數(shù)理方程與特殊函數(shù)

數(shù)理方程與特殊函數(shù)第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六§10.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程導(dǎo)出步驟如下：(2)把這種影響用算式表達(dá)出來，經(jīng)分析簡化整理

就是數(shù)學(xué)物理方程。(1)確定所要研究的物理量u

,從研究的系統(tǒng)中

劃出一小部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和

這個小部分的相互作用，這種相互作用在一個

短時間里怎樣影響物理量u

；第二十四章數(shù)學(xué)物理方程和

定解條件的推導(dǎo)第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六一、弦的微小橫振動方程所謂“橫向振動”是指全部運動出現(xiàn)在一個平面上，而且弦上的點沿垂直于弦所在直線方向上運動.“微小”意味著可以認(rèn)為弦在振動過程中并未伸長.下面求弦上各點的運動規(guī)律.設(shè)有一根均勻柔軟的弦，兩端拉緊固定.它在不振動時是一條直線,取這直線為x軸,建立坐標(biāo)系.弦上各點的橫向位置u是位置x和時間t的函數(shù)，記作u(x,t).第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六把弦細(xì)分成許多極小的小段，取區(qū)間(x,x+dx)

上的一小段AB為代表加以研究.由于弦是柔軟的，所以張力的方向總是沿著弦的切線方向.受力分析：作用在弦兩端的張力T1和T2

重力（忽略不計）1a第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)弦的線密度為r,由牛頓第二定律，得AB段的橫向運動方程AB的長度在微小振動條件下其中第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六對于微小振動，因為所以有即有代入平衡方程化簡，得第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六（24.4)可改寫為：整理得：對均勻弦，各小段的密度r是相同的，即r為常數(shù)，引用,把弦振動方程改寫成：第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六若弦在振動過程中還受到外力的作用，設(shè)作用在單位長度上的橫向力是則式（24.2)應(yīng)修正為：（24.6)式相應(yīng)地修改為其中第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六方程（24.7)的右端多了一個與未知函數(shù)u無關(guān)的項，這個項稱為自由項.包括有非零自由項的方程為非齊次方程，自由項恒等于零的方程稱為齊次方程.均勻桿的縱振動方程跟弦振動方程形式上完全一樣.自由振動受迫振動波動方程第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、擴散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴散.第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、擴散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴散.第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、擴散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴散.第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、擴散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴散.第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、擴散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴散.第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、擴散方程由于濃度不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，我們將這種現(xiàn)象稱為擴散.擴散問題研究的是濃度u在空間分布和時間中的變化濃度不均勻的程度一般用濃度梯度表示.擴散運動的強弱通常用單位時間內(nèi)通過單位橫截面的原子數(shù)或分子數(shù)表示，稱為擴散流強度.記為q.引起擴散運動的原因是濃度分布不均勻，第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六擴散流強度和濃度梯度的關(guān)系，用擴散定律表示為：這里負(fù)號表示擴散轉(zhuǎn)移方向（濃度減少的方向）與濃度梯度（濃度增大的方向）相反，比例系數(shù)D叫擴散系數(shù).設(shè)細(xì)桿的截面積為常數(shù)A,又設(shè)它的側(cè)面絕熱.作為一個簡單的模型，考慮一根均勻細(xì)桿內(nèi)熱量傳播的過程.由于桿很細(xì)，在任何時刻都可以把橫截面上的溫度視為相同.這是一個一維的情形.即熱量只能沿長度方向傳導(dǎo)，第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六Oxxx+Dx考察在時間間隔t

到t+Dt

內(nèi)，細(xì)桿上x

到x+Dx小段的熱量流動情況.設(shè)細(xì)桿比熱為c,面密度為r，此段質(zhì)量為rADx.Dt內(nèi)該段溫度升高u(x,t+Dt)-u(x,t)引起該段溫度升高所需的熱量為第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六另一方面，由熱傳導(dǎo)理論，傅立葉實驗定律——物體在無窮小時間段dt內(nèi),流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt,曲面面積dS以及物體溫度u沿曲面dS的外法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比,即其中k>0為熱傳導(dǎo)系數(shù).負(fù)號表示熱量從高溫處流向低溫處.Oxxx+Dx第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六流入該小段的熱量同樣，在Dt

時間內(nèi)，流出x+Dx

截面的熱量（中值定理）另一方面，由熱傳導(dǎo)理論，在Dt

時間內(nèi)，沿Ox

軸正向流入x

截面的熱量第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六由熱平衡方程，可得令Dx0，

Dt0，得到這就是一維熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)桿內(nèi)有熱源時，若此熱源的密度為F(x,t)，即在t時刻,x處單位時間內(nèi)單位長度上所放出(或吸收)的熱量，得到第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六一維擴散方程形式為三維擴散方程的形式為當(dāng)D為常數(shù)時，則(24.17)可化為即第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六三、穩(wěn)定濃度分布擴散達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，空間中各點的濃度不再隨時間變化，即ut=0.于是三維擴散方程（24.17)成為濃度的穩(wěn)定分布方程如果擴散系數(shù)D在空間中是均勻的，則（24.18)可化為拉普拉斯(Laplace)方程第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六§10.2定解條件一、初始條件對于運輸過程（擴散、熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指的是所研究的物理量u的初始分布（初始濃度分布，初始溫度分布），因此初始條件是：其中為已知函數(shù).第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六對于振動過程（如：弦，桿等振動），要給初始還要給出初始速度還有一類“沒有初始條件的問題”，如拉普拉斯方程等是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始狀態(tài)無關(guān)，所以不提初始條件.“位移”第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六二、邊界條件1.固定端，此時對應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為2.自由端，即弦在這個端點不受位移方向的力，從而在這個端點弦在位移方向張力為零，即從弦振動問題出發(fā)，弦在振動時，其端點（以x=a表示這個端點）所受的約束情況，通常有三種類型第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六或3.彈性支承端，即弦在這個端點被某個彈性體所支承.第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六或3.彈性支承端，即弦在這個端點被某個彈性體所支承.設(shè)彈性支承原來的位置為u=0,則就表示彈性支承的應(yīng)變.由虎克（Hooke)定律知，弦在x=a處沿位移方向張力從而第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六總之，不論對弦振動問題，還是熱傳導(dǎo)問題，它們所對應(yīng)的邊界條件，不外有三種類型：1.在邊界上直接給出了未知函數(shù)u的數(shù)值，即這種形式的邊界條件稱為第一類邊界條件，2.在邊界上給出了未知函數(shù)u沿S的外法線方向的方向?qū)?shù)，即又稱為狄里克萊(Dirichlet)邊界條件；第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六這種形式的邊界條件稱為第二類邊界條件，又稱為紐曼（Neumann)邊界條件；3.在邊界上給出了未知函數(shù)u及其沿S的外法向微商某種線性組合的值，即這種形式的邊界條件稱為第三類邊界條件，又稱為洛平（Robin)邊界