線性方程組解的判定

線性方程組解的判定第1頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無(wú)窮多解、唯一解和無(wú)解．歸納求解過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)方程組(2.6.1)的增廣矩陣2.7線性方程組解的情況判定返回1/28下一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上一頁(yè)第2頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回2/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)

進(jìn)行初等行變換，將其化成如下形式的階梯形矩陣：2.7線性方程組解的情況判定第3頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回3/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)，(2.7.1)2.7線性方程組解的情況判定第4頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其中，或．(2.7.2)返回4/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第5頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

由定理2.6.1可知，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組與方程組(2.6.1)是同解方程組，于是由矩陣(2.7.1)和(2.7.2)可得方程組(2.7.1)的解的結(jié)論:

1.當(dāng)時(shí)，階梯形矩陣(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程組中的第個(gè)方程

“”是一個(gè)矛盾方程，因此，方程

組(2.6.1)無(wú)解．返回5/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第6頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2.當(dāng)時(shí)，方程組(2.6.1)有解．

并且解有兩種情況：

(1)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表示的方程組為，，．返回6/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第7頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

用回代的方法，自下而上依次求出，，，的值．因此，方程組(2.6.1)

有唯一解.(2)如果，則階梯形矩陣(2.7.1)表

示的方程組為，，．返回7/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第8頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將后個(gè)未知量項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得，，，其中，，為自由未知量．因此，方程組(2.6.1)有無(wú)窮多解．返回8/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第9頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

定理2.7.1(線性方程組有解判別定理)

線性方程組(2.6.1)有解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等．即．

推論1

線性方程組(2.6.1)有唯一解的充分必要條件是．返回9/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第10頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

推論2

線性方程組(2.6.1)有無(wú)窮多解的充分必要條件是．

推論3

齊次線性方程組(2.6.2)只有零解的充分必要條件是．

推論4

齊次線性方程組(2.6.2)有非零的充分必要條件是．返回10/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第11頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

特別地，當(dāng)齊次線性方程組(2.6.2)中，方程個(gè)數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，必有．這時(shí)方程(2.6.2)一定有非零解.返回11/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第12頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例1

判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無(wú)窮多解？(1)，，，；返回12/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第13頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)，，，；(3)，，，．返回13/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第14頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

解

(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即返回14/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第15頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

因?yàn)?，，兩者不等，所以方程組無(wú)解．.返回15/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第16頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解．返回16/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第17頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

因?yàn)椋苑匠探M有唯一解．．返回17/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第18頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2

判別下列齊次方程組是否有非零解？，，，．返回18/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第19頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

解

用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即返回19/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第20頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

因?yàn)?，所以齊次方程組只有零解．．返回20/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第21頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例3

問(wèn)，取何值時(shí)，下列方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？，，．返回21/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第22頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解

由．返回22/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第23頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

當(dāng)時(shí)，，故方程組有唯一解；

當(dāng)而時(shí)，，故方程組有無(wú)窮多解．

當(dāng)而時(shí)，，，故方程組無(wú)解；返回23/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第24頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4

已知總成本是產(chǎn)量的二次函數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，產(chǎn)量與總成本之間有如表2-1所示的數(shù)據(jù)．試求總成本函數(shù)中的，，．返回24/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第25頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六表2-1某廠某階段產(chǎn)量與總成本統(tǒng)計(jì)表時(shí)期產(chǎn)量(千臺(tái))總成本(萬(wàn)元)第1期第2期第3期61041016020370返回25/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第26頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

解

將，，代入已知二次函數(shù)模型中，得方程組，，．

利用初等行變換將其增廣矩陣化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，再求解．即返回26/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第27頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回27/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第28頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六．方程組的解為：，，．因此

總成本函數(shù)為．返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2.7線性方程組解的情況判定第29頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)課堂小結(jié)齊次線性方程組非齊次線性方程組有無(wú)窮多解.bAx=第30頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)課堂練習(xí)1、判斷下列方程解的情況(1)(2)(3)第31頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：(1)所以方程組有無(wú)窮多解．第32頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)解：(2)第33頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)

因?yàn)?，，兩者不等，所以方程組無(wú)解．第34頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)解：(3)第35頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)

因?yàn)?，所以方程組有唯一解．第36頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2、問(wèn)，取何值時(shí)，下列方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？第37頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)解

由第38頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)

當(dāng)而時(shí)，，，故方程組無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，，故方程組有唯一解；

當(dāng)而時(shí)，，故方程組有無(wú)窮多解．第39頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六返回28/28上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)作業(yè)P79習(xí)題2.71（2）（3）2第