時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析

時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.1引言

我們知道信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻率分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進(jìn)行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。而在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，信號(hào)用序列表示，其自變量?jī)H取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無(wú)定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

而頻域分析是用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具。其中傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換（DTFT），它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的，但都是線性變換，很多性質(zhì)是類(lèi)似的。

本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容是本書(shū)也是數(shù)字信號(hào)處理這一領(lǐng)域的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六JeanBaptisteJosephFourier生于1768年3月21日法國(guó)奧克斯雷（Allxerre）。JeanBaptisteJosephFourier與傅立葉變換現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六傅立葉級(jí)數(shù)的提出和完善

1807年1829年傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉積分的推廣周期信號(hào)表示——傅立葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)表示——傅立葉積分應(yīng)用廣泛：數(shù)學(xué)、物理學(xué)現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.2.1序列傅里葉變換的定義定義(2.2.1)

為序列x(n)的傅里葉變換，可以用FT(FourierTransform)縮寫(xiě)字母表示。FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿(mǎn)足絕對(duì)可和的條件，即滿(mǎn)足下式：(2.2.2)現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

為求FT的反變換，用e

jωn乘(2.2.1)式兩邊，并在

-π~π內(nèi)對(duì)ω進(jìn)行積分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中因此現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

上式即是FT的逆變換。(2.2.1)和(2.2.4)式組成一對(duì)傅里葉變換公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要條件，如果引入沖激函數(shù)，一些絕對(duì)不可和的序列，例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)，這部分內(nèi)容在下面介紹?，F(xiàn)在是10頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.2.1設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：(2.2.5)設(shè)N=4，幅度與相位隨ω變化曲線如圖2.2.1所示。現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

為了描述系統(tǒng)和所傳輸?shù)男盘?hào)在占有頻帶上的這種關(guān)系，需要定義信號(hào)的有效帶寬(簡(jiǎn)稱(chēng)為信號(hào)帶寬)，它是從零頻率開(kāi)始到需要考慮的信號(hào)最高頻率分量之間的頻率范圍。在工程應(yīng)用中，定義信號(hào)帶寬的方法主要有以下兩種：（1）對(duì)于頻譜或頻譜的包絡(luò)具有函數(shù)形式的信號(hào)，通常定義其帶寬為函數(shù)主瓣寬度的一半，即從零頻到函數(shù)第一過(guò)零點(diǎn)之間的頻率范圍。（2）對(duì)于其他形狀的頻譜，工程上通常將信號(hào)頻譜的幅度從最大值降低到最大值的時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍定義為信號(hào)的帶寬，此時(shí)，信號(hào)的功率下降到峰值的一半，即比峰值功率下降3dB，因此該帶寬又稱(chēng)為半功率帶寬?，F(xiàn)在是13頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)1.FT的周期性在定義(2.2.1)式中，n取整數(shù)，因此下式成立M為整數(shù)(2.2.6)

因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這樣X(jué)(ejω)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)，其實(shí)(2.2.1)式已經(jīng)是傅里葉級(jí)數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)?，F(xiàn)在是14頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.線性那么設(shè)式中a,b為常數(shù)

3.時(shí)移與頻移設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六4.FT的對(duì)稱(chēng)性在學(xué)習(xí)FT的對(duì)稱(chēng)性以前，先介紹什么是共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)以及它們的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿(mǎn)足下式：

xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)

則稱(chēng)xe(n)為共軛對(duì)稱(chēng)序列。為研究共軛對(duì)稱(chēng)序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示

xe(n)=xer(n)+jxei(n)

將上式兩邊n用-n代替，并取共軛，得到

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

對(duì)比上面兩公式，左邊相等，因此得到

xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)

由上面兩式得到共軛對(duì)稱(chēng)序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類(lèi)似地，可定義滿(mǎn)足下式的稱(chēng)共軛反對(duì)稱(chēng)序列

xo(n)=-xo*

(-n)(2.2.13)現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

將xo(n)表示成實(shí)部與虛部如下式：

xo(n)=xoi(n)+jxoi(n)

可以得到

xor(n)=-xor(-n) (2.2.14)

xoi(n)=xoi(-n) (2.2.15)

即共軛反對(duì)稱(chēng)序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)?，F(xiàn)在是18頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.2.2試分析x(n)=ejωn的對(duì)稱(chēng)性解：將x(n)的n用-n代替，再取共軛得到：

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*

(n)，滿(mǎn)足(2.2.10)式，x(n)是共軛對(duì)稱(chēng)序列，如展成實(shí)部與虛部，得到

x(n)=cosωn+jsinωn

由上式表明，共軛對(duì)稱(chēng)序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)?，F(xiàn)在是19頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

對(duì)于一般序列可用共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)序列之和表示，即

x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16)

式中xe(n),xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共軛得到

x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17)

利用(2.2.16)和(2.2.17)兩式，得到(2.2.18)(2.2.19)現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

利用上面兩式，可以分別求出xe(n)和xo(n)。對(duì)于頻域函數(shù)X(ejω)也有和上面類(lèi)似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2.2.10)其中Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱(chēng)為共軛對(duì)稱(chēng)部分和共軛反對(duì)稱(chēng)部分，它們滿(mǎn)足

Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)

Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)

同樣有下面公式滿(mǎn)足：(2.2.23)(2.2.24)現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(a)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

將上式進(jìn)行FT，得到

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

上面兩式中，xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列，容易證明Xe(ejω)滿(mǎn)足(2.2.21)式，個(gè)有共軛對(duì)稱(chēng)性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。Xo(ejω)滿(mǎn)足(2.2.22)式，具有共軛反對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)?，F(xiàn)在是23頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

最后得到結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠郑瑢?shí)部對(duì)稱(chēng)的FT具有共軛對(duì)稱(chēng)性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的FT具有共軛反對(duì)稱(chēng)性。

(b)將序列分成共軛對(duì)稱(chēng)部分xe(n)和共軛反對(duì)稱(chēng)部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)

將(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

將上面兩式分別進(jìn)行FT，得到

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此對(duì)(2.2.25)式進(jìn)行FT得到：

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共軛對(duì)稱(chēng)部分xe(n)對(duì)應(yīng)著FT的實(shí)部XR(ejω)，而序列的共軛反對(duì)稱(chēng)部分xo(n)對(duì)應(yīng)著FT的虛部?，F(xiàn)在是25頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

實(shí)際上，實(shí)際的序列具有更特殊的性質(zhì)，例如待分析的信號(hào)是實(shí)序列、實(shí)偶對(duì)稱(chēng)序列或?qū)嵠鎸?duì)稱(chēng)序列，其頻譜會(huì)有什么特性呢？為此可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的分解?，F(xiàn)在是27頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱(chēng)部分He(ejω)，共軛反對(duì)稱(chēng)部分為零。

H(ejω)=He(ejω)

H(ejω)=H*(e-jω)

因此實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為

HR(ejω)=HR(e-jω)

HI(ejω)=-HI(e-jω)現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到

h(n)=he(n)+ho(n)

he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，按照上面兩式he(n)和ho(n)可以用下式表示：(2.2.27)現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(2.2.28)實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為

h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)

h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)(2.2.30)現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(2.2.31)例2.2.3x(n)=anu(n);0<a<1;求其偶函數(shù)xe(n)

和奇函數(shù)xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)

按(2.2.2)式得到現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六按照(2.2.28)式得到現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.2.3例2.2.3圖現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六5.時(shí)域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)*h(n),

則Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)

證明令k=n-m現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

該定理說(shuō)明，兩序列卷積的FT，服從相乘的關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以單位脈沖響應(yīng)FT。因此求系統(tǒng)的輸出信號(hào)，可以在時(shí)域用卷積公式(1.3.7)計(jì)算，也可以在頻域按照(2.2.32)式，求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號(hào)?，F(xiàn)在是37頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六6.頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)·h(n)(2.2.33)現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六7.帕斯維爾(Parseval)定理(2.2.34)現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

帕斯維爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。要說(shuō)明一下，這里頻域總能量是指|X(ejω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2π)。最后，表2.2.1綜合了FT的性質(zhì)，這些性質(zhì)在分析問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中是很重要的。現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

及傅里葉變換表示式

2.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里葉級(jí)數(shù)(2.3.1)

式中ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(2.3.2)式的證明，作為練習(xí)自己證明。因此上式中，k和n均取整數(shù)，當(dāng)k或者n變化時(shí)，是周期為N的周期函數(shù)，可表示成(2.3.2)-∞<k<∞(2.3.3)取整數(shù)現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

上式中也是一個(gè)以N為周期的周期序列，稱(chēng)為的離散傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。如對(duì)(2.3.4)式兩端乘以，并對(duì)k在一個(gè)周期中求和，得到同樣按照(2.3.2)式，得到(2.3.5)將(2.3.4)式和(2.3.5)式重寫(xiě)如下：現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(2.3.6)式和(2.3.7)式稱(chēng)為一對(duì)DFS。(2.3.5)式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…

N-1，幅度為。其波分量的頻率是2π/N，幅度是。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。(2.3.6)(2.3.7)現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求的DFS。解：按照(2.3.4)式現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.3.1例2.3.1圖現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中，，其傅里葉變換是在Ω=Ωo處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2π，即(2.3.8)

對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中，x(n)=ejωon，2π/ωo為有理數(shù)，暫時(shí)假定其FT的形式與(2.3.8)式一樣，也是在ω=ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π，但由于n取整數(shù)，下式成立

取整數(shù)現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

上式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在ωo±2πr處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π如科2.3.2所示。但這種假定如果成立，要求按照(2.2.4)式的逆變換必須存在，且唯一等于，下面進(jìn)行驗(yàn)證，按照(2.2.4)式因此ejω0n的FT為(2.3.9)現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.3.2的FT現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

觀察圖2.3.2，在±π區(qū)間，只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)，等式右邊為，因此得到下式：

證明了(2.3.9)式確定是ejωon的FT，前面的暫時(shí)假定是正確的。對(duì)于一般周期序列，按(2.3.4)式展開(kāi)DFS，第k次諧波為，類(lèi)似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為，因此的FT如下式現(xiàn)在是52頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

式中k=0,1,2…

N-1,如果讓k在±∞之間變化，上式可簡(jiǎn)化成(2.3.10)現(xiàn)在是53頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

表2.3.2基本序列的傅里葉變換現(xiàn)在是54頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六對(duì)(a)式進(jìn)行FT，得到現(xiàn)在是55頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：將例2.3.1中得到的代入(2.3.10)式中得到其幅頻特性如圖2.3.3所示?，F(xiàn)在是56頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.3.3例2.3.2圖現(xiàn)在是57頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

對(duì)比圖2.3.1，對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線表示)。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫(huà)圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫(huà)法?，F(xiàn)在是58頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.3.3令，2π/ω0為有理數(shù)，求其FT。解：將用歐拉公式展開(kāi)(2.3.11)按照(2.3.9)式，其FT推導(dǎo)如下：現(xiàn)在是59頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

上式表明cosω0n的FT，是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖2.3.4所示?，F(xiàn)在是60頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.3.4cosω0n的FT現(xiàn)在是61頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

我們知道模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2)現(xiàn)在是62頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

這里t與Ω的域均在±∞之間。從模擬信號(hào)幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號(hào)，即連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)，它們之間的關(guān)系用(1.5.2)式描述，重寫(xiě)如下：采樣信號(hào)和連續(xù)信號(hào)xa(t)，它們分別的傅里葉變換之間的關(guān)系，由采樣定理(1.5.5)式描述，重寫(xiě)如下：現(xiàn)在是63頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

下面我們研究如果時(shí)域離散信號(hào)x(n)，或稱(chēng)序列x(n)，是由對(duì)模擬信號(hào)xa(t)采樣產(chǎn)生的，即在數(shù)值上有有下面關(guān)系式成立：

x(n)=xa(nT)(2.4.3)

注意上面式中n取整數(shù)，否則無(wú)定義。x(n)的一對(duì)傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重寫(xiě)如下：現(xiàn)在是64頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

X(ejω)與Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系？數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω(f)之間有什么關(guān)系？這在模擬信號(hào)數(shù)字處理中，是很重要的問(wèn)題。為分析上面提出的問(wèn)題，我們從(2.4.3)式開(kāi)始研究。將t=nT代入(2.4.2)式中，得到

(2.4.4)現(xiàn)在是65頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

令，代入上式后，再將Ω′用Ω代替，得到

式中，因?yàn)閞和n均取整數(shù)，e-j2πrn=1，交換求和號(hào)和積分號(hào)得到：(2.4.5)現(xiàn)在是66頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

在第一章中曾得到結(jié)論，如果序列是由一模擬信號(hào)取樣產(chǎn)生，則序列的數(shù)字頻率ω與模擬信號(hào)的頻率Ω(f)成線性性關(guān)系，如(1.2.10)式所示，重寫(xiě)如下：

ω=ΩT

式中T是采樣周期T=1/fs，將(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到現(xiàn)在對(duì)比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到(2.4.6)(2.4.7)現(xiàn)在是67頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

上面(2.4.7)式即表示序列的傅里葉變換X(ejω)和模擬信號(hào)xa(t)的傅里葉變換Xa(jΩ)之間的關(guān)系式，我們將(2.4.7)式與(1.5.5)式對(duì)比，得到結(jié)論：序列的傅里葉變換和模擬信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系，與采樣信號(hào)、模擬信號(hào)分別的FT之間的關(guān)系一樣，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓，頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系用(1.2.10)式表示?，F(xiàn)在是68頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率f′=f/fs或Ω′=Ω/Ωs，Ω′=ω/2π，因?yàn)閒′、Ω′和ω′，都是無(wú)量綱，刻度是一樣的，將f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′的定標(biāo)值對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖2.4.1表示?，F(xiàn)在是69頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系現(xiàn)在是70頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采樣頻率fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，得到采相信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)，求xa(t)和的傅里葉變換以及x(n)的FT。解：(2.4.8)現(xiàn)在是71頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，如圖2.4.2(a)所示。以fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào)，按照(1.5.2)式，與xa(t)的關(guān)系式為

的傅里葉變換用(1.5.5)式確定，即以Ωs=2πfs為周期，將Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：現(xiàn)在是72頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(2.4.9)

如圖2.4.2(b)所示。將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列x(n)，用下式表示：

x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)

按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，實(shí)際上只要將Ω=ω/T=ωfs代入中即可?，F(xiàn)在是73頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

將fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式為零時(shí)的ω值，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：(2.4.10)現(xiàn)在是74頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

圖2.4.2例2.4.1圖現(xiàn)在是75頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

2.5序列的Z變換

2.5.1Z變換的定義序列x(n)的Z變換定義為(2.5.1)

式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱(chēng)為z平面。注意在定義中，對(duì)n求和是在±∞之間求和，可以稱(chēng)為雙邊Z變換。還有一種稱(chēng)為單邊Z變換的定義，如下式(2.5.2)現(xiàn)在是76頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

使(2.5.3)式成立，Z變量取值的域稱(chēng)為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示

這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)限大，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。本書(shū)中如不另外說(shuō)明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。

(2.5.1)式Z變換存在的條件是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即(2.5.3)現(xiàn)在是77頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.5.1Z變換的收斂域現(xiàn)在是78頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。對(duì)比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系，用下式表示：(2.5.4)現(xiàn)在是79頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

式中z=ejω表示在z平面上r=1的圓，該圓稱(chēng)為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。例2.5.1x(n)=u(n)，求其Z變換。解：

X(z)存在的條件是|z-1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>1，

|z|>1現(xiàn)在是80頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

由x(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說(shuō)收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。該序列的FT不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)δ(ω)，其傅里葉變換可以表示出來(lái)(見(jiàn)表2.3.2)。該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。現(xiàn)在是81頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂的一些一般關(guān)系，對(duì)使用Z變換是很有幫助的。

1.有限長(zhǎng)序列如序列x(n)滿(mǎn)足下式：

x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其它現(xiàn)在是82頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱(chēng)為有限長(zhǎng)序列。其Z變換為

設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除0與∞丙點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。如果n1<0，則收斂域不包括∞點(diǎn)；如n2>0，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括z=∞點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：現(xiàn)在是83頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

n1<0，n2≤0時(shí)，0≤z＜∞

n1<0，n2>0時(shí)，0<z＜∞

n1≥0，n2>0時(shí)，0<z≤∞

例2.5.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域

解：現(xiàn)在是84頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列，因此收斂域?yàn)?<z≤∞。但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極零點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的FT，可將z=ejω代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果(2.2.5)公式是相同的。

2.右序列右序列是在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而其它n<n1，序列值全為零?，F(xiàn)在是85頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，設(shè)n1≤-1，其收斂域?yàn)?≤|z|＜∞。第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞，Rx-是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞。如果是因果序列，收斂域定為Rx-<|z|≤∞?，F(xiàn)在是86頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域解：在收斂域中必須滿(mǎn)足|az-1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>|a|。

3.左序列左序列是在n≤n2時(shí)，序列值不全為零，而在n>n1，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為

現(xiàn)在是87頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

如果n2<0,z=0點(diǎn)收斂，z=∞點(diǎn)不收斂，其收斂域是在某一圓(半徑為Rx+)的圓內(nèi)，收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+。如果n2>0，則收斂域?yàn)?<|z|<Rx+

。例2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。

X(z)存在要求|a-1z|<1，即收斂域?yàn)閨z|<|a|現(xiàn)在是88頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六4.雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和，其Z變換表示為現(xiàn)在是89頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。如果Rx+>Rx-，其收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+

，這是一個(gè)環(huán)狀域，如果Rx+<Rx-，兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共區(qū)域，X(z)沒(méi)有收斂域，因此X(z)不存在。例2.5.5x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解：現(xiàn)在是90頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

第一部分收斂域?yàn)閨az|<1，得|z|<|a|-1，第二部分收斂域?yàn)閨az-1|<1，得到|z|>|a|。如果|a|<1，兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|-1，其Z變換如下式：|a|<|z|<|a|-1

如果|a|≥1，則無(wú)公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示?，F(xiàn)在是91頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

圖2.5.2例2.5.5圖現(xiàn)在是92頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.5.3逆Z變換已知序列的Z變換及其收斂域，求序列稱(chēng)為逆Z變換。序列的Z變換及共逆Z變換表示如下：(2.5.5)現(xiàn)在是93頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六1.用留數(shù)定理求逆Z變換如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，根據(jù)留數(shù)定理(2.5.6)

式中表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理(2.5.7)現(xiàn)在是94頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

由(2.5.8)式表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N-1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn)，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示，即如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理(2.5.8)現(xiàn)在是95頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上極點(diǎn)分成兩部分：一部分是c內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，N=N1+N2，用z2k表示。根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立：

(2.5.9)

注意(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分子階次必須高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)與Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。(2.5.9)式成立的條件是現(xiàn)在是96頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是97頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

N-M-n+1≥2

因此要求N-M-n≥1(2.5.10)

如果(2.5.10)式滿(mǎn)足,c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外極點(diǎn)沒(méi)有多階的，可以按照(2.5.9)式，改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。例2.5.6已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z變換x(n)?，F(xiàn)在是98頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)，極點(diǎn)有：z=a;當(dāng)n<0時(shí)z=0共二個(gè)極點(diǎn)，其中z=0極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n≥0時(shí)，n=0不是極點(diǎn)。n<0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。

n≥0時(shí)，現(xiàn)在是99頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

n<0時(shí)，增加z=0的n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔助定理求解，檢查(2.5.10)式是否滿(mǎn)足，此處n<0，只要N-N≥0，(2.5.10)式就滿(mǎn)足。圖2.5.4例2.5.6中n<0時(shí)F(z)極點(diǎn)分布現(xiàn)在是100頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.7已知，求其逆變換x(n)。解：該例題沒(méi)有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，得到其極點(diǎn)分布如圖2.5.5所示。圖中有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1，這樣收斂域有三種選法，它們是

(1)|z|>|a-1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是右序列；

(2)|a|<|z|<|z-1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列；

(3)|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列。現(xiàn)在是101頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六圖2.5.5例2.5.7X(z)極點(diǎn)分布圖現(xiàn)在是102頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

下面按照收斂域的不同求其x(n)。

(1)收斂域|z|>|a-1|

種收斂域是因果的右序列，無(wú)須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1，因此現(xiàn)在是103頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。

(2)收斂域|z|<|a|

這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n≥0情況，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和現(xiàn)在是104頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

最后將x(n)表示成

x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收斂域|a|<|z|<|a-1|

這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)z=a

x(n)=Res［F(z),a］=an現(xiàn)在是105頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有二個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a-1，因此

x(n)=-Res［F(z),a-1］=a-n

最后將x(n)表示為

an

n≥0

x(n)=x(n)=a|n|

a-n

n<0

現(xiàn)在是106頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)

按照Z(yǔ)變換定義(2.5.1)式，可以用長(zhǎng)除法將X(z)寫(xiě)成冪級(jí)數(shù)形式，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。要說(shuō)明的是，如果x(n)是右序列，級(jí)數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級(jí)數(shù)；如x(n)是左序列，級(jí)數(shù)則是正冪級(jí)數(shù)。例2.5.8已知用長(zhǎng)除法求其逆Z變換x(n)。解由收斂域判定這是一個(gè)右序列，用長(zhǎng)除法將其展成負(fù)冪級(jí)數(shù)現(xiàn)在是107頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六1-az-1

現(xiàn)在是108頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.9已知求其逆Z變換x(n)。解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長(zhǎng)除法將X(z)展成正冪級(jí)數(shù)現(xiàn)在是109頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六3.部分分式展開(kāi)法對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開(kāi)法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和，通過(guò)查表(參考表2.5.1)求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成正式現(xiàn)在是110頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)Am。(2.5.11)(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)

求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列?，F(xiàn)在是111頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.10已知，求逆Z變換。解現(xiàn)在是112頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?<|z|<3，第一部分極點(diǎn)是z=2，因此收斂域?yàn)閨z|>2。第二部分極點(diǎn)z=-3，收斂域應(yīng)取|z|<3。查表2.5.1得到

x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)

一些常見(jiàn)的序列的Z變換可參考表2.5.1。現(xiàn)在是113頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

表2.5.1常見(jiàn)序列Z變換現(xiàn)在是114頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是115頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理

Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。

1.線性設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

則M(z)=ZT［m(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+(2.5.15)

Rm+=max［Rx+,Ry+］

Rm-=max［

Rx,Ry-］現(xiàn)在是116頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

這里M(z)的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收斂域，如果沒(méi)有公共收斂域，例如當(dāng)

Rx+>Rx->Ry+>Ry-時(shí)，則M(z)不存在。

2.序列的移位設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

則ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z),Rx-<|z|<Rx+(2.5.16)現(xiàn)在是117頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六3.乘以指數(shù)序列設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

y(n)=anx(n),a為常數(shù)則Y(z)=ZT［anx(n)］

=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(2.5.17)證明因?yàn)镽x-<|a-1z|<Rx+，得到|a|Rx-<|z|<|a|Rx+

。現(xiàn)在是118頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六4.序列乘以n設(shè)則(2.5.18)證明現(xiàn)在是119頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六5.復(fù)序列的共軛設(shè)則證明(2.5.19)現(xiàn)在是120頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六6.初值定理設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］

(2.5.20)證明因此7.終值定理若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則(2.5.21)現(xiàn)在是121頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六證明因?yàn)閤(n)是因果序列，

因?yàn)?z-1)X(z)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限現(xiàn)在是122頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)，因?yàn)?2.5.22)因此如果單位圓上，X(z)無(wú)極點(diǎn)，則x(∞)=0。現(xiàn)在是123頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六8.序列卷積設(shè)則現(xiàn)在是124頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六證明W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域?，F(xiàn)在是125頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.11已知網(wǎng)絡(luò)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),|a|<1，網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)

求y(n)可用二種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是用Z變換法。

現(xiàn)在是126頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六由收斂域判定y(n)=0,n<0。n≥0y(n)=Res［Y(z)zn-1,1］+Res［Y(z)zn-1,a］現(xiàn)在是127頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六將y(n)表示為9.復(fù)卷積定理如果ZT［x(n)］=X(z)，Rx-<|z|<Rx+ZT［y(n)］=Y(z),Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則現(xiàn)在是128頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六W(z)的收斂域(2.5.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?2.5.24)(2.5.25)(2.5.26)現(xiàn)在是129頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六證明由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到現(xiàn)在是130頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］解：因此現(xiàn)在是131頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

W(z)收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞；被積函數(shù)v平面上收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|)，v平面上極點(diǎn)：a、a-1和z,c內(nèi)極點(diǎn)z=a。現(xiàn)在是132頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六10.帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以證明重要的怕斯維爾定理。那么v平面上，c所在的收斂域?yàn)楝F(xiàn)在是133頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

證明令w(n)=x(n)·y*(n)

按照(2.5.24)式，得到

按照(2.5.25)式，R

x-R

y-<|z|<R

x+R

y+，按照假設(shè)，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。現(xiàn)在是134頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

如果x(n)和y(n)都滿(mǎn)足絕對(duì)可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=ejω，得到(2.5.29)令x(n)=y(n)得到

上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維爾定理(2.2.34)式是相同的。(2.5.28)式還可以表示成下式：現(xiàn)在是135頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.5.5利用Z變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過(guò)程簡(jiǎn)單。設(shè)N階線性常系數(shù)差方程為(2.5.30)1.求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時(shí)加上的，n時(shí)刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(duì)(2.5.30)式求Z變換，得到現(xiàn)在是136頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六式中(2.5.31)(2.5.32)現(xiàn)在是137頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六2.求暫態(tài)解對(duì)于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個(gè)初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始條件y(-1),y(-2)…y(-N)。對(duì)(2.5.30)式進(jìn)行Z變換時(shí)，注意這里要用單邊Z變換。方程式的右邊由于x(n)是因果序列，單邊Z變換與雙邊Z變換是相同的。下面先求移位序列的單邊Z變換。設(shè)現(xiàn)在是138頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六(2.5.33)現(xiàn)在是139頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

按照(2.5.33)式對(duì)(2.5.30)式進(jìn)行單邊Z變換(2.5.34)現(xiàn)在是140頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。解：將已知差分方程進(jìn)行Z變換式中，于是現(xiàn)在是141頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

收斂域?yàn)閨z|>max(|a|,|b|)，式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解?，F(xiàn)在是142頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是143頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六拉氏變換、傅氏變換與Z變換一.拉氏變換與Z變換現(xiàn)在是144頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是145頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六這說(shuō)明，從理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換到采樣序列的Z變換，就是由復(fù)變量S平面到復(fù)變量Z平面的映射，其映射關(guān)系為:

現(xiàn)在是146頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六s=σ+jΩz=re

jωrejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

r=eσTω=ΩT

z的模r對(duì)應(yīng)于s的實(shí)部σ，z的相角ω對(duì)應(yīng)于s的虛部Ω。現(xiàn)在是147頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六

先討論s的實(shí)軸σ與z的模r的關(guān)系，

σ=0（S平面虛軸）r=1（Z平面單位圓上）

σ<0（S的左半平面）r<1（Z平面單位圓內(nèi)部）

σ>0（S的右半平面）r>1(Z平面單位圓外部）再討論s的虛軸Ω與z的相角ω的關(guān)系式

Ω=0（S平面的實(shí)軸）ω=0（Z平面正實(shí)軸）

Ω由-π/T增至0ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至π

現(xiàn)在是148頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六S平面與Z平面多值映射關(guān)系

現(xiàn)在是149頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是150頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六二.連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換

傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸上的特例，即s=jΩ，映射到Z平面上正是單位圓z=ejΩT，說(shuō)明：采樣序列在單位圓上的Z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換（頻譜）。

現(xiàn)在是151頁(yè)\一共有191頁(yè)\編輯于星期六三.序列的傅氏變換與Z變換