中考數(shù)學(xué)證明題集錦及答案

PAGEPAGE4中考數(shù)學(xué)證明題精選1.如圖，兩相交圓的公共弦AB為，在⊙O1中為內(nèi)接正三角形的一邊，在⊙O2中為內(nèi)接正六邊形的一邊，求這兩圓的面積之比。2.已知扇形的圓心角為1500，弧長為，求扇形的面積。3.如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點，PO＝4cm，∠APB＝6004.如圖，已知直角扇形AOB，半徑OA＝2cm，以O(shè)B為直徑在扇形內(nèi)作半圓M，過M引MP∥AO交于P，求與半圓弧及MP圍成的陰影部分面積。5.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別為D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求圖中陰影部分的面積。6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900，O點在AB上，半圓O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求7.如圖，有一個直徑是1米圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角為900的扇形ABC，求：（1）被剪掉（陰影）部分的面積；（2）用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面半徑是多少？8.如圖，⊙O與⊙外切于M，AB、CD是它們的外公切線，A、B、C、D為切點，⊥OA于E，且∠AOC＝1200。（1）求證：⊙的周長等于的弧長；（2）若⊙的半徑為1cm，求圖中陰影部分的面積。9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.求證：DC=BC;E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值.10.已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．11.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；圖13－1A(G)B(E)COD(F)圖13－2EABDGF圖13－1A(G)B(E)COD(F)圖13－2EABDGFOMNC圖13－3ABDGEFOMNC21．如圖，P是⊙O外一點，割線PA、PB分別與⊙O相交于A、C、B、D四點，PT切⊙O于點T，點E、F分別在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP．（1）求證：PD·PF=PC·PE；（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的長．22．如圖，BC是半圓O的直徑，EC是切線，C是切點，割線EDB交半圓O于D，A是半圓O上一點，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求tan∠DCE的值；（2）求AB的長．23．如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長線交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半徑；（2）求CE的長和△AFC的面積．24．如圖，正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，延長BA到E，使AE=AB，連結(jié)ED．（1）求證：直線ED是⊙O的切線；（2）連結(jié)EO交AD于點F，求證：EF=2FO．25.如圖8．PA和PB分別與⊙O相切于A，B兩點，作直徑AC，并延長交PB于點D．連結(jié)OP，CB．

（1）求證：OP∥CB；

（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半徑．26.如圖9．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點。（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持AN＝BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。27.如圖9，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，直線DE與⊙O相切于點A．BD∥CA．

求證：AB·DA＝BC·BD．28.劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸▲．(填“不變”、“變大”或“變小”)(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行?問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．請你分別完成上述三個問題的解答過程．29.如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線＝－＋交折線OAB于點E．（1）記△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.CCDBAEO30.已知：如圖13，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC.⑴求證：BEDG；⑵若∠B60，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.AADGCBFE圖13AACBMDEONF圖1431.如圖14，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點A，BM平分∠ABC交AC于點M，AD⊥BC于點D，AD交BM于點N，ME⊥BC于點E，AB2＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．⑴求證：△ANM≌△ENM；⑵試探究：直線FB與⊙O相切嗎？請說明理由.⑶證明四邊形AMEN是菱形，并求該菱形的面積S.32.如圖，已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xoy中，點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點O為坐標(biāo)原點，等腰直角三角板OEF的直角頂點O在坐標(biāo)原點，E、F分別在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，將三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)至OE1F1，的位置，連接AE1、CF1（1）求證：△AOE1≌△OCF1；（2）將三角板OEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，請求出此時E點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．2011年中考沖刺班數(shù)學(xué)證明題集錦答案1.解：設(shè)正三角形外接圓⊙O1的半徑為，正六邊形外接圓⊙O2的半徑為，由題意得：，，∴∶＝∶；∴⊙O1的面積∶⊙O2的面積＝1∶3。2.解：設(shè)扇形的半徑為，則，＝1500，∴，∴。3.解：連結(jié)OA、OB∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠∠APO＝∠APB＝300在Rt△PAO中，AP＝OA＝PO＝2，∴PB＝∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠∴∠AOB＝300，∴∴陰影部分的周長＝PA＋PB＋＝＝cm答：陰影部分的周長為cm。4.解：連結(jié)OP∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2∴∠1＝600，∠2＝300∴PM＝而，設(shè)PM交半圓M于Q，則直角扇形BMQ的面積為∴＝＝5.；6.；7.（1）平方米，（2）米；8.（1）證明：由已知得∠AO＝600，ABO為直角梯形，設(shè)⊙O與⊙的半徑分別為、，則cos600＝，即，∴⊙的周長為，而＝＝，∴⊙的周長等于的弧長。（2）cm2。9.[解析]（1）過A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.證明：因為.所以，△DEC≌△BFC所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè),則，所以.因為，又，所以.所以所以.10.[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF∴△ADE≌△CBF．（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四邊形AGBD是平行四邊形．∵四邊形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°．∴四邊形AGBD是矩形11.（1）BM=FN．證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．又∵∠BOM=∠FON， ∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．BM=FN仍然成立．證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．12.（1）因為AB是⊙O的直徑，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因為∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 （2）因為AB是⊙O的直徑，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因為AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x 因為∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 13.(1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD(2)方法一：連接CB、OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線6′方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可證得：FA＝FG，且AB＝BG由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2eq\o\ac(○,1)在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)、eq\o\ac(○,2)得：FG2-4FG-12=0解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）∴AB＝BG＝∴⊙O半徑為214.解:=1\*GB2⑴點P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3）=2\*GB2⑵作AC⊥OP,C為垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1∴△ACP∽△OBP∴在中,,又AP=12-4=8,∴∴AC=≈1.94∵1.94<2∴OP與⊙A相交.15.證明：連結(jié)OE、AE，并過點A作AF⊥DE于點F，（3分）∵DE是圓的一條切線，E是切點，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵點A是OB的中點，∴點F是EC的中點.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.16.米.米.(3分)=2\*GB2⑵設(shè)在中,根據(jù)勾股定理:∴(5分)∴∵∴∴(7分)AC=2x=即梯子頂端A沿NO下滑了米.(8分)=3\*GB2⑶∵點P和點分別是的斜邊AB與的斜邊的中點∴，(9分)∴(10分)∴∴∵∴(11分)∴(12分)∴米.(13分)17．證明：連結(jié)AF，則∠ABD=∠F．∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F．∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF=90°，∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，∴∠CBE=90°．取EC中點M，連結(jié)DM、BM，則DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC為直徑的圓上，∴∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠F，∴△DAF∽△EDC，∴，∴AD·CE=DE·DF，以下略；18．（1）DC為⊙O的直徑，DE⊥EC，EC==7．設(shè)EM=x，由于M為OB的中點，∴BM=2，AM=6，∴AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x），解得x1=3，x2=4，∵EM>MC，∴EM=4．（2）∵OE=EM=4，∴△OEM為等腰三角形，過E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=1，∴EF==．∴sin∠EOB=．19．（1）連結(jié)CO，則AO=BO=CO，∴∠CAO=∠ACO，又∵∠EAC=∠CAO，∠ACO=∠EAC，∴AE∥OC，∴DE是⊙O的切線．（2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3．由（1）知，AE∥OC，∴△DCO∽△DEA，=．又∵AE=，∴，解得BD=2．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．又∵∠EAC=∠CAB，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，∴，即AC2=AB·AE=6×=．在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-=．∵BC>0，BC==．20．（1）∵BE是⊙O1的直徑，∴∠BPE=90°．∵BF⊥O1P，∴∠BPF+∠FBP=90°．∵∠GPE+∠BPF=90°，∴∠GPF=∠BPF．∵O1E=O1P，∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．（2）∵AB是⊙O1的切線，∴O1B⊥AB，∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．∵tan∠A=，∴tan∠O1BF=．設(shè)O1F=3m，則BF=4m由勾股定理得：O1B=5m=O1P，∴PF=5m-3m=2m又∵PF=，∴m=，∴O1B=O1P，∴BF=×4=3．由tan∠A=，∴AF==4，∴AP=4-=，∴PO2=，∴O1O2=++==5．21．（1）連CD，因A、B、D、C四點共圓，∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴，即PD·PF=PC·PE．（2）設(shè)PT長為x，∴PE=PT，由（1）結(jié)論得PF=x，由PT2=PC·PA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，∴PT=7．22．（1）由已知得EC2=ED（ED+），解之得ED=2或ED=-（舍去）．∵BC為直徑，∴CD⊥BE，由勾股定理得CD=，∴tan∠DCE=．（2）連AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC=．可證△ADF∽△BCF，∴=．設(shè)DF=2x，則CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴BF=．由相交弦定理得AF=，∴AB==．23．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．（2）過A作AG⊥EF于G，由勾股定理得CE=，由切割線定理得CF=，由△BCE∽△GAE，得AG=．S△AFC=．24．證明：（1）連結(jié)OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，∴直線ED是⊙O的切線（2）作OM⊥AB于M，∴M為AB中點，∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴=2，∴EF=2FO.25.26.27.證明：∵DE與⊙O相切，∴∠C＝∠1，C∵BD∥CA，CB·∴∠2＝∠3……6分B·3O∴△ABC∽△BDA．……9分3O21EDA∴．……12分21EDA∴AB·DA＝BC·BD．28.【答案】29.（1）由題意得B（3，1）．若直線經(jīng)過點A（3，0）時，則b＝若直線經(jīng)過點B（3，1）時，則b＝若直線經(jīng)過點C（0，1）時，則b＝1①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，如圖25-a，圖圖1此時E（2b，0）∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，如圖2圖2圖2此時E（3，），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝∴（2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。本題答案由無錫市天一實驗學(xué)校金楊建老師草制！圖圖3由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形根據(jù)軸對稱知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．過點D作DH⊥OA，垂足為H，由題易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，設(shè)菱形DNEM的邊長為a，則在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴∴S四邊形DNEM＝NE·DH＝∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．30.證明：⑴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD.∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.∴CG⊥AD.∴∠AEB∠CGD90.∵AECG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BEDG. 3分⑵當(dāng)BCAB時，四邊形ABFC是菱形.∵AB∥GF，AG∥BF，∴四邊形ABFG是平行四邊形.∵Rt△ABE中，∠B60，∴∠BAE30，∴BEAB.∵BECF，BCAB，∴EFAB.∴ABBF.∴四邊形ABFG是菱形31.證明：⑴∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°又∵ME⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM＝ME，∠AMN＝∠EMN又∵MN＝MN，∴△△ANM≌△ENM． 3分⑵∵AB2＝AF·AC，∴＝