遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

第1頁/共1頁2022～2023學(xué)年度下學(xué)期沈陽市郊聯(lián)體數(shù)學(xué)月考試卷選擇題部分（共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數(shù)列的第10項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察分子分母的通項，即可歸納出該數(shù)列的通項公式，即可得結(jié)論．【詳解】從分子上看，2，4，6，8，對應(yīng)的通項為，從分母上看，3，5，7，9，對應(yīng)的通項為，所以該數(shù)列的通項公式，所以．故選：．【點睛】本題主要考查歸納推理，考查數(shù)列的概念及簡單表示，解題的關(guān)鍵是看出項與項數(shù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2.若一組樣本數(shù)據(jù)的期望和方差分別為，則數(shù)據(jù)的期望和方差分別為（）A.3,1 B.11,1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)期望、方差的性質(zhì)，結(jié)合原數(shù)據(jù)集中期望、方差求新數(shù)據(jù)集的期望、方差即可.【詳解】由原樣本數(shù)據(jù)集中，而新數(shù)據(jù)集為，所以新數(shù)據(jù)集中，.故選：B3.等比數(shù)列中，若，則公比為（）A.1 B. C.2 D.2或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】設(shè)公比為，由，得，即，解得.故選：C.4.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可．【詳解】由已知，，則，故選：D5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.33 B.66 C.22 D.44【答案】A【解析】【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再按照等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意知：，則，則.故選：A.6.設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式性質(zhì)得，再利用兩等差數(shù)列前n項和與通項之間的關(guān)系，代入等式計算即可得出答案.【詳解】因等差數(shù)列前n項和為關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)，又，則可設(shè)，，則，所以.故選：D7.甲箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球，3個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全概率公式求得正確答案.【詳解】依題意，從乙箱中取出的是紅球的概率為：.故選：D8.如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，其中，，2，3，4，記事件A：集合；事件B：為“局部等差”數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出事件與事件的基本事件的個數(shù)，用條件概率公式計算即可.【詳解】由題意知，事件共有個基本事件，對于事件，其中含1，2，3的“局部等差”數(shù)列的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個，含3，2，1的“局部等差”數(shù)列的同理也有3個，共6個；含3，4，5的和含5，4，3的與上述相同，也有6個；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個；含4，3，2的同理也有2個；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個；含5，3，1的同理也有4個，所以事件共有24個基本事件，所以．故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知隨機(jī)變量的分布列如下表：012若，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)分布列和已知列出方程組即可求出.【詳解】依題意，解得，.故選：AC.10.數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，前n項和為，滿足，則下列選項正確的是（）A. B.C.當(dāng)時，最小 D.時，n的最小值為7【答案】ABD【解析】【分析】由遞增的等差數(shù)列可知；由結(jié)合等差數(shù)列通項公式可得；最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式及可求得最值，即可判斷CD.【詳解】由是遞增的等差數(shù)列，得，選項A正確；由，得，則，所以，選項B正確；由，得當(dāng)時，有最小值，且最小值為，C選項錯誤；又，解得，所以時，n的最小值為7，選項D正確；故選：ABD.11.某籃球運動員罰球命中的概率為0.8，若罰球10次，各次之間相互獨立，其中命中的次數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二項分布的定義和期望、方差可以得到結(jié)論.【詳解】每次罰球之間相互獨立，則罰球次數(shù)，根據(jù)二項分布的定義及性質(zhì)，，所以A錯誤，B正確；，所以C正確；，所以D正確；故選：BCD.12已知數(shù)列滿足，則（）A. B.的前10項和為150C.的前11項和為-14 D.的前16項和為168【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式得，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB，根據(jù)并項求和可判斷C，根據(jù)正負(fù)去絕對值以及等差數(shù)列求和可判斷D.【詳解】由得：當(dāng)時，，兩式相減得，故，當(dāng)時，也符合，故，對于A,，故A正確，對于B，的前10項和為，故B錯誤，對于C，的前11項和為，故C正確，對于D，當(dāng)，解得，所以，所以的前16項和為，故D正確，故選：ACD非選擇題部分（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知事件A與事件B相互獨立，如果，，那么______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)獨立事件和對立事件的概率公式計算可得答案．【詳解】∵事件A與事件B相互獨立，∴事件與相互獨立，∵，，∴.故答案為：.14.設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項公式________．【答案】【解析】【分析】代入法求得，由表達(dá)式數(shù)列等差數(shù)列，求得首項和公差后可得通項公式．【詳解】依題意得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)其公差為，則，所以．故答案為：.15.盒中有4個質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球；現(xiàn)從盒中隨機(jī)取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到綠球的概率為______.【答案】##【解析】【分析】將問題分為三類：只取1次球，取了2次球，取了3次球求解.【詳解】直到取出紅球為止，則在此過程中沒有取到綠球可分為以下情況：（i）只取了一次球，則取出紅球的概率為，（ii）取了二次球，則第二次取出紅球的概率為，（ii）取了三次球，則第三次取出紅球的概率為，所以直到取出紅球為止，則在此過程中沒有取到綠球概率為，故答案為:.16.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，前n項和為，且，數(shù)列滿足對于任意正整數(shù)均有，求數(shù)列的前66項和為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系求出數(shù)列通項公式，再利用等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由可得，兩式相減得，，則有，因為是各項均為正數(shù)的數(shù)列，所以，所以，即，所以數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列，且，解得，所以，首項也滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列的前66項和為，故答案為:.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.“俯臥撐”是日常體能訓(xùn)練的一項基本訓(xùn)練，堅持做可以鍛煉上肢、腰部及腹部的肌肉．某同學(xué)對其“俯臥撐”情況作了記錄，得到如表數(shù)據(jù)．分析發(fā)現(xiàn)他能完成“俯臥撐”的個數(shù)y（個）與堅持的時間x（周）線性相關(guān)．x1245y5152535參考公式：，（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程（2）預(yù)測該同學(xué)堅持10周后能完成的“俯臥撐”個數(shù)【答案】（1）（2）69個【解析】【分析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線方程；（2）由（1）所得回歸直線估計10周后能完成的“俯臥撐”個數(shù).【小問1詳解】由所給數(shù)據(jù)計算得，，，，所以，則，故y關(guān)于x的線性回歸方程是．【小問2詳解】令，得，故預(yù)測該同學(xué)堅持10周后能完成69個“俯臥撐”．18.已知為等差數(shù)列的前項和，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式和求和公式可直接構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到；（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，，.19.為加強素質(zhì)教育，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)，某中學(xué)為高一年級提供了“書法”和“剪紙”兩門選修課.為了了解選擇“書法”或“剪紙”是否與性別有關(guān)，調(diào)查了高一年級1500名學(xué)生的選擇傾向，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計選擇兩門課程人數(shù)如下表：（1）補全2×2列聯(lián)表；選書法選剪紙共計男生4050女生共計30（2）是否有的把握認(rèn)為選擇“書法”或“剪紙”與性別有關(guān)？（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后三位，例如：3.841）參考附表：0.1000.0500.0252.7063.8415.024參考公式：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有【解析】【分析】（1）直接根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式求出，再對照臨界值表，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)題意補全2×2列聯(lián)表，如下：選書法選剪紙共計男生401050女生302050共計7030100【小問2詳解】根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，所以有的把握認(rèn)為選“書法”或“剪紙”與性別有關(guān).20.北方某市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績，如下表成績[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)55152510（1）從參加接訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率，（2）用分層抽樣的方法，在考核成績?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，再從這8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績在[80，90）的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比可得[70，80）和[80，90）抽取的學(xué)生人數(shù)，由超幾何分布即可求解概率，進(jìn)而得分布列.【小問1詳解】設(shè)該名學(xué)生考核成績優(yōu)秀為事件A，由已知50名同學(xué)的成績中，優(yōu)秀的有35名同學(xué)，所以，可以可估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率為．【小問2詳解】由已知，用分層抽樣方法，在考核成績?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，則考核成績在[70，80）的學(xué)生應(yīng)抽取3人，考核成績在[80，90）的學(xué)生應(yīng)抽取5人．由題意可得X的所有可能取值為1，2，3，4，所以所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P所以即所求數(shù)學(xué)期望為．21.已知正項數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累加法即可求得的通項公式；（2）先利用錯位相減法求得，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】因，所以當(dāng)時，，故，，……，，上式相加得，，又，所以,當(dāng)時，滿足上式，所以，又，所以．【小問2詳解】因為，所以，①，②得，，所以，所以可化簡為，因為恒成立，所以，因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，且；所以，故．22.甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，分輪次進(jìn)行，每輪比賽甲、乙各投籃一次．比賽規(guī)定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．當(dāng)甲、乙兩人累計得分的差值大于或等于4分時，就停止比賽，分?jǐn)?shù)多的獲勝：4輪比賽后，若甲、乙兩人累計得分的差值小于4分也停止比賽，分?jǐn)?shù)多的獲勝，分?jǐn)?shù)相同則平局、甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6，且互不影響．一輪比賽中甲的得分記為X．（1）求X的分布列；（2）求甲、乙兩人最終平局的概率；（3）記甲、乙一共進(jìn)行了Y輪比賽，求Y的分布列及期望．【答案】（1）分布列見解析（2）（3）分布列見解析，期望為【解析】【分析】（1）X所有可能取值為－1，0，1，求出相應(yīng)的概率列出分布列即可；（2）因為甲、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進(jìn)行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙均得0分；②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分；③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分；再分別求出每一種情況的概率相加即可；