第14講.離散型隨機變量及數(shù)字特征.尖子.刪解析

空1ij第14空1ij

離散型隨機變量及數(shù)字特征知識結(jié)構(gòu)圖小題例，3

例45，，

例89時間軸60真題再現(xiàn)2013北京理科第題）下圖是某市3月1至日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表空重度污染，某人隨機選擇1至月13日的某一天到達該市，并停留2天．250氣質(zhì)150量指數(shù)500

86

25

57

220143

160

21740

16015812186

79

37

日期12日日日日日日日0日2日13日4日⑴求人到達當日空氣重度污染的概率；⑵設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)求X的布列與數(shù)學期望；⑶由判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】設(shè)A表事件此于3月i日達該（i2，13i根據(jù)題意，P，且AAji13⑴設(shè)為事“人到達當日空氣重度污”，則BA

，

2所以PA2

213

．⑵由意可知，X的有可能取值為

A

，

A

A

A

413

，P

X

X

X

5，13所以的分布列為：02P

454412故X的期望EX××．13131313⑶從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．2011年京理科第題）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表．甲組

乙組X⑴如X，求乙組同學植樹棵樹的平均數(shù)和方差；⑵如X，分別從甲乙兩組中隨機選取一同學求這兩名同學的植樹總棵樹Y的布列和數(shù)學期望．（注：方差

x的均數(shù)）1【解析】⑴當X，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是，8，9，所以平均數(shù)為

835；44方差為

35351044

⑵當時由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是，，11，11；乙組同學的植樹棵數(shù)是：9，9，10分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共種可能的結(jié)果，這兩名同學植樹總棵可能取值為17，1819，20．事件“Y”等“組選出的同學植樹9棵乙組選出的學植樹棵，以該事件有2可能的結(jié)果，因此．1611同理可得(Y；(Y；P(；Y21)．44所以隨機變分布列為：Y

21

P

1111．

EY1111×××20××．8448小題熱身設(shè)隨機變量等能地取1，，若P則E(X)等．【析】．如X是個離散型隨機變量，則假命題是（）AX取一個可能值的概率都是非負數(shù)；BX取有可能值的概率之和為1；C．X取幾值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；D．X在一范圍取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．【析D．

已知隨機變量X的布列為：P

12

，2，，P4）A

3BC．D．1616【析A．

已知服從參數(shù)為10的幾何分布，則E()．【析(X)

MnN

．14.1分布列與數(shù)字特征知識梳理．離散型隨機變量及其分布列隨機變量：如果隨機試驗的可能結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個隨機變量．如果隨機變量的有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為散型隨變量．離散型隨機變量的分布列：設(shè)離散型隨機變量的能取值為，x，X取到每一個值in的率為，則稱表iii

…

i

…

p

p

…pi

…

為離散型隨機變量X的分布列．具有性質(zhì)：①0，ipp．i離散型隨機變量在某個范圍取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率和．．隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的數(shù)學期(值)與方差：若離散型隨機量X的布列為

…xi

…

p……pi則稱E＋＋為機變量X的學期望(或均值反了離散型隨ii機變量的平均取值水平．稱((X))為機變量X的差，它反映了離散型機iii變量相對于期望的平均波動大離散程其算術(shù)平方根D的準差，記作標準差)越小表明X的值相對于期望越集中，否則越分散．均值與方差的性質(zhì)：①E(＝

D＋b＝a

D

．經(jīng)典精講考點1離散型機變量的數(shù)特征【例】⑴已離散型隨機變量X的分布列如下，X的學望()）2

3103AB．2CD．32C⑵設(shè)機變量概率分布列是P)24，其中C為數(shù)，則2k(≤的為（）34ABCD45⑶已知離散型隨機變量X的布列如右表若E()，D)，則，b．【析⑴A

X-11⑵B⑶，．

Pabc

【例】⑴

設(shè)擲一顆骰子所得的點數(shù)為隨機變量X，期望E()，差D(X)．⑵編，2的三位學生隨意入座編為12，3的個座位，每位學生坐一個座位，設(shè)與座位編相同的學生的個數(shù)是X隨變X的望差D．⑶如，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割成125個樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為，則的均值E）

A

B．C．5

．

7535【析⑴()3.5D(；12⑵⑶【師案例1是熟悉期望和方差的基本公，例2度約大一些主要是如何寫出分布的概率再計算期望和方差．考點2分布列求法【例3

福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè)，現(xiàn)在福彩中心準備發(fā)行一種面值為的福利彩票刮刮卡，設(shè)計方案如下：①②③⑴⑵

該福利彩票中獎率為；每張中獎彩票的中獎獎金有5元元三種；顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為p獲得50元金的概率為2%．假設(shè)某顧客一次性花10元買兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎的概率；為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)，求的值范圍．【析⑴；⑵當

8725

時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)．【展】在一場娛樂晚會上，有民間歌手(5)臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選最受歡迎歌手各觀眾須彼此獨立地在票上選歌手其中觀眾甲是1歌的歌迷他選1不選，另在至中機選2名觀眾乙和丙對5位手的演唱沒有偏愛，因此在1至5中隨機選名歌手．⑴求眾甲選中3歌且觀眾乙未選中歌手的概率；⑵表示歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學期望．【析⑴觀眾選中歌手且觀眾乙未選中3手的概率為⑵的分布列如下:

415

．

33375

數(shù)學期望EX

2815

．【】一盒子里裝有卡片，其中有紅色卡片張編分別為，，3，；白色卡片，編分別為23，4從盒子中任取張片假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相．⑴求取出的4張卡片中，含有編為3卡片的概率．⑵在取出的4張卡片中，紅色卡片編的大值設(shè)為X，隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【析⑴取出卡片中，含有編為卡片的概率為⑵隨變量X的布列是

67

．

數(shù)學期望

．14.2典型分布及數(shù)字特征知識梳理二分：如果隨機變量的分布列

1p其中＜1則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為p的點分布．若服從參數(shù)為的點分布，則E二分：一般的，在相同條件下重復地次驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，稱n次立重復試驗．在n獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次概率為P()Cp其中p在一次試驗中事件A發(fā)的概率，－，．將次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，X的分布列為

1…k…nP

Cq

q

…

Cq

…

Cp稱這樣的離散型隨機變量X服從參數(shù)為、的項分布，記作B(，)．若X(，p)，．超何布的有數(shù)為N件兩類物品中類有M件所有物品中任取n件(n≤N)，這n件所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變，它取值為時的概率為CCP()Ml，中l(wèi)n和M較小的一)．我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服參為、、n的超幾何分布．

若H(，M，)，E經(jīng)典精講考點3二點分及其數(shù)字特

M(NM)N)，DXNN）

．【例】⑴⑵

1某人練習射擊，每次擊中目標的概率為．用X表示擊中目標的次數(shù)，若射擊，求4的分布列、期望和方差．某商店有AB種杯子，顧客選購A杯的率為p，表選購杯，若一位顧客前來選購，問當為少時，X分布列的方差最大，大值為多少？【析⑴服二點分布1E(X)，D)416⑵當=時(X)有最大值．

考點4二項分及其數(shù)字特【例】某樂場將要舉行狙擊移動靶比賽．比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)擊3次或選擇在B區(qū)擊2次，在區(qū)射中一次得3分，射不中得0分在B區(qū)每射中一次得，射不中得．已知參賽選手甲在

1區(qū)和B區(qū)次射中移動靶的概率分別是和(0．4⑴若手甲在A區(qū)擊求選手甲至少得分的概率；⑵我把在A、B區(qū)射擊得分的數(shù)學期望高者作為選擇射區(qū)的標準，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)擊，求p的值范圍．9【析⑴；⑵．考點5超幾何布及其數(shù)字征【例】甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的道中，甲答對其中每道的概率都是，能答對其中的5道．定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出題進行測試，答對一題加10分答錯一題（不答為答錯）減5分至少得分才能入選．

⑴求得分的分布列和數(shù)學期望；⑵求、乙兩人中至少有一人入選的概率．【析⑴乙得的分布列如下：

012

15EX．2⑵甲兩人至少有一人入選的概率為．【展】某商場舉行三色球購摸活動規(guī):在一次摸獎中，摸獎者先從裝3個球與個白球的袋中任意摸出個球，再從裝有1個球與個球的袋中任意摸出1個球，根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸紅球數(shù)獲金額一等獎二等獎三等獎

藍藍藍

元元元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級．⑴求次摸獎恰好摸到個球的概率；⑵求獎者在一次摸獎中獲獎金額X的布列與期望E【析⑴恰好到1個球的概率為．

X

．⑵的分布列為

67

435

【例】某學召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動合團共有名學生，他們參加活動的數(shù)統(tǒng)計如圖所示．參加人數(shù)

活動次數(shù)

⑴求唱團學生參加活動的人均次數(shù)；⑵從唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．⑶合團中任選兩名學生，用示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變分布列及數(shù)學期望E．【析⑴．⑵．⑶的布列：

1

2數(shù)期望為．3【】甲乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局1甲隊獲勝的概率是外其每比賽甲隊獲勝的概率都是假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．23⑴分求甲隊以3:1，3:利的概率；⑵若賽結(jié)果為3:0或3:1，勝利方得3分對方得分若比賽結(jié)果為，則勝利方得、對方得．求乙隊得分的分布列及數(shù)學期望．【析⑴隊以，，2勝的概率分別是⑵的分布列為

8，，；27

．

課后習題【演練】某射手射擊所得環(huán)數(shù)分布列如下：

y已知期望【析】；