西安市八校2020屆高三（6月份）數(shù)學(xué)（理科）聯(lián)考試卷含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精陜西省西安市八校2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（理科）聯(lián)考試卷含解析2020年陜西省西安市八校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（6月份）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1。已知集合，，則(）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【詳解】,選C.2。已知數(shù)列滿(mǎn)足:,且，則前10項(xiàng)和等于（）A. B. C。 D。【答案】B【解析】試題分析:由題意得,，則，即數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，又，所以，所以前項(xiàng)和等于，故選B．考點(diǎn):等比數(shù)列求和公式．3.已知i為虛數(shù)單位，，若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，且，則z＝（）A。 B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，解得或,據(jù)此可知或，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征確定的值即可.【詳解】由可得,解得或,所以或，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以．故選：A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力。4.已知、為不同的直線，、為不同的平面，給出下列命題：①；②；③；④．其中的正確命題序號(hào)是（)A。②③ B。①②③ C.②④ D。①②④【答案】A【解析】【分析】由線面的位置關(guān)系可判斷命題①的正誤;由線面垂直的性質(zhì)可判斷命題②③的正誤;由線線的位置關(guān)系可判斷命題④的正誤。綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，若，，則或，命題①錯(cuò)誤;對(duì)于命題②，若,，由線面垂直的性質(zhì)可知，命題②正確；對(duì)于命題③，若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，命題③正確；對(duì)于命題④，若，,,則與無(wú)公共點(diǎn)，所以，與平行或異面，命題④錯(cuò)誤。故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查線線、線面以及面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題。5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A。 B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng)。【詳解】對(duì)于A，B兩個(gè)選項(xiàng)，,不符合圖像，排除A,B選項(xiàng).對(duì)于C選項(xiàng)，，不符合圖像,排除C選項(xiàng)，故選D。【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)圖像選擇相應(yīng)的解析式，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題。6。設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，(a＞0,b＞0），若A，B,C三點(diǎn)共線，則的最小值是（）A.2 B。4 C。6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，設(shè),得,根據(jù)平面向量基本定理可知，得到，之后根據(jù)已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求其分式形式和的最值的求解方法，利用基本不等式求得結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)椋羧c(diǎn)共線，設(shè),即,因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線向量，所以，解得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，故最小值4，故選:B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量與不等式的綜合題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平面向量共線的條件，利用基本不等式求最值,屬于簡(jiǎn)單題目.7。已知p：a＝±1，q：函數(shù)為奇函數(shù),則p是q成立的()A。充分不必要條件 B。必要不充分條件C。充分必要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可得,根據(jù)必要不充分條件的概念可得答案.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，得,所以，所以，所以，所以，即，所以p是q成立的必要不充分條件。故選：B。【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判斷，考查了由函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8。已知圓與拋物線交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，若四邊形是矩形，則等于（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】畫(huà)出圖形，由四邊形是矩形可得點(diǎn)縱坐標(biāo)相等．根據(jù)題意求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)后得到關(guān)于方程,解方程可得所求．【詳解】由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為．畫(huà)出圖形如圖所示．在中，當(dāng)時(shí),則有．①由得，代入消去整理得．②結(jié)合題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故①②中的相等,由①②兩式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故選C．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形并根據(jù)圖形得到與x軸平行，進(jìn)而得到兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．另外，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化代數(shù)問(wèn)題求解也是解答本題的另一個(gè)關(guān)鍵．考查圓錐曲線知識(shí)的綜合和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根，且α∈（0，π)，則cos（α+）＝（)A。 B。﹣ C。 D.﹣【答案】D【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，，結(jié)合，可得，根據(jù)兩角和的余弦公式可得，由此可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閟inα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根,所以，,因?yàn)椋?所以且,所以，所以。故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題。10。對(duì)于函數(shù)f（x）＝cos2x+sinxcosx，x∈R，下列命題錯(cuò)誤的是（）A。函數(shù)f（x）的最大值是B.不存在使得f（x0）＝0C.函數(shù)f（x）在［，］上單調(diào)遞減D。函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0)對(duì)稱(chēng)【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用二倍角公式和兩角和正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知，的最大值是，A正確．時(shí),,，無(wú)解，B正確;時(shí)，，遞減，C正確；，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，D錯(cuò)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題可利用三角函數(shù)恒等變換把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解．11.已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出△中,,，由是等邊三角形得,利用余弦定理算出，結(jié)合雙曲線漸近線方程即可的結(jié)論．【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得，是等邊三角形，即，由，即，又,,△中,，，，，即,解得，則，由此可得雙曲線的漸近線方程為,即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出，的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12。已知函數(shù),點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是（）A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【詳解】【分析】試題分析：當(dāng)x≤0時(shí)，由得,(x≤0),此時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線為雙曲線，雙曲線的漸近線為y=-3x,此時(shí)漸近線的斜率=—3，當(dāng)x＞0時(shí),，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線和f（x)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則切線斜率，則對(duì)應(yīng)的切線方程為，即，當(dāng)x=0,y=0時(shí)，，即，即，得a=1，此時(shí)切線斜率，則切線和y=—3x的夾角為θ，則，則，故∠AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卷中相應(yīng)的橫線上）13.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組，則z＝x+y的最小值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域,得如圖的及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)時(shí),取得最小值．【詳解】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域：得到如圖的陰影部分，由解得設(shè)，將直線進(jìn)行平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最小值,著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．14.從、、2、3、5、9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為m、n，則“l(fā)ogmn＞0"的概率為_(kāi)____．【答案】?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)、排列知識(shí)和古典概型的概率公式可得結(jié)果。【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于且，或且，從、、2、3、5、9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，共可得到個(gè)對(duì)數(shù)值,其中對(duì)數(shù)值為正數(shù)的有個(gè)，所以“l(fā)ogmn＞0”的概率為。故答案：?！军c(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)、排列知識(shí)和古典概型的概率公式,屬于基礎(chǔ)題。15.已知點(diǎn)A、B、C在球心為O的球面上，若AB＝AC＝5,BC＝6,球心O到截面ABC的距離為1，則該球的表面積為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】由正弦定理求出△外接圓半徑后由勾股定理求得球半徑,從而得球表面積．【詳解】△中∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴，∴,設(shè)△外接圓半徑為，則，,設(shè)球半徑為,則，表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積,解題關(guān)鍵是利用截面圓性質(zhì)，截面圓圓心到球心連線與截面圓垂直．16.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，是的中點(diǎn)，若且,則面積的最大值是___【答案】【解析】【分析】由題意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分別由余弦定理及可得．在此基礎(chǔ)上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面積的最大值．【詳解】如圖,設(shè),則,在和中，分別由余弦定理可得，兩式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得,②由余弦定理的推論可得,所以．把①代入②整理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以,故得．所以．即面積的最大值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，解題時(shí)注意幾何圖形性質(zhì)的合理利用．對(duì)于三角形中的最值問(wèn)題，求解時(shí)一般要用到基本不定式，運(yùn)用時(shí)不要忽視等號(hào)成立的條件．本題綜合性較強(qiáng),考查運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．三、解答題（共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第17-21題為必考題。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17。如圖,平面，四邊形是矩形,、分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：平面;（2）若二面角為角,，，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1）證明見(jiàn)解析;（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn),連接、，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；(2）證明出平面,可得出二面角的平面角為，進(jìn)而得出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、,在矩形中，且,、分別為、的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn),且，且,所以,四邊形為平行四邊形，則，平面,平面,平面；（2）平面,平面,，四邊形為矩形,則,，平面，平面,，所以，二面角的平面角為，，易知，則為等腰直角三角形，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令,則，,得,.因此,與平面所成角的正弦值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解線面角的正弦值,也考查了二面角的定義，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18.已知{an｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且．（1）求數(shù)列{Sn｝的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)bn＝，求{bn｝的前n項(xiàng)和Tn．【答案】(1）；（2）.【解析】【分析】（1)根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可;(2）根據(jù)（1)的結(jié)論、公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)分母有理化運(yùn)用裂項(xiàng)相消法、分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)镾n+12＝Sn2+1，所以數(shù)列{Sn2｝是以S12=a12=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，因此，因?yàn)椋鸻n｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，所以;（2）由(1）知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式,所以,,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查了利用等差數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式，考查了公式的應(yīng)用,考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19.為調(diào)查某校學(xué)生每周體育鍛煉落實(shí)的情況,采用分層抽樣的方法,收集100位學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：).根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，制作出學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示）。(Ⅰ）估計(jì)這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（Ⅱ)由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）若該校共有5000名學(xué)生，記每周平均鍛煉時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為，試求。附：，若～，,。【答案】(Ⅰ）平均數(shù)5。85；樣本方差6。16;(Ⅱ）（i）；（ii）.【解析】【分析】(Ⅰ）利用頻率分布直方圖的小矩形的中間數(shù)據(jù),代入平均數(shù)和樣本方差公式即可得解；（Ⅱ）利用正態(tài)分布的圖像與性質(zhì)以及二項(xiàng)分布的期望，即可得解.【詳解】（Ⅰ）這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為。。（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，即，從而(ii）由（i）可知,，故【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了正態(tài)分布和二項(xiàng)分布,考查了計(jì)算能力，屬于較難題。20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，直線和橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且與軸垂直時(shí)，.(1）求橢圓的方程；(2）是否存在與軸不垂直的直線，使弦的垂直平分線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)?若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【答案】(1)；（2)不存在?！窘馕觥俊痉治觥?1）列a，b,c的方程組即可求解；（2）設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為，由點(diǎn)差法得，得推出矛盾即可【詳解】（1)由題意:點(diǎn)（c,）在橢圓上，故,∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:；(2)(點(diǎn)差法）：設(shè)，,的中點(diǎn)為,橢圓的右焦點(diǎn)為，直線的斜率為,直線的斜率為，則：，∴,∴,,∴，即:,故不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，點(diǎn)差法應(yīng)用，遇到“弦中點(diǎn)”問(wèn)題,注意點(diǎn)差法的應(yīng)用，是中檔題21.已知常數(shù)，函數(shù)。(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍。【答案】(1）詳見(jiàn)解析(2)【解析】試題分析:（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得到導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分母恒大于0,分子為含參的二次函數(shù),故討論分子的符號(hào)，確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性,即分和得到導(dǎo)函數(shù)分子大于0和小于0的解集進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性。（2）利用第(1)可得到當(dāng)時(shí),導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)根,根據(jù)題意即為兩個(gè)極值點(diǎn),首先導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達(dá)式帶入，得到關(guān)于的不等式,然后利用導(dǎo)函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問(wèn)題.(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，即時(shí),恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.（2）解:(1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?由（1）可得當(dāng)時(shí)，，則,即,則為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，代入可得=令,令,由知:當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，對(duì)求導(dǎo)可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即不符合題意。當(dāng)時(shí),,對(duì)求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則，即恒成立,綜上的取值范圍為.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)含參二次不等式對(duì)數(shù)單調(diào)性（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第-題計(jì)分.并請(qǐng)考生務(wù)必將答題卡中對(duì)所選試題的題號(hào)進(jìn)行涂寫(xiě)。［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22。在直角坐標(biāo)系中，已知圓:(為參數(shù)），點(diǎn)在直線：上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的