數(shù)學(xué)第十章有限元法

數(shù)學(xué)第十章有限元法第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六一、有限元方法解題分析

為了說明應(yīng)用有限元方法的解題步驟，以及每一步驟中的要點，下面我們以兩點邊值問題為例進行具體分析?？紤]兩點邊值問題其中我們將從Ritz法和Galerkin法兩種觀點出發(fā)，導(dǎo)出解邊值問題（1.1）、（1.2）的線性有限元方法。第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六（一）從Ritz法出發(fā)建立有限元方程1、寫出Ritz形式的變分問題由變分原理可知，與邊值問題（1.1）（1.2）等價的變分問題是：求其中積分表達式（1.3）是應(yīng)用有限元法求解（1.1）、（1.2）式的出發(fā)點。第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六2、區(qū)域剖分剖分原則與差分法相同，即將求解區(qū)域剖分成若干個互相連接，且不重疊的子區(qū)域，這些子區(qū)域稱為單元。單元的幾何形狀可以人為選取，一般是規(guī)則的，但形狀與大小可以不同。對于一維情形最為簡單：將求解區(qū)域剖分成若干個子區(qū)間，其節(jié)點為每個單元的長度為

單元在區(qū)間中分布的疏密程度或單元尺寸的大小，可根據(jù)問題的物理性質(zhì)來決定，一般來說，在物理量變化劇烈的地方，單元尺寸要相對小一些，排列要密一些。3、確定單元基函數(shù)有限元法與Ritz-Galerkin方法的主要區(qū)別之一，就在于有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的。由于各第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六個單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不比考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。設(shè)為的有限維子空間，它的元素為要構(gòu)造，只需構(gòu)造單元基函數(shù)。構(gòu)造單元基函數(shù)應(yīng)遵循如下原則：

（1）、每個單元中的基函數(shù)的個數(shù)和單元中的節(jié)點數(shù)相同，每個節(jié)點分別對應(yīng)一個基函數(shù)，本例中，單元有兩個節(jié)點，因此基函數(shù)有兩個。（2）基函數(shù)應(yīng)具有下面的性質(zhì)：其中是單元節(jié)點序號為k的節(jié)點。第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六若取為線性函數(shù)，則按上述原則，可將中的基函數(shù)取為顯然，中任一函數(shù)可以表示為基函數(shù)的線性組合，即（1.4）第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六其中，是在節(jié)點上的值，即在單元上，表示為可見，單元中的近似函數(shù)由單元基函數(shù)線性組合產(chǎn)生，全區(qū)域的近似函數(shù)由各個單元的近似函數(shù)疊加而成。

從以上可以看出，是滿足下列條件的所有函數(shù)的集合：第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六故是的一個n維子空間，稱為試探函數(shù)空間稱為試探函數(shù)。4、有限元方程的形成

與Ritz法一樣，以代替，在上解泛函數(shù)（1.3）的極小問題。將（1.5）代入（1.3），得第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六令便得到確定的線性代數(shù)方程組稱（1.7）為有限元方程。顯然，只要我們分別算出及就可以求解（1.7）。但在工程計算中，并不是按照上述步驟形成有限元方程的，而是首先建立單元有限元特征式（稱這一過程為單元分析），然后再將單元的有限元特征式進行累加，合成為總體有限元方程（這一過程稱為總體合成）。第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六下面分步分析具體的計算方法。第一步：單元分析。注意到我們來計算單元上的積分。為討論方便，作變換并引入記號則在上，可寫成第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六或?qū)懗桑?.10）其中，而可表示為式中，于是有第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六這里，稱為單元剛度矩陣，其中對（1.8）式右端第二項積分，同樣有第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六式中，稱為單元“荷載”向量。根據(jù)以上分析，便有這樣，我們就得到了單元有限元特征式的一般表示形式：第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六第二步：總體合成總體合成就是將單元的有限元特征式進行累加，合成為總體有限元方程。這一過程實際上是將單元有限元特征式中的系數(shù)矩陣逐個累加，合成為總體系數(shù)矩陣（稱為總剛度矩陣）；同時將右端單元荷載向量逐個累加，合成為總荷載向量，從而得到關(guān)于的線性代數(shù)方程組。為了形成總剛度矩陣，我們令于是有第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六從而（1.17）右端第一個和式為其中，第i-1行第i行這就是總剛度矩陣（未標(biāo)明的元素均為0）。第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六對（1.17）右端第二個和式，有其中，這就是總荷載向量。這樣，就可以將（1.17）式寫成第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六因此，有限元方程為從總剛度矩陣和總荷載向量的形成過程可以看出，的計算，實際上是把中四個元素在適當(dāng)?shù)奈恢蒙稀皩μ柸胱钡丿B加，的計算也是如此。我們引入，只是為了敘述方便，實際上，在編制程序時并不需要。

顯然，方程組（1.20）的系數(shù)矩陣K是一個對稱正定的對角矩陣，因此可采用追趕法求出u在節(jié)點上的近似值。如果我們認(rèn)為這個近似解不夠精確，則可以使剖分更細(xì)，即節(jié)點取得更多。這樣，就產(chǎn)生一個收斂性與誤差估計的問題。由于此問題所用的數(shù)學(xué)工具較多，本課程不做討論。另一方面，我們以上是在單元剖分的基礎(chǔ)上，利用Lagrange型的分段線性插值函數(shù)構(gòu)造出的n維子空間，這樣自然想到，如果不采用分段的線性插值，而采用分段的高次插值，則會得到更好的近似。第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六注1、當(dāng)?shù)谝贿呏禇l件非齊次時，例如，則需象其它單元一樣形成上的單元剛度矩陣。但形成總剛度矩陣K時，先把當(dāng)作未知量，K擴大成矩陣，然后去掉第一行（或者一開始就不計算第一行），把第一列的第j行元素乘以累加到第j個方程的右端后，再去掉第一列。最后仍然歸結(jié)到方程（1.20），只不過右端向量因第一邊值作了修改。它只是比齊次邊值多了第二項。由于第二項只含有的一次項，因此從上述泛函出發(fā)所形成的有限元方程不影響總剛度矩陣，唯一的改變量是第n個方程注2、若第二邊值條件（右邊值條件）非齊次，例如，則需從下列泛函出發(fā)：第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六的右端要累加對于第三邊值條件則不但要修改第n個方程的右端，而且總剛度矩陣的第n行n列元素也要作適當(dāng)?shù)男薷?。有興趣的同學(xué)可以自行推導(dǎo)。(二)、從Galerkin法出發(fā)建立有限元方程從Galerkin法出發(fā)形成有限元方程的過程與前面完全一樣，得到的結(jié)果也是一致的。但是從Galerkin法出發(fā)形成的有限元方程更具一般性，它不僅適用于對稱正定的算子方程，而且也適用于非對稱正定的算子方程。在實際問題中，主要是依據(jù)這一觀點建立有限元方程。下面對這一問題作一簡單陳述。第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六由變分原理可知，與邊值問題等價的Galerkin形式的變分問題是：我們?nèi)杂梅侄尉€性函數(shù)構(gòu)成的試探函數(shù)空間代替,由（1.4）定義的分段線性函數(shù)是的一組基。和前面一樣的方法，把第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六代入（1.21），便得到所滿足的方程組這和方程組（1.7）是完全一樣的。

容易看出，方程組（1.22）的系數(shù)矩陣就是總剛度矩陣，在總剛度矩陣形成的過程中，注意到而從而有第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六即故有這就是有限元方程（1.20）。由上述看出，按Galerkin法推導(dǎo)有限元方程更加直接方便。尤其重要的是。按這一觀點推導(dǎo)的有限元方程，不僅適用于穩(wěn)定問題，而且也適用于非穩(wěn)定的問題，因此它具有廣泛的適用性。（三）、應(yīng)用舉例用有限元方法解邊值問題第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六將區(qū)間〔0,1〕等分成4個單元。

解、利用上述分析結(jié)果，我們只需構(gòu)造出單元剛度矩陣和單元荷載向量，然后合成為總剛度矩陣和總荷載向量。

注意到（1.14）和（1.16）：第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六若將取成單元上的中點值則不難得到其中單元的中點為于是有第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六如果把單元剛度矩陣和單元荷載向