統(tǒng)計理想氣體和晶格振動

統(tǒng)計理想氣體和晶格振動第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六§2.3 理想氣體在（ni/gi<<1）條件下，可以用半經(jīng)典近似（滿足玻爾茲曼分布）。一般理想氣體在常溫常壓下滿足這一條件。后面通過數(shù)字說明第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六1. 單原子分子理想氣體原子內(nèi)部能級間距較大，常溫下不被熱激發(fā)（處于基態(tài)不變），因此可以不考慮內(nèi)部狀態(tài)。單原子分子只有平動，對宏觀大小的容器，能級間距很小，常溫下滿足準(zhǔn)連續(xù)條件，則態(tài)密度可以這樣給出第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六配分函數(shù)下面由積分公式證明這一結(jié)果第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

積分公式第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六取n=2由此可以計算以下各量第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六一般氣體在常溫、常壓下（1）驗證一下半經(jīng)典近似條件是否滿足滿足半經(jīng)典近似條件！（可以用玻爾茲曼分布）（22.4升/摩爾）（300K）第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六（2）內(nèi)能：

第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六（3）物態(tài)方程：到此我們確認了k正是Boltzmann常數(shù)。

第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六（4）自由能和熵求自由能F最簡便：上式稱為Sackur-Tetrode公式。熵第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六（5）化學(xué)勢：以上各式中,物態(tài)方程和熱容量是實驗可以直接驗證的。

第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六2. 雙原子分子理想氣體雙原子分子氣體例如O2，N2，CO等。雙原子分子的能量除去質(zhì)心平動的動能以外還有內(nèi)部運動的能量（包括分子的轉(zhuǎn)動、振動等），所以現(xiàn)在內(nèi)部第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

平動內(nèi)部所以壓強仍然是所以物態(tài)方程和原來的一樣。第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六然而內(nèi)能卻不同了：所以熱容量CV也不同了(下面重點研究熱容量的問題)。平動內(nèi)部（轉(zhuǎn)動+振動）平動轉(zhuǎn)動振動第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六（1）轉(zhuǎn)動熱容量。在通常的溫度下，對轉(zhuǎn)動能級可以采用準(zhǔn)連續(xù)近似。上次課已經(jīng)證明了轉(zhuǎn)子的能量曲面所包圍的相體積是：下面再復(fù)習(xí)一下它的證明。第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六回顧轉(zhuǎn)子（繞原點r=2）能量方程：

能量曲面所包圍的是4維空間體積第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六立刻得第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六能量均分原理：從前面結(jié)果可以看到，每個平動（3個）和轉(zhuǎn)動（2個）自由度對內(nèi)能的貢獻都是第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六回顧：常用的2個近似條件

1非簡并條件（半經(jīng)典極限條件）2能量準(zhǔn)連續(xù)條件（針對粒子的全同性問題）（針對能量不連續(xù)性問題）（求和可以化為積分）（粗略）（具體問題還需要更細致的分析）第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六再討論一下轉(zhuǎn)動能級的準(zhǔn)連續(xù)條件第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

對于一般的氣體，實驗測得很低（幾K到幾十K），所以在室溫下轉(zhuǎn)動能級可以當(dāng)作準(zhǔn)連續(xù)的，前面的計算方法適用。第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六（2）振動熱容量諧振子的能級間隔是我們也用它定義一個振動特征溫度實驗：雙原子分子振動的一般都是幾千K，所以通常的室溫對分子振動而言是低溫，即準(zhǔn)連續(xù)條件不適用！必須直接對無窮級數(shù)求和來計算配分函數(shù)第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

在通常的溫度下，x>>1

所以分子振動對熱容量的貢獻是很小的。（可忽略“-1”）(<<1)第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六總之，在通常溫度下，只有分子的平動和轉(zhuǎn)動對熱容量有貢獻，它們的和為

計算發(fā)現(xiàn)很?。梢院雎?/p>