2022屆黑龍江省大慶市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆黑龍江省大慶市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次方程求集合B，再由集合的并運(yùn)算求.【詳解】由，所以.故選：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】.故選：B3．若向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可判斷B；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄?，，?duì)于A：若，則，解得：，所以不存在，使得，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：若，則，可得，所以存在，使得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故選項(xiàng)C不正確，對(duì)于D：，，若，則，此方程無(wú)解，所以不存在，使得，故選項(xiàng)D不正確；故選：B.4．若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出直線的斜率，進(jìn)而寫出直線方程.【詳解】圓的圓心為，則.因?yàn)椋?，故直線的方程為.故選：A5．若，滿足約束條件則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】畫出可行域，找到取最大值時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案.【詳解】作出不等式組表示的可行域，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為9.故選：C6．已知是三個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)幾何模型，結(jié)合充分條件和必要條件的定義可判斷.【詳解】如圖所示，在正方體中，若為，為，為，則，，滿足，但不垂直于，故充分性不成立；若為，為，為，則，，滿足，但不垂直于，故必要性不成立；故選：D7．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：A.8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象.故選：A9．已知為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念易知為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞減，再根據(jù)，可得，再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以由，得，即，，所以，得，即.故選：B.10．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級(jí)的一位數(shù)學(xué)老師制作了一個(gè)如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左?右兩側(cè)的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意以雙曲線的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點(diǎn)縱坐標(biāo)代入計(jì)算即可求得橫坐標(biāo)得出結(jié)果.【詳解】以雙曲線的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以可設(shè)雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因?yàn)?，所以的縱坐標(biāo)為18.由，得，故.故選：D.11．在三棱錐中，底面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理以及正弦定理得出外接圓的半徑，再由勾股定理得出三棱錐外接球的半徑，最后由面積公式得出答案.【詳解】由余弦定理可得，則外接圓的直徑，則，所以三棱錐外接球的半徑，故三棱錐外接球的表面積為.故選：B二、多選題12．若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由題意易知，再根據(jù)兩角差的正切公式，可知，進(jìn)而求得，由此即可得到，對(duì)取值，逐項(xiàng)判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由，可知，當(dāng)，即時(shí)，即時(shí)，，顯然不成立，故；所以，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，得，故的值不可能為.故選：ABD.三、填空題13．寫出一個(gè)最小正周期為4，且最大值也為4的函數(shù)：________.【答案】（答案不唯一）【分析】重點(diǎn)在兩個(gè)要求均需滿足，最小正周期為4要優(yōu)先考慮引入正余弦型函數(shù)，再變換調(diào)整出最大值4.【詳解】的最小正周期,最大值為4，符合兩個(gè)限制條件；滿足題意的函數(shù)還有、、等.故答案為：（答案不唯一）14．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為________.【答案】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令，即可求出，從而求出，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，解得，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為.故答案為：15．已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為________.【答案】6【分析】根據(jù)拋物線的定義把的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，而的最小值為到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為.故答案為：6四、雙空題16．一個(gè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，若該數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，最后3項(xiàng)和為156，公差為3，則________，該數(shù)列的前項(xiàng)和為________.【答案】

20

115【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出的值；再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出該數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)該數(shù)列共有項(xiàng)，依題意可得，.因?yàn)楣顬?，所以，即，解得.因?yàn)?，所以該?shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：20；115.五、解答題17．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，.在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0.5°.(1)求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；(2)求塔高（結(jié)果精確到）.參考數(shù)據(jù)：取，，.【答案】(1)324m(2)669m【分析】（1）求出，在中利用正弦定理進(jìn)行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用正切值求出塔高.(1)在中，，由正弦定理得，則(2)由正弦定理得，則.故塔高18．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面底面，且.(1)證明：.(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件證明，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)即可得證.(2)取的中點(diǎn)，AB中點(diǎn)F，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向建系，再借助空間向量計(jì)算作答.(1)在平行四邊形中，，因，則，即，因?yàn)槠矫娴酌?，且平面底面，平面，則平面，又平面，所以.(2)取的中點(diǎn)，AB中點(diǎn)F，連接，EF，由(1)知，，因?yàn)?，則，又平面底面，且平面底面，平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，于是得，由圖知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)積.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)積為，可知，結(jié)合遞推公式，即可求出結(jié)果.（2）由（1）可知，再根據(jù)錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.(1)解：（1）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也符合.故的通項(xiàng)公式為.(2)解：由（1）可知所以，，兩式相減，得，所以.20．已知橢圓．(1)求的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，，的面積為，求．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得的值，進(jìn)而求得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積；（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組求得，，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得的面積，列出方程，即可求解.(1)解：由題意，橢圓，可得，所以，，所以的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為．(2)解：設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，則，，且，可得，又由點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，即，解得或．21．已知函數(shù).(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上的最大值小于，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由題意得，然后分，，和四種情況求在的最大值，使其最大值小于，從而可求出的取值范圍(1).令，得；令，得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由題意得.若，，則在上單調(diào)遞增，，不合題意.若，則在上單調(diào)遞增，，不合題意.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.若，則在上單調(diào)遞減，.綜上，的取值范圍是.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.(1)求的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明是什么曲線；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，若點(diǎn)（異于極點(diǎn)）為射線與的交點(diǎn)，求點(diǎn)的極坐標(biāo).【答案】(1)，是半圓，且是圓的右半部分(2)【分析】（1）直接利用消除參數(shù)，又，即可得到的直角坐標(biāo)方程，并可知是什么曲線；（2）將曲線轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，再將將代入曲線的極坐標(biāo)方程，即可求出結(jié)果.(1)解：因?yàn)?，所以，又，所以的直角坐?biāo)方程為，故是半圓