湖南省衡陽市耒陽市南京中學2022-2023學年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

湖南省衡陽市耒陽市南京中學2022-2023學年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若()是所在的平面內(nèi)的點，且.給出下列說法：①；②的最小值一定是；③點、在一條直線上；④向量及在向量的方向上的投影必相等.其中正確的個數(shù)是…………（

）參考答案：B略2.給出如下四個命題：

①若“且”為假命題，則、均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若，則”；③“”的否定是“”；④等比數(shù)列中，首項，則數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是公比；其中不正確的命題個數(shù)是A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：C試題分析：對于①，命題可能是一真一假，假命題；對于②命題“若，則”的否命題為“若，則”，正確；對于③，“”的否定是“，”，錯誤；對于④，由于數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，，當時，可得，當是遞減數(shù)列，可得，正確，故答案為C.考點：命題真假性的判斷.3.已知A，B是單位圓上的動點，且|AB|=，單位圓的圓心是O，則·=

A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.若點P（x，y）滿足線性約束條件，點，O為坐標原點，則?的最大值為(

) A．0 B．3 C．﹣6 D．6參考答案：D考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：設z=?，根據(jù)數(shù)量積的公式計算出z，作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到結論．解答： 解：設z=?，則z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：平移直線y=﹣x+，由圖象可知當直線y=﹣x+經(jīng)過點A時，直線y=﹣x+的截距最大，此時z最大，由，解得，即A（1，），此時z=3×1+=3+3=6，故?的最大值為6，故選：D．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)數(shù)量積的公式將條件化簡，以及利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．5.已知是內(nèi)的一點，且,若和的面積分別為，則的最小值是A.20

B.18

C.16

D.9參考答案：【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；向量在幾何中的應用

E6

F3【答案解析】B

解析：由已知得，

故選：B【思路點撥】利用向量的數(shù)量積的運算求得的值，利用三角形的面積公式求得的值，進而把轉化為，展開再利用基本不等式即可求得的最小值。6.如圖在△ABC中，在線段AB上任取一點P，恰好滿足的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.計算的值是

A．

B.

C.

D.參考答案：A8.已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零點為c，d，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)＞c＞b＞d B．a(chǎn)＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d參考答案：D【考點】函數(shù)的零點．【分析】由題意設g（x）=（x﹣a）（x﹣b），則f（x）=2017﹣g（x），由函數(shù)零點的定義求出對應方程的根，畫出g（x）和直線y=2017的大致圖象，由條件和圖象判斷出大小關系．【解答】解：由題意設g（x）=（x﹣a）（x﹣b），則f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的兩個根是a、b，由題意知：f（x）=0的兩根c，d，也就是g（x）=2017的兩根，畫出g（x）（開口向上）以及直線y=2017的大致圖象，則與f（x）交點橫坐標就是c，d，f（x）與x軸交點就是a，b，又a＞b，c＞d，則c，d在a，b外，由圖得，c＞a＞b＞d，故選D．9.下列函數(shù)圖象是一個函數(shù)與其導函數(shù)的在同一個坐標系中的圖象，其中一定錯誤的是（

）參考答案：C10.集合，，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“?x∈R，2x2﹣3x+9＜0”的否定是．參考答案：?x∈R，2x2﹣3x+9≥0【考點】2J：命題的否定．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進行求解即可．【解答】解：命題是特稱命題，則命題的否定是：“?x∈R，2x2﹣3x+9≥0”，故答案為：?x∈R，2x2﹣3x+9≥012.函數(shù)的定義域是

．參考答案：{x|x≥1}13.如圖所示，某住宅小區(qū)內(nèi)有一個正方形草地ABCD，現(xiàn)欲在其中修建一個正方形花壇EFGH，若已知花壇面積為正方形草地面積的，則________參考答案：或【分析】設，，用，表示出草地和正方形的面積，根據(jù)面積比列出方程得出．【詳解】設，則．∵花壇面積為正方形草地面積的，∴，即．∴，解得或，即或者∴或．故答案為：或．【點睛】本題考查了解三角形的實際應用，屬于基礎題．14.已知三棱錐A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，則三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為

．參考答案：77π【考點】球的體積和表面積．【分析】三棱錐A﹣BCD的三條側棱兩兩相等，所以把它擴展為長方體，它也外接于球，對角線的長為球的直徑，然后解答即可．【解答】解：三棱錐A﹣BCD的三條側棱兩兩相等，所以把它擴展為長方體，它也外接于球，且此長方體的面對角線的長分別為：2，，，體對角線的長為球的直徑，d==，∴它的外接球半徑是，外接球的表面積是77π，故答案為：77π．15.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，若輸入的的值為10，則輸出的 .參考答案：416.已知x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，則a4=．參考答案：﹣5【考點】二項式系數(shù)的性質．【分析】將x5轉化[（x+1）﹣1]5，利用二項式定理展開，使之與f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5進行比較可得所求．【解答】解：x5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，所以a4=×（﹣1）=﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題主要考查了二項式定理的應用，解題的關鍵是利用x5=[（x+1）﹣1]5展開，是基礎題目．17.已知，若，且方程有5個不同根，則的取值范圍為________參考答案：【分析】設，作出函數(shù)的圖象，由方程有個不同根轉化為二次方程的兩根，，并構造函數(shù)，轉化為二次函數(shù)的零點分布，得出，結合，可作出關于、的不等式組，作出可行域，將視為可行域中的點到直線的距離，結合圖象可得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設，則方程有個不同根轉化二次方程的兩根，，構造函數(shù)，可得不等式，即，結合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域為邊長為的正方形，不等式組表示的區(qū)域為下圖中的陰影部分（不包括軸），代數(shù)式視為可行域中的點到直線的距離，當點與點重合時，，結合圖形可知，取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及二次函數(shù)零點分布、線性規(guī)劃以及點到直線的距離，解題的關鍵在于將問題轉化為二次函數(shù)零點的分布，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．參考答案：

解法五(變換法)：

答：設計AM＝AN＝2km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小．…………14分考點：利用正余弦定理解三角形19.2016年10月9日，教育部考試中心下發(fā)了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，在各科修訂內(nèi)容中明確提出，增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用.宿州市教育部門積極回應，編輯傳統(tǒng)文化教材，在全市范圍內(nèi)開設書法課，經(jīng)典誦讀等課程.為了了解市民對開設傳統(tǒng)文化課的態(tài)度，教育機構隨機抽取了200位市民進行了解，發(fā)現(xiàn)支持開展的占75%，在抽取的男性市民120人中持支持態(tài)度的為80人.

支持不支持合計男性

女性

合計

（Ⅰ）完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為性別與支持與否有關？（Ⅱ）為了進一步征求對開展傳統(tǒng)文化的意見和建議，從抽取的200位市民中對不支持的按照分層抽樣的方法抽取5位市民，并從抽取的5人中再隨機選取2人進行座談，求選取的2人恰好為1男1女的概率.附：.

P(K2≥k)50.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：(Ⅰ)抽取的男性市民為120人，持支持態(tài)度的為人，男性公民中持支持態(tài)度的為80人，列出列聯(lián)表如下：

支持不支持合計男性8040120女性701080合計15050200所以，所以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，可以認為性別與支持與否有關．

（Ⅱ）抽取的5人中抽到的男性的人數(shù)為：，女性的人數(shù)為：記被抽取4名男性市民為A,B,C,D,1名女性市民為e,從5人中抽取的2人的所有抽法有：AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,CD,Ce,De,共有10種，恰有1名女性的抽法有：Ae,Be,Ce,De,共有4種，

由于每人被抽到是等可能的，所以由古典概型得

20.在平面直角坐標系中，以原點為極點.以x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出曲線C和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）設直線過點與曲線C交于不同兩點A，B，AB的中點為M，與的交點為N，求.參考答案：（Ⅰ）C:；直線的直角坐標方程（Ⅱ）8【分析】（Ⅰ）由極坐標方程與直角坐標方程的互化公式可直接得出結果；（Ⅱ）先寫出直線的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，得到，再由直線的參數(shù)方程代入，得到，進而可得出結果.【詳解】（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為：；即的直角坐標方程為：（Ⅱ）直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），將其代入曲線的普通方程并整理得，設兩點的參數(shù)分別為，則因為為的中點，故點的參數(shù)為，設點的參數(shù)分別為，把代入整理得所以.【點睛】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程互化，熟記公式即可；本題也考查了參數(shù)的方法求弦長的問題，熟記參數(shù)方程即可求解，屬于?？碱}型.21.（本小題10分，不等式選講）設a、b、c均為正實數(shù)，求證：++≥++．參考答案：

∵a、b、c均為正實數(shù)．∴（＋）≥≥，當a=b時等號成立；………………4分（＋）≥≥，當b=c時等號成立；（＋）≥≥．………………6分三個不等式相加即得++≥++，………………9分當且僅當a=b=c時等號成立………………10分22.（本小題滿分14分）如圖，在點上，過點做//將的位置（），使得.(1)求證：.

（2）試問：當點上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．參考答案：（1）在中，又平面PEB.又平面PEB,………………5分（2）解法一：過P作PQBE于點Q，垂足為Q；過Q作QHFC，垂足為H。則即為所求二面角的平面角?！?分設PE=x，則EQ=，PQ=，………………10分QH=，…………………12分故，……………………13分，即二面角P-FC-B的平面角的余弦值為定值……14分解法二：在平面PEB內(nèi)，經(jīng)P點作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,EFPD.PD面BCEF.在面PEB內(nèi)過點B