時間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法

時間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法第1頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六§9.1時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第2頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型

第3頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六⒈常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。第4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：

(1)X與隨機(jī)擾動項(xiàng)不相關(guān)∶Cov(X,)=0依概率收斂：

(2)第5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計(jì)的需要▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：第6頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)：例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中：情況往往是實(shí)際的時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。⒊數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題第7頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。

時間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中。第8頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性第9頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六時間序列分析中首先遇到的問題是關(guān)于時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題。

假定某個時間序列是由某一隨機(jī)過程（stochasticprocess）生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationarystochasticprocess）。

第10頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

例9.1.1．一個最簡單的隨機(jī)時間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：

Xt=t

，t~N(0,2)例9.1.2．另一個簡單的隨機(jī)時間列序被稱為隨機(jī)游走（randomwalk），該序列由如下隨機(jī)過程生成：

Xt=Xt-1+t這里，t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。第11頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知

X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

……Xt=X0+1+2+…+t

由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2

即Xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)第12頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六然而，對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。事實(shí)上，隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例

Xt=Xt-1+t

不難驗(yàn)證:1)||>1時，該隨機(jī)過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；第13頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

第二節(jié)中將證明:只有當(dāng)-1<<1時，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。

2)=1時，是一個隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的。

1階自回歸過程AR(1)又是如下k階自回歸AR(K)過程的特例：

Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。

第14頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六三、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷第15頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六給出一個隨機(jī)時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

第16頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六第17頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六進(jìn)一步的判斷:

檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形定義隨機(jī)時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)(Why?)。

實(shí)際上,對一個隨機(jī)過程只有一個實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。第18頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第19頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六注意:

確定樣本自相關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的，因?yàn)樗蓹z驗(yàn)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)k的真值是否為0的假設(shè)。

Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。也可檢驗(yàn)對所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：第20頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。因此:如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設(shè)。

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機(jī)時間序列。

第21頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六第22頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。第23頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。

根據(jù)Bartlett的理論：k~N(0,1/19)

因此任一rk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是

可以看出:k>0時，rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受k(k>0)為0的假設(shè)。同樣地，從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期的計(jì)算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。

因此，該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。

第24頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

序列Random2是由一隨機(jī)游走過程

Xt=Xt-1+t

生成的一隨機(jī)游走時間序列樣本。其中，第0項(xiàng)取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第25頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。

該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。第26頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六第27頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。

樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

第28頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。從滯后18期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：

QLB(18)=57.18>28.86=20.05第29頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.5

檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。原圖樣本自相關(guān)圖第30頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。

從滯后14期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：

CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。

就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的。不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協(xié)整的。

第31頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)第32頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的。

單位根檢驗(yàn)（unitroottest）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1、DF檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型

Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。第33頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。第34頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

一般地:

檢驗(yàn)一個時間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型

Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗(yàn)其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù)>1或=1時，時間序列是非平穩(wěn)的;

對應(yīng)于（**）式，則是>0或

=0。

第35頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六因此，針對式Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗(yàn)無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第36頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六因此，可通過OLS法估計(jì)

Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。第37頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第38頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

進(jìn)一步的問題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。

2、ADF檢驗(yàn)第39頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六ADF檢驗(yàn)是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng)。第40頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

實(shí)際檢驗(yàn)時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時，有各自相應(yīng)的臨界值。表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。第41頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六第42頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六同時估計(jì)出上述三個模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個簡單的檢驗(yàn)過程：第43頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

例9.1.6檢驗(yàn)1978~2000年間中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。

1）經(jīng)過償試，模型3取了2階滯后：通過拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrangemultipliertest）對隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)：

LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從的系數(shù)看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?

。第44頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六2）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。第45頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六3)經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)?？蓴喽ㄖ袊С龇℅DP時間序列是非平穩(wěn)的。第46頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.7檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。

1)對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，經(jīng)過償試，三個模型的適當(dāng)形式分別為第47頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

三個模型中參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。

結(jié)論：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。第48頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六2）對于人均居民消費(fèi)CPC時間序列來說，三個模型的適當(dāng)形式為

第49頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六三個模型中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間序列存在單位根的假設(shè)，因此,可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平穩(wěn)的。第50頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第51頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價地變形為

Xt=t

由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。⒈單整第52頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。第53頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.8中國支出法GDP的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國支出法GDP是1階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈?4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.9中國人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑橥瑯拥?，CPC也是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈?5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

⒉趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程

前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國的勞動力時間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2

，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。第56頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。

然而這種做法，只有當(dāng)趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic），才會是有效的。換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。第57頁，共61頁，2023年，2月20日，星期六

1)如果=1，