wèn)2：如何理解an(a>0,n>1,n?N*)的意義呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)學(xué)史情境引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在現(xiàn)實(shí)中是自然“存在”的，學(xué)生“需要”學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念來(lái)解決數(shù)的擴(kuò)充帶來(lái)的認(rèn)知沖突.數(shù)學(xué)史情境使得分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入合理、自然，闡明了引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的必要性.單元教學(xué)需要關(guān)注知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，整數(shù)指數(shù)冪的概念是本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知起點(diǎn)，學(xué)生無(wú)法用整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突.由冪函數(shù)知識(shí)，學(xué)生知道11a2=aa>0)，學(xué)生潛意識(shí)里會(huì)將an(a>0,n>1,n?N*)的意義與a類似的式子產(chǎn)生聯(lián)系.同時(shí)又對(duì)這樣規(guī)定的合理性產(chǎn)生疑問(wèn)，這正是引入根式概念的契機(jī). 2.親歷概念的形成過(guò)程，參與建構(gòu)概念22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選數(shù)學(xué)概念是抽象思維的表現(xiàn)形式，概念的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的，為了解決認(rèn)知上的沖突問(wèn)題，需要對(duì)原有的概念體系進(jìn)行擴(kuò)充與因襲.以原有概念體系為基礎(chǔ)，對(duì)概念結(jié)構(gòu)進(jìn)行更深層次、系統(tǒng)化的定義.擴(kuò)充后新概念的知識(shí)表征、邏輯推理與演繹要與已有概念或法則相容相通，從層次上來(lái)說(shuō)是已有概念的上位概念.課堂上部分教師對(duì)概念的講解往往是一個(gè)概念，幾點(diǎn)注意，強(qiáng)調(diào)記住概念中的關(guān)鍵詞，概念學(xué)習(xí)演變?yōu)闄C(jī)械記憶，這必然導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)不清、把握不準(zhǔn)、理解不深刻.概念課教學(xué)應(yīng)重在概念的理解和意義建構(gòu)，讓學(xué)生參與概念建構(gòu)，親歷概念的形成過(guò)程，而不是直接傳遞，讓學(xué)生機(jī)械記憶. 片斷2：概念形成

問(wèn)題2：從“運(yùn)算”的角度看，加法和減法，乘法和除法運(yùn)算都是一對(duì)逆運(yùn)算，乘方有逆運(yùn)算嗎？提示：初中學(xué)習(xí)的平方、立方的逆運(yùn)算是什么？ 追問(wèn)：4次方，5次方有逆運(yùn)算嗎？n次方有逆運(yùn)算嗎？如果有的話，大家認(rèn)為怎樣規(guī)定比較合理？探究過(guò)程：（1）平方根：如果2x=a則x叫做a的平方根.=a…，nx=a，自然例：（±2)2=T±2是4的平方根（2）立方根：如果3x=a則x叫做a的立方根.例：32=T2是8的立方根(2)3=-8T-2是-8的立方根（3）類似地，24=16，52=32，…，2n=a，3n引入根式定義.概念理解：

（1）25的平方根是，理由：

（2）27的立方根是，理由：

（3）-32的五次方根是，理由：

（4）16的四次方根是，理由：（5）a6的三次方根是，理由：32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 （6）0的七次方根是，理由：

設(shè)計(jì)意圖：注重研究“運(yùn)算與逆運(yùn)算”的一般套路，遵循由特殊到一般的規(guī)律，歸納根式概念.題目設(shè)計(jì)不僅要讓學(xué)生知道結(jié)果，更要讓學(xué)生理解結(jié)果產(chǎn)生的理由，實(shí)際上是要求學(xué)生按照自己對(duì)概念的理解復(fù)述根式定義，讓學(xué)生參與概念的形成過(guò)程.3.回歸概念的內(nèi)涵本質(zhì)，意義理解概念 概念同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)來(lái)理解、接納新概念的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)者利用已掌握的概念去理解新概念，或者對(duì)原有概念進(jìn)行重新加工整理的過(guò)程.[2]

片斷3：概念同化活動(dòng)1：(4)2=，3(8)3=，3(-8)3=，4(16)4=，5(32)5=，5(-32)5=.設(shè)計(jì)意圖：這幾個(gè)題目結(jié)構(gòu)相同，基于維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，第一個(gè)題目初中學(xué)習(xí)過(guò)，是學(xué)生已有的水平，后面幾個(gè)題目是學(xué)生即將要達(dá)到的水平，教學(xué)應(yīng)該在這二者之間下功夫.教師需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮元認(rèn)知的主觀能動(dòng)性，充分認(rèn)識(shí)根式概念，實(shí)時(shí)監(jiān)控、調(diào)節(jié)對(duì)概念的理解，向著有利于問(wèn)題解決的方向發(fā)展.預(yù)設(shè)和生成是課堂上兩個(gè)相對(duì)立但又統(tǒng)一的教學(xué)策略，生成有時(shí)可以給課堂帶來(lái)意想不到的驚喜，要重視學(xué)生課堂上的參與和生成.在本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐中，根據(jù)學(xué)生生成的答案，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念的理解經(jīng)歷三個(gè)層次，這三個(gè)層次在思維上層層遞進(jìn)，步步深入到根式概念的本質(zhì).層次1：部分學(xué)生對(duì)正確答案的解釋是機(jī)械類比(4)2=4的結(jié)構(gòu)得出結(jié)果，結(jié)構(gòu)相同是類比的基礎(chǔ).這部分同學(xué)對(duì)知識(shí)的理解還處于機(jī)械模仿、死記硬背的層次，未能實(shí)現(xiàn)概念的意義理解.2=層次2：少部分學(xué)生借鑒根式的定義形式，令x=4，則x=±2，根據(jù)根式定義，4，則22=(4)2=4.此處學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用方程思想，這是學(xué)生長(zhǎng)期學(xué)習(xí)一類知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積淀，單元教學(xué)尤其要重視這種思維品質(zhì)的培養(yǎng).這部分同學(xué)能夠把解決問(wèn)題與概念間接聯(lián)系，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了概念的意義理解，拓展了概念的內(nèi)涵.層次3：還有少部分同學(xué)這樣思考，由于22=4，則4=2，所以22=(4)2=4.這42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選種理解將問(wèn)題解決與概念直接關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了概念的意義理解，回歸概念的本質(zhì)，對(duì)思維的要求最高.歸納：(na)n=，你是怎樣理解的？552=，5(2)5=；活動(dòng)2：（1）332=，3(2)3=，（2）22=，(2)2=，424=，4(2)4=.設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1的經(jīng)驗(yàn)為本題的理解提供了思路，學(xué)生感知到問(wèn)題的理解與根式概念相關(guān)，但具體的路徑怎么走呢？教學(xué)需要在這里下功夫，探究過(guò)程中有學(xué)生巧妙利用了根式定義.由于32=8，則2=38=323；(2)3=-8，則-2=-8=3(2)3，同理，22=4，則2=4=22；(2)2=4，則2=4=(2)2=-2.這種解釋進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)根式概念內(nèi)涵的意義理解.歸納：nan=，你是怎樣理解的？設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般歸納出結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生利用根式定義證明結(jié)論，進(jìn)一步感悟概念的內(nèi)涵.由于an=an，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a=nan；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a>0，則a=nan；若a<0，則a=-nan.綜上，nanì?=í??an為奇數(shù).an為偶數(shù)活動(dòng)3：a10=5(a25)=a=a10(a>0)554a12=4(a34)=a=a12(a>0)4你有什么發(fā)現(xiàn)？我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，如(ak)n=akn，對(duì)推廣后的結(jié)論仍然適用，那么3a2(a>0)，b(b>0)，4c(c>0)可以表示成上述形式嗎？說(shuō)說(shuō)理由.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)形式上的一致性，容易得出結(jié)果.基于新概念的引入需與原有概念相容的規(guī)則，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪引入的合理性上.至此，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念自然引出，其本質(zhì)是根式，是根式的一種等價(jià)表現(xiàn)形式.本節(jié)課的整體設(shè)計(jì)思路如圖1.52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選數(shù)學(xué)史情境整數(shù)指數(shù)冪相容規(guī)則解釋歸納、概括存在性思考根式分?jǐn)?shù)指數(shù)冪解釋運(yùn)算性質(zhì)相容規(guī)則認(rèn)知沖突運(yùn)算性質(zhì)圖1三、思考1.圍繞核心概念和核心思想方法開(kāi)展單元教學(xué)核心概念、核心思想方法是指具有基礎(chǔ)性、發(fā)展性、聯(lián)系性，對(duì)其它內(nèi)容起組織、支撐作用的概念和方法.[3]核心概念、核心思想方法是單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的基本要素，是單元知識(shí)發(fā)展與延伸的重要支點(diǎn).單元教學(xué)應(yīng)更多地關(guān)注核心概念和核心思想的教學(xué)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)削枝強(qiáng)干、以簡(jiǎn)馭繁的目的.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是本單元的重要核心概念之一，教學(xué)設(shè)計(jì)需要思考概念生成（獲?。┑囊话惴椒ǎ缤ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)史情境引入概念，一方面使得概念呈現(xiàn)自然合理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是基于現(xiàn)實(shí)的客觀反映，是對(duì)現(xiàn)實(shí)的抽象概括；另一方面體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程”的課標(biāo)理念，彰顯了數(shù)學(xué)作為文化的育人價(jià)值.概念的建構(gòu)與同化應(yīng)注重學(xué)生的主動(dòng)參與，關(guān)注學(xué)生的思維層次遞進(jìn).引導(dǎo)學(xué)生基于“相容”規(guī)則探索概念建構(gòu)的一般方法，并上升到數(shù)學(xué)思想方法的高度，如由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法歸納根式概念本質(zhì)屬性，方程思想探究根式概念內(nèi)涵等.2.立足“四個(gè)理解”開(kāi)展單元概念課教學(xué)章建躍教授提出的“四個(gè)理解”指的是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)，是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.理解數(shù)學(xué)，指的是把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，尤其是數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法的理解.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的本質(zhì)是根式，教師理解了這點(diǎn)，課堂教學(xué)就會(huì)有的放矢，把根式概念內(nèi)涵的探究作為教學(xué)重點(diǎn)，而非機(jī)械記憶概念，花大量時(shí)間搞題海戰(zhàn)術(shù).理解學(xué)生，就是要全面了解學(xué)生的思維，把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).學(xué)生的認(rèn)知思維是有規(guī)律的，應(yīng)遵循這種規(guī)律施教.如分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的引入，教師直接灌輸根式概念，不考慮學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的認(rèn)知基礎(chǔ)，不考慮學(xué)生潛意識(shí)里分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的“存在”狀態(tài)，容易造成教與學(xué)的“對(duì)立”.62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選學(xué)生的認(rèn)知思維是有起點(diǎn)的，數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的，教學(xué)要考慮“已有的基礎(chǔ)”和“需要的基礎(chǔ)”之間的差距，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)在學(xué)生數(shù)學(xué)思維理解上合理設(shè)置“臺(tái)階”，引導(dǎo)學(xué)生“拾階而上”探究、理解概念的本質(zhì)，拓展思維的