數(shù)學(xué)建模十六組市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)建模十六組三級火箭發(fā)射問題第1頁第1頁問題提出伴隨科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展，多級火箭早已取代了原始早期火箭框架，可為何各國均不約而同采用三級火箭，而不是二級、四級或其它呢？一些關(guān)于火箭圖片下面就這一問題來分析并討論第2頁第2頁解：（1）地球?qū)πl(wèi)星引力為，為衛(wèi)星質(zhì)量，引力常數(shù)可由在地球表面滿足，得到，于是。又衛(wèi)星向心力為給出。?。ㄇ祝?，（千米），代入得火箭速度應(yīng)為（千米/秒）。①衛(wèi)星繞地球運(yùn)營,為了克服地心引力，應(yīng)含有一定速度，這個(gè)速度應(yīng)等于火箭末速度，即火箭送出衛(wèi)星時(shí)所含有速度。設(shè)衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，我們設(shè)其速度v，R為地球半徑，r為衛(wèi)星與地心距離，g為地球表面重力加速度．即v也就是火箭末速度。那么要把衛(wèi)星送上太空工具，并使其到達(dá)離地面600公里軌道，火箭末速度應(yīng)為多少？第3頁第3頁②設(shè)火箭飛行中速度為v(t),質(zhì)量為m(t)

,初速為零，初始質(zhì)量，火箭噴出氣體相對于火箭速度為u，忽略重力和阻力對火箭影響。利用一些關(guān)系能否推出v(t)關(guān)于u、m(t)，及關(guān)系式。由此來推斷：要提升火箭末速應(yīng)采用什么辦法？（2）考察t到時(shí)刻火箭動(dòng)量守恒。左端是火箭動(dòng)量減少，右端是噴出氣體動(dòng)量，由此可得，，即。在條件下解為，能夠看出，為了增長火箭速度v，一是改進(jìn)燃料提升氣體噴出速度u，二是在給定時(shí)，改進(jìn)火箭結(jié)構(gòu)以減少火箭質(zhì)量。第4頁第4頁③火箭質(zhì)量包括3部分：有效載荷（衛(wèi)星）；燃料；結(jié)構(gòu)（外殼、燃料倉等）。其中在中百分比難以小于10％，求出當(dāng)（火箭不帶衛(wèi)星），燃料用完時(shí)火箭達(dá)到最大速度為vm=?．已知當(dāng)前u＝3千米／秒，取，再求。這個(gè)結(jié)果闡明什么?（3）將，且代入（2）結(jié)果，即得。當(dāng)（米/秒），，，由此可知，在忽略重力阻力，不攜帶衛(wèi)星情況下，火箭最大速度為7（千米/秒），達(dá)不到進(jìn)入圓形軌道火箭速度7.6千米/秒，因此用單級火箭不能發(fā)射衛(wèi)星。第5頁第5頁④假設(shè)火箭燃料燃燒同時(shí)，不斷丟棄無用結(jié)構(gòu)部分，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以和百分比同時(shí)減少，利用一些關(guān)系求出v(t)表示式．再，燃料用完時(shí)火箭未速為多少？（4）在（2）動(dòng)量守恒式中左端不變，而右端丟棄結(jié)構(gòu)部分動(dòng)量為，噴出氣體動(dòng)量為，既可解得。當(dāng)燃料用完時(shí)，丟棄，只剩余，于是火箭末速第6頁第6頁⑤其實(shí)④是個(gè)抱負(fù)化模型，事實(shí)上只能用建造多級火箭辦法一段段地丟棄無用結(jié)構(gòu)．記為第i級火箭質(zhì)量（燃料和結(jié)構(gòu)），為結(jié)構(gòu)質(zhì)量（對各級是同樣）．有效載荷仍用表示。當(dāng)?shù)?級燃料用完時(shí)丟棄第1級結(jié)構(gòu)，同時(shí)第2級點(diǎn)火．再設(shè)燃料初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，百分比系數(shù)為k，求出三級火箭末速v3表示式算要使千米／秒，發(fā)射1噸重衛(wèi)星需要多重火箭（用以前數(shù)據(jù)）．若用2級或4級火箭，結(jié)果如何？由此能得出使用3級火箭發(fā)射衛(wèi)星道理嗎？第7頁第7頁（5）利用（2）結(jié)果，，第一級火箭燃料用完時(shí)，末速，丟棄.第二級火箭點(diǎn)火，其末速為。同理，第三級火箭末速，于是

又則。要使，在和時(shí)可算出k=3.25。第8頁第8頁而由k定義可知。若，則

，若用二級火箭，則（噸）若用四級火箭，則，由此可見，用三級火箭比兩級火箭減少許多，而用4級火箭，考慮到其復(fù)雜性及實(shí)際價(jià)值及m0，不值得用4級火箭。綜上述，我們能夠得出結(jié)論：衛(wèi)星應(yīng)采用三級火箭發(fā)射。

對于模型發(fā)展：假如是載人登月，那么是否還是用三級火箭？能有比三級火箭更加好辦法嗎？在三級火箭中三級燃料之間質(zhì)量比有無較好百分比，使得火箭末速度更高？第9頁第9頁附：不采用4級火箭原因1：多級火箭采取發(fā)動(dòng)機(jī)與1、2級火箭不同，級數(shù)越多，要求技術(shù)越高。2：需要處理發(fā)動(dòng)機(jī)高空開啟技術(shù)。3：發(fā)射時(shí)故障率以級數(shù)成幾何增加。例子：長征3號火箭一共發(fā)射12次，其中，第1、8、11次失敗，原因就是第3