方程組迭代法

方程組迭代法22.1求實(shí)根的二分法《數(shù)值分析》主講教師譚高山3《數(shù)值分析》主講教師譚高山4局限性：只能求一個(gè)實(shí)根，不能辨識重根或求復(fù)根，收斂速度對任何函數(shù)均一樣且慢，對多元方程的情形須做修改?！稊?shù)值分析》主講教師譚高山5《數(shù)值分析》主講教師譚高山6INPUTa,b;TOL;maximumnumberofiterationN.

OUTPUTapproximationsolutionpormessageoffailure.

Step1Seti=1;FA=f(a),giveNStep2whilei<=Ndostep3-6

Step3setp=a+(b-a)/2;

FP=f(p)

Step4IfFP=0or(b-a)/2<TOLthenOUTPUTp;STOP.

Step5Seti=i+1

Step6IfFA·FP>0

thenset

a=p;FA=FP

elsesetb=p

Step7OUTPUT(‘methodfailedafterNiteration,N=’,N)

STOPDescribetheAlgorithmofBisection《數(shù)值分析》主講教師譚高山72.2迭代法及收斂性迭代法求非線性方程f(x)=0的根的迭代解法是指從給定的一個(gè)或者幾個(gè)初始值出發(fā)，按某種方法產(chǎn)生一個(gè)解的序列，該序列稱為迭代序列，使得此序列收斂于非線性方程f(x)=0的一個(gè)根。迭代法可分為兩類：（1）從任何初始值出發(fā)都收斂（全局收斂）；（2）只有初始值充分接近于所求根時(shí)才收斂（局部收斂）。《數(shù)值分析》主講教師譚高山8方程f(x)=0改為等價(jià)形式x=g(x)，若x1滿足x1=g(x1)則稱x1為g(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，x1也是f(x)=0的一個(gè)根。構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代法：，g(x)成為迭代函數(shù)，若固定點(diǎn)迭代：《數(shù)值分析》主講教師譚高山9迭代法的幾何意義

通常將方程f(x)=0化為與它同解的方程的方法不止一種,有的收斂,有的不收斂,這取決于的性態(tài)。(a)(b)《數(shù)值分析》主講教師譚高山102.2迭代法及收斂性《數(shù)值分析》主講教師譚高山112.2迭代法及收斂性《數(shù)值分析》主講教師譚高山122.2迭代法及收斂性上式的最后兩項(xiàng)分別用于事后估計(jì)和事先估計(jì)?！稊?shù)值分析》主講教師譚高山13局部收斂性定義：定理：（例題中迭代公式的選取）《數(shù)值分析》主講教師譚高山14局部收斂性證明：《數(shù)值分析》主講教師譚高山15局部收斂性《數(shù)值分析》主講教師譚高山16局部收斂性例：試用不同迭代法《數(shù)值分析》主講教師譚高山17收斂階收斂階（刻畫收斂速度的標(biāo)準(zhǔn)之一）：

《數(shù)值分析》主講教師譚高山18收斂階定理：《數(shù)值分析》主講教師譚高山19收斂階證明：《數(shù)值分析》主講教師譚高山202.3Newton迭代法《數(shù)值分析》主講教師譚高山21幾何意義（切線法）《數(shù)值分析》主講教師譚高山22Newton迭代法幾何解釋

幾何意義《數(shù)值分析》主講教師譚高山23《數(shù)值分析》主講教師譚高山24Newton法局部收斂定理證明:注意到《數(shù)值分析》主講教師譚高山25Newton下山法從Newton迭代法的收斂性可見，他僅是局部收斂的，為擴(kuò)大收斂范圍，可改進(jìn)迭代公式為：《數(shù)值分析》主講教師譚高山26《數(shù)值分析》主講教師譚高山27弦截法SecantMethodNewton迭代法有一個(gè)較強(qiáng)的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。

《數(shù)值分析》主講教師譚高山28幾何意義《數(shù)值分析》主講教師譚高山29弦截法的幾何解釋《數(shù)值分析》主講教師譚高山30《數(shù)值分析》主講教師譚高山31例題例

用快速弦截法求方程在區(qū)間（1，2）內(nèi)的實(shí)根。解：取x0=1,x1=2,代入公式計(jì)算結(jié)果,如表所示?！稊?shù)值分析》主講教師譚高山32kxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.3372064440.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8《數(shù)值分析》主講教師譚高山332.5*

解非線性方程組的Newton迭代法《數(shù)值分析》主講教師譚高山34《數(shù)值分析》主講教師譚高山35據(jù)此抽出不動(dòng)點(diǎn)形式，進(jìn)而構(gòu)造Newton迭代公式：《數(shù)值分析》主講教師譚高山362.6最速下降迭代法（規(guī)劃法）解非線性方程組《數(shù)值分析》主講教師譚高山37《數(shù)值分析》主講教師譚高山38《數(shù)值分析》主講教師譚高山39《數(shù)值分析》主講教師譚高山40《數(shù)值分析》主講教師譚高山41習(xí)題1.誤差傳播（例1）2.二分法（例2）p533(a)3.迭代法（例3、4、5、6）p633(b)12(b)4.牛頓迭代法

（例7）p74

12《數(shù)值分析》主講教師譚高山42例3試用迭代法求方程在區(qū)間(1，2)內(nèi)的實(shí)根。解：由建立迭代關(guān)系

k=10,1,2,3……