空間向量立體幾何絕對經(jīng)典

（優(yōu)選）空間向量立體幾何絕對經(jīng)典ppt講解現(xiàn)在是1頁\一共有88頁\編輯于星期日

推論:如果為經(jīng)過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t,滿足等式OP=OA+t其中向量叫做直線的方向向量.OABPa

若P為A,B中點,則現(xiàn)在是2頁\一共有88頁\編輯于星期日2.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對使現(xiàn)在是3頁\一共有88頁\編輯于星期日

推論:空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y使

或?qū)臻g任一點O,有

注意：空間四點P、M、A、B共面實數(shù)對現(xiàn)在是4頁\一共有88頁\編輯于星期日例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥。nmggmnll證明：在內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使

g=xm+yn,

l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g∴l(xiāng)⊥g

這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任一條直線，所以l⊥

現(xiàn)在是5頁\一共有88頁\編輯于星期日鞏固練習(xí)：利用向量知識證明三垂線定理aAOP現(xiàn)在是6頁\一共有88頁\編輯于星期日復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間向量的數(shù)量積:現(xiàn)在是7頁\一共有88頁\編輯于星期日5.向量的模長:4.有關(guān)性質(zhì):(1)兩非零向量(2)注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度?，F(xiàn)在是8頁\一共有88頁\編輯于星期日OABP3.A、B、P三點共線的充要條件A、B、P三點共線現(xiàn)在是9頁\一共有88頁\編輯于星期日反過來，對空間任意兩個不共線的向量，，如果，那么向量與向量,有什么位置關(guān)系？C現(xiàn)在是10頁\一共有88頁\編輯于星期日例5(課本例)已知ABCD，從平面AC外一點O引向量求證：①四點E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.證明：∵四邊形ABCD為①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。現(xiàn)在是11頁\一共有88頁\編輯于星期日證明：由面面平行判定定理的推論得：②由①知現(xiàn)在是12頁\一共有88頁\編輯于星期日共線向量共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運用判斷三點共線，或兩直線平行判斷四點共面，或直線平行于平面小結(jié)共面現(xiàn)在是13頁\一共有88頁\編輯于星期日3）射影BAA1B1注意：在軸l上的正射影A1B1是一個可正可負的實數(shù)，它的符號代表向量與l的方向的相對關(guān)系，大小代表在l上射影的長度?，F(xiàn)在是14頁\一共有88頁\編輯于星期日例2：已知：在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC，求證：OC⊥ABABCO

現(xiàn)在是15頁\一共有88頁\編輯于星期日3.已知空間四邊形，求證：。證明：∵現(xiàn)在是16頁\一共有88頁\編輯于星期日4.空間向量基本定理若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量

若空間向量的一個基底中的三個基向量互相垂直，則稱這個基底為正交基底，若三個基向量是互相垂直的單位向量，則稱這個基底為單位正交基底現(xiàn)在是17頁\一共有88頁\編輯于星期日x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a//b現(xiàn)在是18頁\一共有88頁\編輯于星期日(五)、空間位置關(guān)系的向量法：現(xiàn)在是19頁\一共有88頁\編輯于星期日異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：題型一：線線角線線角復(fù)習(xí)線面角二面角小結(jié)引入現(xiàn)在是20頁\一共有88頁\編輯于星期日題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：題型二：線面角線線角復(fù)習(xí)線面角二面角小結(jié)引入現(xiàn)在是21頁\一共有88頁\編輯于星期日題型三：二面角二面角的范圍：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍線線角復(fù)習(xí)線面角二面角小結(jié)引入現(xiàn)在是22頁\一共有88頁\編輯于星期日2、E為平面α外一點,F為α內(nèi)任意一點,為平面α的法向量,則點E到平面的距離為:3、a,b是異面直線,E,F分別是直線a,b上的點,是a,b公垂線的方向向量,則a,b間距離為現(xiàn)在是23頁\一共有88頁\編輯于星期日現(xiàn)在是24頁\一共有88頁\編輯于星期日幾何法坐標法現(xiàn)在是25頁\一共有88頁\編輯于星期日現(xiàn)在是26頁\一共有88頁\編輯于星期日現(xiàn)在是27頁\一共有88頁\編輯于星期日一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB現(xiàn)在是28頁\一共有88頁\編輯于星期日求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.現(xiàn)在是29頁\一共有88頁\編輯于星期日例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy現(xiàn)在是30頁\一共有88頁\編輯于星期日解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）現(xiàn)在是31頁\一共有88頁\編輯于星期日例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD現(xiàn)在是32頁\一共有88頁\編輯于星期日證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

現(xiàn)在是33頁\一共有88頁\編輯于星期日例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy現(xiàn)在是34頁\一共有88頁\編輯于星期日解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1現(xiàn)在是35頁\一共有88頁\編輯于星期日例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1現(xiàn)在是36頁\一共有88頁\編輯于星期日證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),現(xiàn)在是37頁\一共有88頁\編輯于星期日例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD現(xiàn)在是38頁\一共有88頁\編輯于星期日解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設(shè)DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：現(xiàn)在是39頁\一共有88頁\編輯于星期日(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa現(xiàn)在是40頁\一共有88頁\編輯于星期日例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO現(xiàn)在是41頁\一共有88頁\編輯于星期日解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設(shè)與n夾角為α而∴故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.現(xiàn)在是42頁\一共有88頁\編輯于星期日（3）二面角設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n2現(xiàn)在是43頁\一共有88頁\編輯于星期日例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS現(xiàn)在是44頁\一共有88頁\編輯于星期日解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.現(xiàn)在是45頁\一共有88頁\編輯于星期日例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1現(xiàn)在是46頁\一共有88頁\編輯于星期日解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離現(xiàn)在是47頁\一共有88頁\編輯于星期日例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB現(xiàn)在是48頁\一共有88頁\編輯于星期日解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見,選擇平面內(nèi)外兩點的向量時,與平面內(nèi)的點選擇無關(guān).現(xiàn)在是49頁\一共有88頁\編輯于星期日會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面PED間的距離.xzyPBEADCF現(xiàn)在是50頁\一共有88頁\編輯于星期日解:以A為原點、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標系,則F為CD的中點,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由得

n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距離就是P到面BED的距離,∵∴.(1)向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a⊥b時，須指明a≠0，b≠0；書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號a·b，而不能用符號a×b，也不能用a