2021-2022學年高考數(shù)學空間向量及立體幾何綜合專練-考點10：向量法求線線、線面、面面角綜合專練（教師版）

考點10：向量法求線線、線面、面面角綜合專練（解析版）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，正方體ABCD-A/iGQ的棱長為a,以下結(jié)論錯誤的是（）

A.面對角線中與直線40所成的角為60。的有8條

B.直線AiO與垂直

C.直線4。與85平行

D.三棱錐A-4CD的體積為，/

【正確答案】C

【思路點撥】

建立空間直角坐標系.利用正方體的性質(zhì)、向量的夾角公式與數(shù)量積的關(guān)系、三棱錐的

體積計算公式即可得出結(jié)果.

【步步為營】

解：如圖所示，建立空間直角坐標系.

Ai(a,0,a),D(0,0,0),4(a,0,0),B(a,a,0),Bi(a,a,a).

Ci(0,a,a),D\(0,0,a),

/.AJD=(-a,0,-a),AB,=(0,a,a),

-ry：-7-5-AD-AB-a~1_______

coscos<ADM>=同畫t=后總=，<AD做>=12?！?/p>

.?.異面直線40,AB所成角為60。,

同理，正方體的六個面中，除了平面4。人4與平面BCG用的面對角線處其他的面

對角線都與40所成角為60。，

...面對角線中與直線4。所成的角為60。的有8條，故A正確；

***A^l5=(-〃，0,-4),BC[=(-a,0,a),

，麗?西=0,?,?直線4。與BG垂直，故3正確;

VA^D=(-〃，0,-4),BD[=(-a,-a,〃),

...9?西=0,...直線4力與8d垂直，故C錯誤;

三棱錐A-4c。的體積為：

VA-A,CD=匕-MD=a2xa=^a3.故D正確.

故選：C.

2.已知AABC與△AC。所在的平面互相垂直，AC=25,AB=AD=20,CB=CD=15,

則直線AO與8c所成的角的余弦值為()

A.—B.—C.—D.—

24252525

【正確答案】D

【思路點撥】

由題設條件有與△ACD為全等的直角三角形，結(jié)合平面48c與平面ACO垂直,

通過建立空間直角坐標系，結(jié)合向量的夾角公式，即可求得異面直線所成角.

【步步為營】

因為AC?=AD2+CD2=AB2+BC2,所以4ABD與△AC。為全等的直角三角形，

過點8作BOLAC,垂足為0,連接。。，所以DO_LAC.

因為平面ABC_1■平面AC。，所以BO_L平面AC。，故以。為坐標原點，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得A(0,-16,0),8(0,0,12),C(0,9,0),0(12,0,0),

LILIUUUU

則A￡>=(12,16,0),BC=(O,9,—12),

所以8s付質(zhì)"/野

切以'/,22+16?.衍TF20x1525-

故選：D.

A

3.在正方體中，中點為心則二面角A-BE-B.的余弦值為（）

A.一亞B.-巫C.二D.」

1014535

【正確答案】A

【思路點撥】

建立空間直角坐標系，設出正方體的棱長，然后利用向量法求：面角A-8E-B,的余弦

值.

【步步為營】

以。為原點，D4為X軸，0c為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

設正方體ABCQ-A8cA的棱長為2,

則4(2,0,0),8(2,2,0),E(0,0,D,巴(2,2,2),

AB=(0,2,0),麗=(2,2,-1),甌=(2,2,1),

設平面4組的法向量為3=（x,丁，z）,

n-AB-2y=0

則—，取x=l得〃=(1,0,2),

nEB=2x+2y-z=0

設平面E的法向量為蔡=（a,b,c）,

m-EB=2a+2b-c=0

則_一，取ra=l,得m=(1,—1,0),

in-EB}=2a+2b+c=0

設二面角A-BE-4的平面角為0,由圖知。為鈍角,

二二面角4"一耳的余弦值8s公扁%-日=-普.

故選：A.

4.如圖，在三棱錐P-ABC中，AABC為等邊三角形，△PAC為等腰直角三角形，

PA=PC=4,平面PACJ_平面ABC,。為A8的中點，則異面直線AC與PD所成角的

B.正

4

【正確答案】B

【思路點撥】

取AC的中點。，連接0尸,08,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及面面垂直的性質(zhì)證明

04,08,0尸兩兩垂直，以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出各點坐

標以及正和方的坐標，由空間向量夾角公式計算卜osPD)\即可求解.

【步步為營】

取AC的中點。，連接ORO8,因為R4=PC,所以AC_LOP

又因為平面PACJ■平面ABC,平面PAC八平面=AC,OPu面PAC,

所以OP_L平面ABC,

又因為AB=BC,ACA.OB,可得0A08,0尸兩兩垂直，

所以以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為△PAC是等腰直角三角形，PA=PC=4,AA8C為等邊三角形,

可得A（2夜,0,0）,B（0,276,0）,C（-272,0,0）,￡＞（四,#,0）,網(wǎng)0,0,2夜）

所以衣=14啦,0,0）,而=（&,a,-2⑹,

E訴、ACPD-8&

所以3河'町=同網(wǎng)=河=一7

設異面直線AC與所成角為。，則cos。=|cos^C,PD）|=乎

所以異面直線AC與P。所成角的余弦值為立，

4

故選：B.

5.正AA8C與正A8CZ）所在平面垂直，則二面角4一3。一。的正弦值為（）

1收

------C.乎

5TD-T

【正確答案】C

【思路點撥】

構(gòu)建空間坐標系，求面8CQ、面A8Q的一個法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求

二面角A—8。一C的余弦值，進而求其正弦值即可.

【步步為營】

取8c中點O,連接40,DO.建立如圖所示坐標系,

設8c=1,則A（0,0,包），B（0,-1,0）,D（—,0,0）.

222

烏

麗

:.OA=(0,0,2，-

馬

為

的

由次=(0,0,2BCD的一個法向量,

而.而a叵=o

77

若力=(x,y,z)為面ABD的一個法向量，則《廠

麗而=且+上=0

22

**?令y=-V3,則/n=(1,-A/3,1)

cos<nt,OA>=---~產(chǎn)"=—,故sin<m,OA>=

匕上5

V5x——

2

故選：C

6.如圖，在長方體ABCO-44GA中，AAt=AD=2,AB=3,點尸在線段CQ上,

且。尸=1,則異面直線C。與8尸所成角的余弦值為（）

D.T

3

【正確答案】B

【思路點撥】

構(gòu)建空間直角坐標系，求覺,游的坐標，應用空間向量夾角的坐標表示求C。與3尸

所成角的余弦值即可.

【步步為營】

如圖，以。為坐標原點，建立空間直角坐標系。一孫z,則。（0,0,0）,C（0,3,0）,3（2,3,0）,

/（0,1,2）,

ADC=（0,3,0）,濟=（一2,-2,2）.

?℃DCBF_-6G

…小吟網(wǎng)可―=1,

...異面直線8與3F所成角的余弦值為史.

3

故選：B

7.已知長方體A8CD-ABCA,AB=BC=4,CC、=2,則平面與平面ABCD

所成的銳二面角的正切值是（）

A.V2B.—C.yD.迫

223

【正確答案】B

【思路點撥】

以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，求平面A8G的法向量，利用向量的夾角公式

即可求解.

【步步為營】

以。為坐標原點，直線D4,QC,n■分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則

￡＞（0,0,0）R（0,0,2）,q（0,4,2）,A（4,0,2）,B（4,4,0）

UUUUllUU_______

AB=（0,4,-2）,AG=（T,4,0）,平面ABCD的法向量DDt=（0,0,2）

設平面A8G的法向量石=（&b，c）

n-A,B=0[4/?-2c=0_

由八AAU八，令b=l,:.c=2,a=l,則”=（1』,2）

萬一AG=0[-4a+4h^0

?uuurI

〃r?。14瓜

設平面A^G與平面ABCD所成的銳二面角為。，則cos”宏它嗎=—-f==V

|n|-DD,2xj63

...sin”.圖邛,W嗑考

故選：B

8.正方體ABCD-ABCQ的棱長是6,E,尸分別是棱A8,8C上的動點，且AE=

當A,E,F,C共面時，平面AOE與平面G。/7夾角的正弦值()

B.3口考

【正確答案】C

【思路點撥】

根據(jù)A，E,F,G共面，利用面面平行的性質(zhì)定理得到AG〃E尸，再由45=8￡得

到E,尸為中點，然后以。為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面AOE的一個

法向量加=(x,y,z)和平面CDF的一個法向量M=(x,y,z),由cos(九勺mn

nrlrnl求解?

【步步為營】

如圖所示:

若4，E,F,G共面，設平面為a,

且cn平面A8|G2=AC,an平面A8QAEF,

所以AG〃EF,

又因為AE=8F,

所以E,F為中點，

以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(6,0,6),0(0,6,6),E(6,3,0),尸(3,6,0),

所以明=(6,0,6),西=(0,6,6),52=(6,3,0),麗=(3,6,0),

設平面AQE的一個法向量為正=(辦,加4),

則｛二DA.fn=0，即｛6Jx,+6Jz.=0c，

DEm=06玉+3y=0

令x=l得z=-l,y=-2,則%=(1,一2,-1),

設平面G。廠的一個法向量為1=(七,%*2),

則｛一DC'.-n=0，即[6Jy?9+6Jz9=0

DFn=Q[3/+6%=°

令'=1得z=T,x=-2,則”=(_2,1,T),

所以平面AOE與平面G。尸夾角的正弦值立，

2

故選：C

9.如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABC。-ABC。，其中，以頂點A為端點

的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是（）

A.4G=6B.AC,1BD

D.BR與AC所成角的余弦值為漁

C.向量BQ與麗■的夾角是60。

【正確答案】B

【思路點撥】

A選項，計算得AG=6?,所以選項A不正確;

3選項，AQBb=O,所以AC|_L8D,所以選項3正確；

C選項，向量AC與羽的夾角是120,所以選項C不正確；

。選項，8。與AC所成角的余弦值為區(qū)，所以選項。不正確.

6

【步步為營】

A選項，由題意可知入盤=4耳+4萬+4<,

則存'：=(而+而+麗)2

=宿+訪+村+2福通+2福麗+2而?麗

=62+62+62+2x6x6xcos60+2x6x6xcos60+2x6x6xcos60°=63>

AC,=6>/6,所以選項A不正確；

8選項，BD^AD-AB<又而;=而+而+麗，

AC^Bb=(AB+Ab+AA^)(Ab-AB)

=AB-AD+ADAD+AA,■AD-AB-AB-AD-AB-AAyAB

=6x6xcos60+62+6x6xcos60-62-6x6xcos60-6x6xcos60=0

AC,1BD,所以選項B正確；

__—.1~57-T3T\(AD—AA()-AAt

C選項，BXC=BXB+BC=AD-^,c/C,e片雙碼網(wǎng)二

向量AC與M的夾角是120，所以選項c不正確；

￡>選項，西=麗+西=麗+而-福AC=AB+AD，

設8。與AC所成角的平面角為e,

2"8s(西祠H前?

（AA^+AD-AB）（AB+AD）=坐，所以選項。不正確

=

J（麗+而_AB）2yl（AB+AD）2O

故選：B.

10.已知四邊形ABCD為正方形平面ABCD,四邊形DGEA與四邊形DGFC也

都為正方形，連接EP,FB,BE,"為8尸的中點，有下述四個結(jié)論：

TT.

?DE±BF；②E尸與CV所成角為§；③ECL平面W；④8尸與平面ACFE所成角

為,

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②B.①@③

C.①③④D.①@?④

【正確答案】B

【思路點撥】

根據(jù)題意，將幾何體補形成一個正方體，進而建立空間直角坐標系，通過空間向量的坐

標運算得到答案.

【步步為營】

由題意得，所得幾何體可以補形成一個正方體，如圖所示.

以。為坐標原點，DA,DC,QG所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.

則。(0,0,0),C(0,2,0),EQ,0,2),

F(0,2,2),BQ,2,0),"(1,2,1).

對①，5k=(2,0,2),協(xié)=(-2,0,2)，所以法?晶=(2,0,2>(-2,0,2)=-4+0+4=0，

則品J./正確；

對②，命=(-2,2,0),&=(1,0,1)，設尸所成角為。,。€(0,9，

—>—>

TTBF'CH171

所以cos6=|cos<8ECH>|=|-......-1=-,正確；

\BF\\CH\23

對③,EC=(-2,2,-2),DB=(2,2,0),Z)F=(0,2,2)，設;=(x,y,z)是平面尸的一個法

向量，所以,■，令戶1，則〃所以EC=-2〃=￡。/〃，

n-Dr=Ly+Zz=0''

則EC，平面DBF,正確；

對④，由題意，EA，平面A8CD,則易得：DBLAC,E4與AC交于A,則

C8_L平面ACFE,則。％=(2,2,0)是平面ACFE的一個法向量，設BF與平面ACFE所

T—>

JIffDB，BF17T

成的角為a，ae0,-,所以sina=|cos<8/>|=|~丁|==&=錯誤.

L2」\DB\\BF\26

故選：B.

二、填空題

11.如圖，在正四棱柱ABCO-A4GA中，48=40=3,44=4,尸是側(cè)面BCGBi

內(nèi)的動點，且AP_L8Oi,記AP與平面5CG81所成的角為仇則tan。的最大值為

【正確答案】|

【思路點撥】

建立空間直角坐標系,設P33,9，（0%*3,04三4）,根據(jù)4尸_18￡>|,求得a,c的關(guān)系,

再利用線面角的向量公式結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系式求解.

【步步為營】

建立如圖所示空間直角坐標系：

設P(a,3,c),(0Ma43,0VcV4),則A(3,0,0),B(3,3,0),2(0,0,4),

所以衣=(a-3,3,。),西=(-3,-3,4),

因為AP_LBOi,

_,3

所以福.西=_3（〃_3）_9+4c=0,解得C=_〃,

4

止匕時而=卜_3,3q〃),

平面8CG囪一個法向量為7=((),1,0),

記AP與平面8CG81所成的角為仇

l?sin。=J1J=

則|研w4896，

625

當。=即寸，sin。取得最大值簽“此時COS6=G^,

所以tan。的最大值為*

故答案為：g

12.如圖，在四棱錐P—A8co中，R4,平面ABC。，ZBAD=90,

PA=AB=BC=-AD=\,BC//AD,已知。是四邊形ABC。內(nèi)部一點，且二面角

。-3A的平面角大小町.則△A。。的面積的取值范圍是.

【正確答案】

【思路點撥】

以點A為坐標原點，AD.AB.AP所在直線分別為X、>、z軸建立空間直角坐標系,

設點Q(a,"0)，其中0WaW2,0<^<1,利用空間向量法可得出。+@=2,求出人的

取值范圍，即可求得△A。。的面積的取值范圍.

【步步為營】

?.?R4_L平面A8C。，,以點A為坐標原點，AD,AB、AP所在直線分別

為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0)、3(0,1,0)、C(1,1Q)、0(2,0,0)、尸(0,0,1),

設點。(。力,0),其中0WaW2,04b41,

一UUU1______,、

設平面PDQ的法向量為m=(x,y,z),DP=(-2,0,1),￡>Q=(a-2,6,0),

m-DP=-2x+z=0一，.

則，Wx=b,可得帆=a。-2,劫，

fn-DQ=[a-2)x+by=0''

易知平面PAD的一個法向量為日=(0,1,0),

由已知條件可得|cos<w,?>|=jtpi=/"技=4,

11H-HJ"2)"2

所以，2-a=@,即“+病=2,

::『解得a=2

直線co上的點(x,y,o)滿足x+y=2,聯(lián)立

b=0'

a=0

聯(lián)立”回=2,解得.,2石，

a=0b=------

5

所以，點。的縱坐標b的取值范圍為［(),竽］

易知點。不在線段上，則〃e［o,羋］

1(2R

所以，SAADQ=-ADb=bE\0,個一.

2

13.三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面垂直，A4t=4B=4C=1,AB1AC,N是BC

的中點，點戶在A4上，且滿足0=2彳與，當直線PN與平面ABC所成的角取最大

值時，2的值為.

【正確答案】y

【思路點撥】

根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.

【步步為營】

解：因為三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面垂直，AB1AC,

所以明48,AC兩兩垂直，

所以以A點為原點，AA，4B,4C所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

所以A(0,0,1),B.(1,0,1),A(0,0,0),

所以0=/1大同=(4,0,0)，AN=(3'3'7)

由題知平面ABC,故R=(0,0,1)是平面ABC的法向量，

所以血=痛_4力=6_45_1),

設直線/W與平面ABC所成的角為。，

所以當直線PN與平面ABC所成的角最大時，A=1.

故答案為：g

14.在底面邊長為2,高為1的正四棱柱4BCZ)-4Zi6Oi中，E,尸分別為BC,CiDi

的中點.則異面直線4E,C尸所成的角為一.

【正確答案】J

【思路點撥】

建立空間直角坐標系，求出各點坐標，進而求出異面直線4E,CF的方向向量，利用

異面直線夾角的向量公式，即得解

【步步為營】

由題意以Q為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系,

則Ai(2,0,1),E(1,2,0),C(0,2,0),F(0,1,1),

二庭=(-1,2,-1),CF=(0,-1,1),

設異面直線4E,CF所成的角為0,

則cosO=|學匕|=g,

\A,E\-\CF\V6-V22

所以0=g，所求異面直線的夾角為

66

故答案為：

o

15.如圖，菱形A8C。中，NABC=60。，AC與8。相交于點O,AE_L平面ABC。,

CFIIAE,AB=2,CF=3.若直線。尸與平面8E。所成的角為45°,則AE=.

【正確答案】2

【思路點撥】

設AE=a,進而建立空間直角坐標系，利用空間向量的線面角公式求出。即可.

【步步為營】

設AE=a,在菱形A8C。中，ZABC=60°,則4A8C為正三角形，又AB=2,易得OA=1,

08=6，

如圖，以O為坐標原點，以。4OB所在直線分別為x軸、y軸，以過點。且平行于

C尸的直線為z軸建立空間直角坐標系.

z

則B（0,石,0）,￡>（0,-^,0）,F（T,0,3）,E（l,0,a）,

所以加=(-1,0,3),而=(0,25/3,0),EB=(-l,6,甸，設平面BED的法向量為

一萬?麗=2石y=0

〃=(3z)，則%.而…+小5=。令Z=1則，"=（-4,0,1），

因為直線OF與平面BED所成角的大小為45°,

.-A3??n0FII"+3?夜

所以|cos<OF>|=|—~—1=|——~~—1=-->

|"||OF|Va'+lxVlO2

易知a>0,解得：〃=2,所以AE=2.

故答案為：2.

16.如圖，在直三棱柱A5C-AI1G中，ZACB=90°,AC=AAt=2BC=2,。為AAi上一

點.若二面角Bi-DC-Ct的大小為30°,則AO的長為.

【思路點撥】

建立空間宜角坐標系，設出。的坐標，進而通過空間向量的夾角運算求出答案.

【步步為營】

如圖，以C為坐標原點，CA,CB,CG所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系C-xyz,則C(0,0,0),8i(0,1,2),B(0,I,0),=(0,1,2),Cg=(0,

1,0).SAD=a(0<a<2),則點。的坐標為(2,0,a),&)=(2,0,a).

,fh-CB.=0,（y+2z=0,

設平面SCO的法向量為比=(x,y,z),則《」制：c令z=-l得比=

fn-CD-0[2x+az=0,

*2,-1.又平面COC的一個法向量為昂=(0,1,0),記為則由

30°=''=/7/i

cos向利J〃+4+l2，解得。=9華（負值舍去），故AQ=年9.

故答案為：手

17.已知棱長為2的正方體ABC。-4屁GR中，點E是棱A8的中點，則直線JE與AQ

所成的角的余弦值是

【正確答案】旦

9

【思路點撥】

構(gòu)建空間直角坐標系，求出方向向量空，承坐標，應用空間向量夾角的坐標表示求直

線C|E與AC所成的角的余弦值.

【步步為營】

如下圖，構(gòu)建以。為原點，班反，函為X、＞、Z軸正方向的空間直角坐標系,

A(2,0,2),C(0,2,0),E(2』,0)，G(0,2,2),則QE=(2,-1,-2),J\C=(-2,2,-2),

??3呼右)=!|薪=品=4，又庫而標嗚］.

直線CE與A。所成的角的余弦值是立

9

故答案為：B

9

18.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四

角攢尖、八角攢尖.如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若

此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為.

【正確答案】600##1

【思路點撥】

設此四棱錐P-ABCD底面邊長為。，斜高為〃'，連結(jié)AC、BD交于點、0,連結(jié)OR則以

。為原點，OB^C^OP'hx.y,z軸正半軸建立空間直角坐標系，用向量法求出側(cè)面與

底面的夾角.

【步步為營】

設此四棱錐P-ABCC底面邊長為。，斜高為“，連結(jié)AC,20交于點O,連結(jié)。P.則

gah'x4=2a2,h'=a,PO=Ja?！?9?！獈~?

以。為原點，而、反、而為x、y,z軸正半軸建立空間直角坐標系.

z

設平面PBC的法向量為山=(x,y,z),

&一坦=0,

瓜

m-PC=O,

n2.2z=Ty令y=6則肩=(G,后應),

m-BC=O

x=y

顯然平面ABCD的法向量為?=(0,0,1).

mn0+0+&I

所以cos。",ri)=

\m\-\n\~y/3+3+2x\~2

所以側(cè)面與底面的夾角為6()。.

故答案為：60°.

19.在直三棱柱ABC-ABC中，AAt=2,二面角3--AALG的大小為60。，點8到平

面ACG4的距離為G，點C到平面ABBiAi的距離為2萬，則直線BCt與直線ABi

所成角的正切值為.

【正確答案】V7

【思路點撥】

根據(jù)二面角平面角的定義確定二面角BM-G的平面角即為NBAC,然后算出相關(guān)線

段的長度，再通過空間向量的數(shù)量積運算求出第?「后，，再求出|屆|,|應"，進而通過

空間向量夾角公式求出夾角余弦值，最后求出正切值.

【步步為營】

如圖，

?1

在直三棱柱4BC-A4G，底面A8C,則_LAB,，AC,則二面角

8-AA-G的平面角即為N3AC,且為60。，

點B到平面ACG4的距離為G，易知側(cè)面和底面垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，

8到AC的距離為G，

又點C到平面的距離為26，同理可知，C到AB的距離為26，

所以在三角形4BC中，A8=2,BC=2y/3,AC=4,ZABC=90°,

—>—>/—>—>A/—>—>\—2—>2

則=8片一胡?33|+3C=3g=AAj=4,

而|恁|=A/22+22=2⑸BC,|="+(2廚=4,

所以cos<欣的>=竽=^ntan<恁，說?>=77.

IAB,||BC,|4

故答案為：幣.

2().a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形A8C的直角邊AC所在直線

與〃，b都垂直，斜邊A3以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當直線A8與4成60角時，43與〃成30角；

②當直線A8與。成60角時，AB與6成60角；

③直線AB與a所成角的最小值為45;

④直線4B與。所成角的最大值為60;

其中，正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號)

【正確答案】②③

【思路點撥】

由題意知I,“、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體,

設IAC|=1,|481=&,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，8點的運動軌

跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，建立空間直角坐標系，得出直線”和

直線6的方向單位向量，B點在運動過程中的坐標"（cos。，sin。，0）,AB，在運動過程

中的向量A>=（cos&，sin。，-1）,最后利用空間向量法求線線的夾角，即可求出結(jié)果，

從而判斷得出答案.

【步步為營】

解：由題意知，“、6、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖,

不妨設圖中所示正方體邊長為1,

故|AC|=1,|AB|=&,

斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，

8點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C為坐標原點，以CQ為x軸，C8為y軸，C4為z軸，

建立空間直角坐標系，

則。（1,0,0）,A（0,0,1）,

直線。的方向單位向量1=（0，1，（））,日|=1，

直線6的方向單位向量，=（1,0,0）,\b\=\y

設8點在運動過程中的坐標8'（cos。，sin，，0）,

其中8為AC與8的夾角,何0,2乃）,

r.A9在運動過程中的向量，/=（cos。，sin。，-I）,\AB'\=^2'

設A9與。所成夾角為aw[0,^],

則cosa==Isingle[0,—],

自，即直線”與〃所成角的最小值為45,最大值為9。,

.?.③正確，④錯誤;

設A9與b所成夾角為/以0,,

當A8'與。角為60。時，即a=5,

|sin|=V2cosa=&喈考,

^2]

,/cos2夕+sin?夕=1,COSP=Icos^|=—,

TT7T

.,.^=y,此時AB與b的夾角為60。,

.??②正確，①錯誤.

故答案為：②③##?②.

三、解答題

21.如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面為直角梯形，平面R4D_L平面ABC。，AD//BC,

AD±CD,且AD=2BC=2CD=4,PA=PD=20,AD,48的中點分別是。，G.

(1)求證：GO,平面POC；

(2)求平面OPG與平面OPG夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)拽1.

11

【思路點撥】

(1)連接08,BD,可證明四邊形03co為正方形，即8OLOC,即GOLOC,由

平面R4OL平血可得尸。_1_平面ABCD,即POJ_GO,由線線垂直推線面垂直，

即得證；

(2)建立空間直角坐標系，由OCJ_平面PG。，所以祝為平面PG。的一個法向量,

再計算平面。PG的法向量，利用二面角的向量公式，即得解

【步步為營】

(1)證明：連接OB,BD,由于0￡>//8C,0O=8C=8,^AD±CD

故四邊形OBC。為正方形，

所以6O_LOC.

因為AO，A8的中點分別是O,G,所以GO//BD,

所以GOLOC,

因為PA=PD,AO的中點是O,所以PO_LA￡>.

因為平面尸4)，平面A8CO,平面24?？谄矫?§8=">，POu平面PAO,

所以PO_L平面ABCD

又GO,OCu平面ABC￡>,所以POLGO,P010C,

又因為ocnpo=。，所以GO_L平面POC.

(2)由(1)知。8,OD,0P兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z.

因為AD=23C=2CD=4,PA=PD=2y[l，

所以尸0=。4=03=?！?=2,

則點尸(0,0,2),0(0,2,0),0(0,0,0),C(2,2,0),G(l,-l,0).

所以。6=(1,-1,0),DG=(l,-3,0),PG=(1,-1,-2).

由(1)知PO_LOC,GOYOC,P0cG0=0,PO,GOu平面PGO,

所以0C，平面PGO,所以反=(2,2,0)為平面PGO的一個法向量;

又設平面PG。的法向量為〃=(x,y,z),

由性吃得卜竺—=0,得『7，

[n±DG,[n-DG=x-3y=0,[x=3y9

取y=i,得5=(3,1,1).

而卜”,彳、I反㈤1(2,2,0).(3,1,1)12722

所以cos〈OC,ri)|=__,_=----『-7=—=——-.

|OC||川2V2xVll11

由圖得，平面OPG與平面OPG夾角為銳角，

所以平面OPG與平面OPG夾角的余弦值為豆型.

11

22.如圖，在三棱錐尸-ABC中，AABC為等邊三角形，PA=AB=l,PB=PC=0

B

(1)證明：PA_L平面ABC；

(2)若而=2無，求二面角Q-AB-C的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)B.

2

【思路點撥】

(1)由勾股定理得到PA1AC,再利用線面垂直的判定定理證明；

(2)以AP為z軸，AC為V軸，垂直于面APC的一條直線為x軸，建立空間直角坐標

系，分別求得平面面ABC的一個法向量而和平面QAB的一個法向量入然后由

⑥加/--"-\齊而mn求解?

【步步為營】

(I)因為始=48=1,PB=PC=及,

所以由勾股定理可得：PALAB,PA1AC,

又因為4?cAC=A,

所以PA_L面ABC.

(2)以即為z軸，AC為＞軸，垂直于面APC的一條直線為x軸，建立空間直角坐標

系.

則A（O,O,O）,B伸,;,0,C（0,l,0）,P（0,0,l），cf0,1,1

k7I、、

所以福=1曰,;,o],而=（o,|g）。

I）、，

設平面QA3的一個法向量為蔡=(x,y,z),

6工1八

——X4--V=0

22-

2］八，

—y+—z=0

,33

令x=-\,得y=百,z=-20,則機=卜1,>/5,-2g）,

又因為平面ABC的一個法向量為〃=(0,0,1),

所以二面角Q-A8-C的余弦值為追■.

2

23.如圖，在正三棱柱A8C-A8c中，。為A8的中點.

(1)證明：BC1〃平面AC。.

(2)已知A4,=百AB,求二面角4-BC1-C的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析：(2)冬

【思路點撥】

(1)連接AG，設ACcAG=O,連接0D.由三角形的中位線定理得0D//5G，根據(jù)

線面平行的判定可得證；

(2)以A為原點，平面ABC內(nèi)過A且垂直AC的直線為x軸，AC所在直線為V軸，AA,

所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-型.運用面面角的空間向量求解

方法可求得答案.

【步步為營】

(1)證明：連接AG，設4Cc4G=。，連接0￡).

由正三棱柱ABC—A/C，得AO=OG.

乂因為在正三棱柱ABC-A8c中，AD=DB,所以OQ//8C-

乂因為BQc平面AC。，oz)u平面AC。，所以BG〃平面A。。；

(2)解：以A為原點，平面ABC內(nèi)過A且垂直AC的直線為x軸，AC所在直線為)軸，

A4所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-型.

設AB=1,則。(0,1,6)，40,0,0),B§,；,0,C(0,l,0).

\)

一(61'uun(G1)_(G1

由空間向量的坐標運算可得BG=一手與,AB=￥，于0,CB=^-,--,0

m-BC=0,

設平面CBG的法向量為蔡=（與用4）,貝卜[

+島=0,

代入可得廠,令％=I,則兇=/，4=0,所以而=（1,0,0）.

=。，

.乙乙

設平面BAG的法向量為1=（&,%，Z2）

G1

一_2~x2+]%+Gz2=0,

:鼠代入可得

則

舊1_n

彳芻+萬必=°，

令x?=1,則％=—",Z?=1,所以〃=(1,—1).

所以COS〈M?,〃〉=—:———

\m\-\n\|VT+3XV1+3+1-5

由圖示知：二面角A-BG-C是銳角，所以二面角A-BQ-C的余弦值為手.

24.如圖所示，在RtZXABC中，斜邊AC=4,ZACB=60°,將AABC沿直線AC旋轉(zhuǎn)

得到i^ADC,設二面角D-AC-8的大小為c（0°<a<180。）.

（1）取AB的中點E,過點E的平面與AC,AO分別交于點尸，G,當平面EFG//平

面80c時，求尸G的長；

（2）當a=90。時，求二面角B—DC-A的余弦值.

（3）是否存在。，使得A8_L0C?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

【正確答案】（1）1；（2）手；（3）不存在.

【思路點撥】

（1）根據(jù)平面E尸G〃平面BOC,得到EG//BD,再由E為48的中點，得到G,尸都

為相應邊的中點，從而由FG=gc。求解；

(2)過點B作BO_LAC,連接DO,則ZX7_LAC,由a=90。，易證￡>O1>平面ABC,

以。為原點，建立空間直角坐標系，求得平面8c。的一個法向量藍=(x,y,z),易知

麗=(60,0)是平面ACD的一個法向量，再由8s(而用=箭百求解；

(3)假設存在，由而.反=0求解.

【步步為營】

(1)如圖所示：

因為平面EFG//平面BDC,平面AB￡>c平